2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.1第2課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用學案含解析新人教A版選修2-3

PAGE第2課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用[目標]1.能依據(jù)詳細問題的特征，選擇兩種計數(shù)原理解決一些實際問題.2.會依據(jù)實際問題合理分類或分步．[重點]會利用兩個計數(shù)原理解決一些實際問題，如組數(shù)問題、涂色問題、選擇性問題等．[難點]利用兩個計數(shù)原理合理地進行分類和分步．學問點兩個計數(shù)原理的綜合應用[填一填]1．兩個計數(shù)原理在解決計數(shù)問題中的方法用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時最重要的是在起先計算之前要進行細致分析須要分類還是須要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再對每一類進行計數(shù)，最終用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”即完成了全部步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最終依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．2．涂色問題的解決思路(1)位置分析法，依據(jù)圖形中各區(qū)域依次依次涂色，在涂色時要留意可按不相鄰的部分同色與不同色進行分類．(2)元素分析法，即從顏色個數(shù)入手進行分類．3．選取問題的關注點從已知的數(shù)字、號碼、人員等選取須要的元素來解決實際問題是兩個計數(shù)原理的常見應用．解決問題時須要關注以下問題：(1)適用分類加法計數(shù)原理還是適用分步乘法計數(shù)原理．(2)元素之間的關系對選取的影響及題目條件對所選取元素的限制．[答一答]解決實際問題時，如何應用兩個計數(shù)原理？提示：在解決實際問題時，并不肯定是單一地應用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理，有時可能同時用到兩個計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能運用分步完成，而分步后，每步的方法數(shù)可能會實行分類的思想去求解，對于同一事務，我們可以做不同的處理，從而得到不同的解法(但總方法數(shù)相同)．1．兩個原理的綜合應用對于有些計數(shù)問題的解決，對它們既須要進行“分類”，又須要進行“分步”，那么此時就要留意綜合運用兩個原理解決問題．首先要明確是先“分類”后“分步”，還是先“分步”后“分類”；其次，在“分類”和“分步”的過程中，均要確定明確的分類標準和分步程序．2．一些特別規(guī)計數(shù)問題的解決方法(1)枚舉法將各種狀況一一列舉出來，它適用于計數(shù)種數(shù)較少時，分類計數(shù)時將問題分類，實際也是將分類種數(shù)一一列舉出來．(2)間接法若計數(shù)時分類較多，或無法干脆計數(shù)時，可用間接法先求出總數(shù)，再減去不行能的種數(shù)，即正難則反．(3)轉換法轉換問題的角度或轉換成其他已知的問題．在實際應用中，應依據(jù)詳細問題，敏捷處理．(4)模型法模型法就是通過構造圖形，利用形象直觀的圖形幫助我們分析、解決問題的方法．模型法是解決計數(shù)問題的重要方法．類型一計數(shù)問題【例1】用0,1,2,3,4這5個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的：(1)銀行存折的四位密碼？(2)四位數(shù)？【分析】(1)要組成無重復數(shù)字的四位密碼，可以分四步選取數(shù)字，作四位密碼的四個位置上的數(shù)字，且所取數(shù)字不能重復；(2)可以分四步選取數(shù)字，分別作為千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字和個位數(shù)字，且所取數(shù)字不能重復，與(1)不同之處是千位數(shù)字不能取0.【解】(1)完成“組成無重復數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分四步完成：第一步：選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；其次步：選取左邊其次個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步：選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步：選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可組成不同的無重復數(shù)字的四位密碼共有5×4×3×2＝120(個)．(2)完成“組成無重復數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步完成：第一步：從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；其次步：從剩余的四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步：從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步：從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可組成不同的四位數(shù)共有4×4×3×2＝96(個)．利用分步乘法計數(shù)原理的一般思路：首先將完成這件事的過程分步，然后找出每一步中的方法有多少種，求其積.留意各步之間的相互聯(lián)系，都完成后，才能完成這件事.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中取四個數(shù)字組成一個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，問：(1)能組成多少個四位數(shù)？(2)能被5整除的四位數(shù)有多少個？解析：(1)第1步，千位上的數(shù)不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5種選擇；第2步，因為千位取了一個數(shù)，還剩下5個數(shù)供百位取，所以有5種選擇；第3步，因為千位、百位分別取了一個數(shù)，還剩下4個數(shù)供十位取，所以有4種選擇；第4步，因為千位、百位、十位分別取了一個數(shù)，還剩下3個數(shù)供個位取，所以有3種選擇．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，組成的四位數(shù)共有5×5×4×3＝300(個)．(2)因為滿意要求的四位數(shù)能被5整除，所以個位上的數(shù)字只能是0或5.第1類，當個位上的數(shù)字為0時，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有5種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有5×4×3＝60個滿意要求的四位數(shù)；第2類，當個位數(shù)字為5時，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有4種選擇、4種選擇、3種選擇，所以有4×4×3＝48個滿意要求的四位數(shù)．