2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題七（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合4={%|尤2-3%+2<。},B={X||%-1|<1},則AB=()

A.{x|0<x<2}B.{x|O<x<l}C.{x|x<2}D,{x|l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】

解出集合4、3中的不等式即可.

【詳解】因?yàn)锳={x|無2—3尤+2<。}={x|1<尤<2},B={%||x-11<1}={x|O<x<2}

所以AB={x11<x<2}

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次不等式的解法和集合的運(yùn)算，較簡潔.

2.已知z=(2+1",貝U卜卜()

2-i11

A.3B.2C.1D.—

2

【答案】C

【解析】

【分析】

43

本題首先可依據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得出z=--+-i,然后依據(jù)復(fù)數(shù)的模的相關(guān)計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】z\(2-+i,)i=2i+-r_2z-l_(2Z-l)(2+?J

i~2-i—(2-z)(2+z)

4i+2f—2-二4-2-：l-i—4+3，43.

==+z,

一4-『-4+1555

闞2Md卜

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模，若復(fù)數(shù)z=a+初，則忖="/，考查計(jì)算實(shí)力,

是簡潔題.

3.下列結(jié)論正確的是()

A.殘差點(diǎn)勻稱分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越低.

B.在線性回來模型中，相關(guān)指數(shù)R2=0.96,說明說明變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量改變的貢獻(xiàn)率約為96%.

C.已知隨機(jī)變量XNQ,/),若P(0<X<2)=0.4,則尸(X>4)=02.

D.設(shè)均為不等于1的正實(shí)數(shù)，貝log,2〉log”2”的充要條件是“.

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)殘差點(diǎn)勻稱分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合效果越好、精度越高可知，選項(xiàng)A正確；依據(jù)

相關(guān)指數(shù)意義可知，選項(xiàng)3正確；依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；依據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性可知，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,殘差點(diǎn)勻稱分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，故選項(xiàng)4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,在線性回來模型中，相關(guān)指數(shù)R2=0.96,說明說明變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量改變的貢獻(xiàn)率約為96%,故

選項(xiàng)3正確；

對(duì)于C,因?yàn)椤?2且P(0<X<2)=0.4,所以。(2<X<4)=0.4,所以

P(X>4)=P(X>2)-P(0<X<2)=0.5一0.4=0.1,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

11[b>\

對(duì)于￡)，log*2>log2------->-------0，或或。,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

log2blog2a[0<a<1

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了回來分析，考查了正態(tài)分布，考查了對(duì)數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了充要

條件，屬于基礎(chǔ)題.

4.若(x+的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256,則綻開式中x的系數(shù)是()

A.54B.81C.96D.106

【答案】A

【解析】

【分析】

先由題意求出〃，再由二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閤+的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256,所以(1+3)"=256=28,解得〃=4,

由巳3廠—2=1得廠=2,

2

所以，綻開式中了的系數(shù)為3?=54.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.

5.若圓錐的側(cè)面綻開圖是半徑為/的半圓，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積比值是()

345

A.—B.2C.—D.一

233

【答案】A

【解析】

分析】

設(shè)該圓錐的底面半徑為r，母線長為/,依據(jù)題意可得271r=4,所以/=2r,然后依據(jù)圓錐的表面積公式

計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為廣，母線長為/,依據(jù)題意可得2口=用，所以/=2r

所以這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積比值是7irl:("力+兀E)=2乃廠2:3兀戶=2:3

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的表面積公式，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)學(xué)問的駕馭狀況，較簡潔.

6.已知點(diǎn)〃(后,%)在直線3x+y+2=0上，且滿意則為的取值范圍為()

xo

A.(-3,-j]B.(-oo,-3)J(-i,+oo)

C.(-00,-3]0(--1,+00)D.(-3,-^)

【答案】B

【解析】

【分析】

由毛〉為-1，求出質(zhì)的取值范圍，再求業(yè)的范圍.

【詳解】由題意3%+%+2=0,%=—3%—2,

3

>

<％o>%一1，:?玉)一3%0—2—1,解得%0>--,

X。X。X。

…3141c

?%>---,二.一＜一丁或一〉0,

°4X。3%

221所以為e(-00,-3)1(-1,+oo).

