2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.2等差數(shù)列1.2.2第2課時等差數(shù)列的綜合問題課時作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE5課時作業(yè)6等差數(shù)列的綜合問題時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝6，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(B)A．30 B．15C．5eq\r(6) D．10eq\r(6)解析：因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝eq\f(5,2)(a2＋a4)＝eq\f(5,2)×6＝15.2．等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么關(guān)于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(A)A．無實根 B．有兩個相等實根C．有兩個不等實根 D．不能確定有無實根解析：由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，所以a5＝3，方程為x2＋6x＋10＝0，無實數(shù)解．3．已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a5＝19，S5＝55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率是(A)A．4 B.eq\f(1,4)C．－4 D．－14解析：設(shè)過P、Q的直線斜率為k，則k＝eq\f(a4－a3,4－3)＝d，又∵a5＝19，S5＝55，∴eq\f((a1＋19)×5,2)＝55，∴a1＝3，d＝4，∴k＝4.4．已知{an}是等差數(shù)列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，則該數(shù)列前10項和S10等于(B)A．64 B．100C．110 D．120解析：由a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，得d＝2.所以S10＝eq\f(10(a1＋a10),2)＝eq\f(10(a1＋a2＋8d),2)＝eq\f(10×(4＋8×2),2)＝100，故選B.5．?dāng)?shù)列{an}中，a2＝2，a6＝0，且數(shù)列{eq\f(1,an＋1)}是等差數(shù)列，則a4＝(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：∵a2＝2，a6＝0，∴eq\f(1,a2＋1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a6＋1)＝1，∴{eq\f(1,an＋1)}的公差為eq\f(1,6)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,3)＋(n－2)×eq\f(1,6)＝eq\f(n,6)，∴eq\f(1,a4＋1)＝eq\f(2,3)，∴a4＝eq\f(1,2).6．一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120°，公差為5°，那么這個多邊形的邊數(shù)n等于(C)A．12 B．16C．9 D．16或9解析：an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，由an<180得n<13，因為在凸多邊形中，n≥3，所以3≤n<13且n∈N＋，由n邊形內(nèi)角和定理得，(n－2)×180＝n×120＋eq\f(n(n－1),2)×5，解得n＝16或n＝9，∵3≤n<13，∴n＝9.7．已知等差數(shù)列{an}共有2n＋1項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則an＋1＝(B)A．30 B．29C．28 D．27解析：an＋1＝S奇－S偶＝290－261＝29.8．在等差數(shù)列{an}中，前n項和為Sn.若a1>0，S4＝S9，則Sn取得最大值時n的值為(D)A．5 B．6C．7 D．6或7解析：因為等差數(shù)列{an}的前n項和Sn是關(guān)于項數(shù)n的二次函數(shù)，且S4＝S9，∴Sn圖像的對稱軸為n＝eq\f(4＋9,2)＝6.5，又n∈N＋，∴n＝6或7時，Sn最大．二、填空題9．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＝20，則S9的值為90.解析：S9＝eq\f(9(a1＋a9),2)＝eq\f(9(a4＋a6),2)＝eq\f(9×20,2)＝90.10．為了參與運動會的5000m長跑競賽，李強(qiáng)給自己制定了10天的訓(xùn)練安排：第1天跑5000m，以后每天比前一天多跑400m．李強(qiáng)10天將要跑68_000m.解析：由題意可知，李強(qiáng)每天跑的距離數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，把李強(qiáng)第1天跑的距離記為a1＝5000，且公差為d＝400，則李強(qiáng)10天跑的距離為該等差數(shù)列的前10項和．由S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10×5000＋eq\f(10×9,2)×400＝68000.所以，李強(qiáng)10天將要跑68000m.11．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a5＝5a3，則eq\f(S9,S5)＝9.解析：∵{an}為等差數(shù)列，∴eq\f(S9,S5)＝eq\f(\f(9(a1＋a9),2),\f(5(a1＋a5),2))＝eq\f(9(a5＋a5),5(a3＋a3))＝eq\f(9a5,5a3)＝9.三、解答題12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿意an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求證：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解：(1)證明：當(dāng)n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2.又eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)，可得eq\f(1,Sn)＝2n，所以Sn＝eq\f(1,2n).當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,2(n－1))＝－eq\f(1,2n(n－1)).當(dāng)n＝1時，a1＝eq\f(1,2)，明顯不適合上式．故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,－\f(1,2n(n－1))，n≥2.))13．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前12項和為354，在前12項中，偶數(shù)項之和與奇數(shù)項之和的比為3227，求這個數(shù)列的通項公式．解：解法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，奇數(shù)項a1，a3，a5，…，a11與偶數(shù)項a2，a4，a6，…，a12仍舊成等差數(shù)列，設(shè){an}的首項為a1，公差為d，則S偶＝a2×6＋eq\f(6×5,2)×2d＝6a1＋36d，S奇＝a1×6＋eq\f(6×5,2)×2d＝6a1＋30d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12a1＋66d＝354，,\f(6a1＋36d,6a1＋30d)＝\f(32,27)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝5.))∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.解法二：設(shè)奇數(shù)項與偶數(shù)項的和分別為S奇，S偶，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S偶＋S奇＝354，,\f(S偶,S奇)＝\f(32,27).))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S偶＝192，,S奇＝162.))∴d＝eq\f(192－162,6)＝5.又∵S奇＝eq\f((a1＋a11)×6,2)＝3(2a1＋10d)＝162，∴a1＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝5n－3.——實力提升類——14．已知數(shù)列{an}滿意a1＝eq\f(2,3)，a2＝2，a3＝4，且數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\f(1,3)n(n＋1)．解析：因為a1＝eq\f(2,3)，a2＝2，a3＝4，所以a2－a1＝eq\f(4,3)，a3－a2＝2，(a3－a2)－(a2－a1)＝eq\f(2,3)，故數(shù)列{an＋1－an}是以eq\f(4,3)為首項，eq\f(2,3)為公差的等差數(shù)列，所以an＋1－an＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝eq\f(2,3)(n＋1)．于是累加求和，得an－a1＝eq\f(2,3)(2＋3＋…＋n)＝eq\f(1,3)n(n＋1)－eq\f(2,3)(n≥2)，故an＝eq\f(1,3)n(n＋1)(n≥2)．當(dāng)n＝1時，a1＝eq\f(2,3)，符合上式，所以an＝eq\f(1,3)n(n＋1)．15．甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.(1)甲、乙起先運動幾分鐘后第一次相遇？(2)假如甲、乙到達(dá)對方起點后馬上折返，甲接著每分鐘比前1分鐘多走1m，乙接著每分鐘走5m，那么起先運動幾分鐘后其次次相遇？解：(1)設(shè)甲、乙運動起先