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，能被5整除的四位數(shù)共有60＋48＝108(個)．類型二選取問題【例2】已知在直線ax＋by＋c＝0中，a，b，c的值是集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求滿意條件的直線的條數(shù)．【分析】依據(jù)直線的斜率和傾斜角之間的關系，即一條直線的傾斜角(不包括傾斜角為直角的狀況)的正切值等于這條直線的斜率，由斜率確定a與b的符號．【解】設直線的傾斜角為θ，則tanθ＝－eq\f(a,b)(a，b≠0)，因為θ是銳角，所以tanθ>0，所以a與b異號．(1)當c＝0時，因為a與b異號，所以a有3種取法，b有3種取法，解除兩個重復的(3x－3y＝0,2x－2y＝0和x－y＝0為同一條直線)，故這樣的直線有3×3－2＝7條．(2)當c≠0時，a有3種取法，b有3種取法，c有4種取法，其中隨意兩條直線都不相同，故這樣的直線有3×3×4＝36條．由分類加法計數(shù)原理可得符合條件的直線共有7＋36＝43條．本題依據(jù)c是否為0來進行分類，當c＝0時，留意解除重復的直線；當c≠0時，留意分步計算.滿意a，b∈{－1,0,1,2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(B)A．14 B．13C．12 D．10解析：a＝0時，方程變?yōu)?x＋b＝0，則b為－1,0,1,2都有解；a≠0時，若方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解，則Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.當a＝－1時，b可?。?,0,1,2.當a＝1時，b可?。?,0,1.當a＝2時，b可取－1,0，故滿意條件的有序對(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.類型三涂色問題【例3】一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，四周的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．(1)如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a1，a2，a3，有多少種不同的種植方法？(2)如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a1，a2，a3，a4，有多少種不同的種植方法？【解】(1)如題圖1，先對a1部分種植，有3種不同的種植方法，再對a2，a3種植．因為a2，a3與a1不同顏色，a2，a3也不同，所以由分步乘法計數(shù)原理得3×2×1＝6(種)．(2)如題圖2，當a1，a3不同色時，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當a1，a3同色時，有3×2×2×1＝12(種)種植方法，由分類加法計數(shù)原理，共有6＋12＝18(種)種植方法．1涂色問題的基本要求是相鄰區(qū)域不同色，但是不相鄰的區(qū)域可以同色.解決此類問題要特殊關注圖形的結構特征.假如圖形不很規(guī)則，往往從某一塊動身進行分步涂色，從而選用分步乘法計數(shù)原理；假如圖形具有肯定的對稱性，那么先對涂色方案進行分類，每一類再進行分步.2涂色問題往往涉及兩計數(shù)原理的綜合應用，因此，要找準分類標準，在兼顧條件的狀況下分步涂色.有6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆．則該板報有多少種書寫方案？解：第一步選英語角用的彩色粉筆有6種不同的選法；其次步選語文學苑用的彩色粉筆，不能與英語角相同，有5種不同的選法；第三步，選理綜世界用的彩色粉筆，與英語角和語文學苑用的顏色都不相同，有4種不同的選法；第四步，選數(shù)學天地用的彩色粉筆，只要與理綜世界不同即可，有5種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×5×4×5＝600種不同的書寫方案．模型法解決計數(shù)問題模型法就是通過構造圖形，如樹形圖、表格等，利用形象、直觀的圖形幫助我們分析、解決問題的方法．模型法是解決計數(shù)問題的重要方法．【例4】三人傳球，由甲起先發(fā)球，并作為第1次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有多少種？【思路分析】【解】如圖．甲→□→□→□→□→甲第一個空與第四個空不能是甲，分三類探討：(1)若其次個空是甲，則第一個空有2種選擇方式，第三個空有2種選擇方式，第四個空僅有1種選擇方式，所以有2×2＝4種方式；(2)若第三個空是甲，同上，有2×2＝4種方式；(3)若其次個、第三個空都不是甲，則僅有如下兩種傳球方式：甲→乙→丙→乙→丙→甲；甲→丙→乙→丙→乙→甲．所以共有4＋4＋2＝10種方式．【解后反思】在這里以“□”來構造模型，從而使看不見摸不著的動態(tài)傳球問題變得形象直觀起來．甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀年卡，放在一起，然后每人取一張不是自己寫的賀年卡，共有多少種不同的取法？解：設甲、乙、丙、丁寫出的4張賀年卡分別為1,2,3,4號，則將取不是自己寫的賀年卡的各種方法全部列舉出來，如下表：方法編號法1法2法3法4法5法6法7法8法9甲222333444乙134144133丙441412212丁313221321故共有9種方法．1．某一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學只會用綜合法證明，有3名同學只會用分析法證明，現(xiàn)從這些同學中任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數(shù)為(A)A．8 B．15C．18 D．30解析：共有5＋3＝8種不同的選法．2．某市電話號碼由7位數(shù)組成，其中前4位是固定不變的，后3位數(shù)字是由0到9之間的隨意數(shù)字組成(數(shù)字可以重復)，則該市最多有________個不同的電話號碼．(A)A．10×10×10 B．10×9×8C．9×9×9 D．9×8×73．某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔當班長，其中至少有1名女生當選的選法種數(shù)是15.解析：至少有1名女生當選，所以有兩種可能：(1)只有1名女生擔當班長，有4×3＝12種選法．(2)有2名女生擔當班長，有3種選法．故至少有1名女生當選的選法為12＋3＝15種．4．若在登錄某網(wǎng)站時彈出一個4位的驗證碼：××××(如2a8t)，第一位和第三位分別為0到9這10個數(shù)字中的一個，其次位和第四位分別為a到z這26個英文字母中的一個，則這樣的驗證碼共有67_600解析：要完成這件事可分四步：第一步，確定驗證碼的第一位，共有10種方法；其次步，確定驗證碼的其次位，共有26種方法；第三步，確定驗證碼的第三位，共有10種方法；第四步，確定驗證碼的第四位，共有26種方法．由分步乘法計數(shù)原理可得，這樣的驗