二.-3-----<-3或-3----->--

%為3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，考查不等式的性質(zhì)，解題過程是利用點(diǎn)在直線上，且滿意的不等關(guān)系求出％的

范圍，然后再利用不等式的性質(zhì)求解.

【答案】C

【解析】

【分析】

化簡函數(shù)y=/(%)的解析式,推斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性及/(3)的符號(hào)，結(jié)合解除法可得出合適的選項(xiàng).

7C

COSsin(-x)_sinx

5—九sinx,/(-%)==一〃力,

【詳解】/x)=lg|2^-2x「lg|2-2Tl

lgp_2Tl~lg\2x-2-x\

函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，解除A、D選項(xiàng);

43)二^2

>0

，解除B選項(xiàng).

1g81

8

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的解析式選擇函數(shù)圖象，一般從函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函

數(shù)值符號(hào)進(jìn)行分析，結(jié)合解除法得出合適的選項(xiàng)，考查推理實(shí)力，屬于中等題.

An

8.已知函數(shù)/(x)=x+—+/?,xe[/?,+oo),其中Z?>0,〃eR,記M為/O)的最小值，則當(dāng)M=2時(shí),

x

。的取值范圍為(

1111

A.a>一B.〃<一C.a>一D.。<一

3344

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)。的正負(fù)以及與b大小關(guān)系分類探討AM單調(diào)性，再依據(jù)單調(diào)性確定最小值取法，最終依據(jù)最小值求

結(jié)果

【詳解】①當(dāng)。40時(shí)，/(尤)在也+8)上單調(diào)遞增，所以=f(b)=2b+—=2Qb>0.-.b=1+^^

b2

因此a40滿意題意;

②當(dāng)〃>0時(shí)，/(%)在［2&,+oo)上單調(diào)遞增，在(0,26)上單調(diào)遞減

因此⑴當(dāng)Wb時(shí)，/(%)在［"+8)上單調(diào)遞增，所以

Azy1±J1—84

/l(尤)而"=/S)=26+——=2Q62—6+2a=0:.A=l-8aZ0,Zj=>2y[a，

l""b2

Q2y[a<ba<—:.-(b-b2)<—Qb>0:.b>—b=----------

42432

1

Q匕牛氏2&0門"々-1=0<。弓或<ci>—]

16n0<〃<一或

1—8。216〃—+1

11

——<a<—0<a4—

1699

⑵當(dāng)2G>匕時(shí)，/(%)在［2&,+8)上單調(diào)遞增，在［426)上單調(diào)遞減

11

,所以/(x)111ta=/(2G)=46+6=2Q0<6<2&;.26>2-4?>()，—<a<—；

94

綜上，。的取值范圍為。＜!，

4

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值、分式函數(shù)單調(diào)性，考查分類探討思想方法以及綜合分析求解實(shí)力，屬較難題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極

衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)驗(yàn)過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏

著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則下列說

法正確的是()

A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是182

C.此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為D.此數(shù)列的前幾項(xiàng)和為5"=〃?(〃-1)

【答案】AC

【解析】

分析】

首先找尋出數(shù)列的規(guī)律，歸納出通項(xiàng)公式，然后推斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】視察此數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式為生國=2/，奇數(shù)項(xiàng)是后一項(xiàng)減去后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，為i=4"-2〃，

由止匕可得/o=2xlC)2=200,A正確；《9=出0—20=180,B錯(cuò)誤；C正確；=〃(〃-1)=川一〃是一

個(gè)等差數(shù)列的前"項(xiàng)，而題中數(shù)列不是等差數(shù)列，不行能有=〃?(“-1),D錯(cuò).

故選：AC.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，要求從數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式.這里我們只能從常見的

數(shù)列動(dòng)身，找尋各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)〃之間的關(guān)系，歸納結(jié)論.有時(shí)須要分奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別探討歸納出結(jié)論，

或者找尋兩者的關(guān)系，從而得出結(jié)論.

22

10.已知6、工是雙曲線C：匕—土=1的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)〃是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且

42

以線段￡工為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)“，則下列說法正確的是()

A.雙曲線。的漸近線方程為＞=±缶

B.以耳耳為直徑的圓的方程為必+丁=2

C.點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為土行

D.AM耳月的面積為2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出漸近線方程，以耳工為直徑的圓的方程，"點(diǎn)坐標(biāo)，△班工的面積然后推

斷各選項(xiàng).

22—

【詳解】由雙曲線方程L―土=1知a=2力=&,焦點(diǎn)在y軸，漸近線方程為'=±?%=±缶，A正

42b

確；

c=^+b-=V6＞以片耳為直徑的圓的方程是d+y2=6,B錯(cuò);

由1l得或J"，由對(duì)稱性知"點(diǎn)橫坐標(biāo)是±上，C正確；

y=v2x［y=2［y=-2

^=1|^IKI=1X2V6XV2=273,D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，解題時(shí)可依據(jù)雙曲線方程確定”,仇。，同時(shí)留意焦點(diǎn)據(jù)的軸，然后依

據(jù)a,b,c求解其他量.

11.已知定義在R上的函數(shù)“X）滿意/（x）V（—x）=0,/（%+6）=—/⑴，且對(duì)寸7%目—3,0］,當(dāng)

%彳了2時(shí)，都有王/（石）+//（々）＜王/。2）+//（西），則以下推斷正確的是（）

A.函數(shù)/（X）是偶函數(shù)B.函數(shù)/（X）在［—9,-6］單調(diào)遞增

C.x=3是函數(shù)/（尤）的對(duì)稱軸D.函數(shù)/（元）的最小正周期是12

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由/GOt/X—%）=0得函數(shù)為奇函數(shù)，推斷A選項(xiàng)；通過/（%+6）=—/（%）得函數(shù)的最小正周期，推斷。選

項(xiàng)；通過題意得/（x+6）=/（-%）,進(jìn)而得函數(shù)的對(duì)稱軸，推斷C選項(xiàng)；化簡

%/（西）+x2/（x2）＜xj（x2）+x2/（%i）為（石—馬）?（/（石）一/（々））＜0得到函數(shù)在［TO］上的單調(diào)性,

結(jié)合奇偶性、對(duì)稱軸、周期得［-9,-6］上的單調(diào)性，推斷3選項(xiàng)即可.

【詳解】解：因?yàn)?(x)V(—%)=0,即/(—x)=—/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)?(x+6)=-/(x),而/(一%)=-/(%),所以/(x+6)=/(—%),所以函數(shù)的對(duì)稱軸為％=殳2=3,

2

故。選項(xiàng)正確；

因?yàn)?(x+6)=—/(x),所以/(x+12)=—/(x+6)=/(x),即/(x+12)=/(x),

所以/(x)的最小正周期是12,故。選項(xiàng)正確；

因?yàn)?當(dāng)玉/了2時(shí)，都有西/(西)+々/(々)<占/02)+//(西)，

由%!/(%1)+x2/(x2)<+々/(為)化簡得(下一尤2)?(/(七)一/(尤2))<0，

所以］?［3,0］時(shí)，/(X)為減函數(shù).

因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以xe［0,3］時(shí)，/(x)為減函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)關(guān)于％=3對(duì)稱，

所以xe［3,6］時(shí)，/(%)為增函數(shù).

因?yàn)榈淖钚≌芷谑?2,所以xe［-9,-6］的單調(diào)性與九13,6］時(shí)的單調(diào)性相同.

故，xe［—9,—6］時(shí)，/(尤)單調(diào)遞增，故3選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱軸和周期，屬于中檔題.

12.如圖四棱錐尸-ABCD,平面PADJ_平面ABCD,側(cè)面PAD是邊長為2后的正三角形，底面ABCD

為矩形，。。=26，點(diǎn)。是尸。的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.。。，平面上4。

B.PC與平面AQC所成角的余弦值為述

3

C.三棱錐3—AC。的體積為60

D.四棱錐Q-A5CD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為24百

【答案】BD

【解析】

【分析】

取AD的中點(diǎn)。，的中點(diǎn)E，連接OE,OP,則由已知可得OP,平面ABCD,而底面A3CD為矩

形，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OE,OP所在的直線為無軸，V軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量依次求解即可.

【詳解】解：取AD的中點(diǎn)。，的中點(diǎn)E，連接OE,OP,

因?yàn)槿切紊?D為等邊三角形，所以

因?yàn)槠矫嫔?DJ_平面ABC。，所以O(shè)尸，平面ABCD,

因?yàn)樗設(shè)D,OE,O尸兩兩垂直，

所以，如下圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，V軸,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，則0（0,0,0）,D（#,0,0）,A（—J，0,0）,

P（0,0,3偽,C（跖2"0）,3（-倔260）,

因?yàn)辄c(diǎn)。是的中點(diǎn)，所以半），

平面上4。的一個(gè)法向量為根=（0,1,0）,

QC=（當(dāng)，26,—孚），明顯加與QC不共線，

所以CQ與平面上4。不垂直，所以A不正確；

PC=（瓜2百,—3板）,AQ=（亭,0,孚）,AC=（2瓜2^,0），

設(shè)平面AQC的法向量為"=（x,y,z）,則

s3瓜372八

22

小。=2向+2島=0

令貝！Jy=-行,z=-石，

所以〃=(1,-,

設(shè)PC與平面AQC所成角為e,

ruum

nPC2"J

則sin。

n\\PC6A/63

所以cose=2/Z，所以B正確;

3

三棱錐5—ACQ的體積為

=1X-|X2A/3X2A/6X1X3A/2=6,

所以C不正確；

設(shè)四棱錐Q—A5CD外接球的球心為M(0,、與,a)，則MQ=MD,

解得a=0,即M(0,73,0)為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，

所以四棱錐Q-A5CD外接球的半徑為3,

設(shè)四棱錐Q-A5CD外接球的內(nèi)接正四面體的棱長為x，

將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方風(fēng)光的對(duì)角線,

故正方體的棱長為注X，所以3—X=62,得f=24，

所以正四面體的表面積為4'左％2=246,所以D正確.

故選：BD

【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直，線面角，棱錐的體積，棱錐的外接球等學(xué)問，綜合性強(qiáng)，考查了計(jì)算實(shí)力,

屬于較難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字，可以組成個(gè)三位正整數(shù).

【答案】100

【解析】

【分析】

用分步乘法原理計(jì)數(shù).

【詳解】用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字，

可以組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為4義5義5=100.

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法原理，解題關(guān)鍵是確定完成這件事的方法，是分步還是分類.

14.函數(shù)〃尤)=sin+萬卜os(—sin?1'在[0,句上的最小值是.

【答案】_受±1

2

【解析】

【分析】

利用三角恒等變換思想化簡得出了(X)=-等sin]n

由OWxW乃計(jì)算得出x-一的取值范圍,

24

再利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)y=/(%)的最小值.

詳解

工/\.XX.2X.XX.2%1.1-COSX

〃x)=sm彳+萬cos--sm-=-sin-cos--sin--——smx-

22

22)22(4)2

兀,兀，3兀

當(dāng)0WxW乃時(shí),----<x-----<——,

444

所以當(dāng)尤一；=5時(shí)，函數(shù)y=/(x)取得最小值，即〃力而口=—走——也

42mn222

故答案為：—受土！.

2

【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上最值的求解，解答的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析

式，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.

15.已知一袋中裝有紅，藍(lán)，黃，綠小球各一個(gè)，每次從中取出一個(gè)，登記顏色后放回.當(dāng)四種顏色的小球

全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次停止的概率為.

75

【答案】—

512

【解析】

【分析】

事務(wù)“恰好取6次停止”是第4種顏色第6次才取到，前5次只出現(xiàn)3種顏色，求出它的方法數(shù)，再求出

取6次球的總方法數(shù)，由概率公式可計(jì)算出概率.

【詳解】取球6次，總的方法為46,記“恰好取6次停止”為事務(wù)A,事務(wù)A的發(fā)生，前5次取球只出現(xiàn)

3種顏色，第6次取出的是第4種顏色，而