2024新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評價(jià)三含解析新人教B版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價(jià)單元素養(yǎng)評價(jià)(三)(第六章)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,則實(shí)數(shù)m等于 ()A.-2 B.2C.-2或2 D.0【解析】選C.由a∥b知1×2=m2,解得m=2或m=-2.2.若三點(diǎn)A(2,3),B(3,a),C(4,b)共線,則有 ()A.a=3,b=-5 B.a-b+1=0C.2a-b=3 D.a-2b=0【解析】選C.=(1,a-3),=(2,b-3),∥?b-3=2a-6,2a-b=3.3.在△ABC中,點(diǎn)P在BC上,且=2,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若=(4,3),=(1,5),則等于 ()A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)【解析】選B.=2=2(-)=2(-3,2)=(-6,4),=3=3(+)=3(-2,7)=(-6,21).4.(2024·西昌高一檢測)已知a,b是不共線的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ、μ滿意()A.λ=μ-3 B.λ=μ+3C.λ=μ+2 D.λ=μ-2【解析】選B.由A,B,C三點(diǎn)共線,得=t+(1-t)=(1+t)a+(t-2)b,因?yàn)閍,b是不共線的向量,所以λ=t+1,μ=t-2,所以λ=μ+3.5.若P是直線P1P2上的一點(diǎn),且=λ,則當(dāng)-1<λ<0時,點(diǎn)P的位置()A.在線段P1P2上B.在線段P1P2的延長線上C.在線段P2P1的延長線上D.不能確定【解析】選C.依據(jù)題意易知,點(diǎn)P不行能與P1,P2重合,當(dāng)P在線段P1P2上時,λ>0;當(dāng)P在線段P1P2的延長線上時,λ<-1;當(dāng)P在線段P2P1的延長線上時,-1<λ<0.6.如圖在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),則 ()A.=12(a+b+c+d)B.=12(a-b+c-d)C.=12(c+d-a-b)D.=12(a+b-c-d)【解析】選C.連接OE,OF.因?yàn)?-=12(+)-12(+)=12(c+d)-12(a+b),所以=17.(2024·唐山高一檢測)過△ABC內(nèi)一點(diǎn)M任作一條直線l,再分別過頂點(diǎn)A,B,C作l的垂線,垂足分別為D,E,F,若++=0恒成立,則點(diǎn)M是△ABC的()A.垂心 B.重心 C.外心 D.內(nèi)心【解析】選B.因?yàn)檫^△ABC內(nèi)一點(diǎn)M任作一條直線l,可將此直線特別為過點(diǎn)A,則=0,有+=0.如圖:則有直線AM經(jīng)過BC的中點(diǎn),同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點(diǎn),直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn),所以點(diǎn)M是△ABC的重心.8.(2024·沈陽高一檢測)過△ABC的重心任作始終線分別交邊AB,AC于點(diǎn)D,E.若=x,=y,xy≠0,則4x+y的最小值為 ()A.4 B.3 C.2 D.1【解析】選B.設(shè)重心為O,因?yàn)橹匦姆种芯€的比為2∶1,則有+=3,+=1x+1y,則=13x+13y又因?yàn)镺,D,E三點(diǎn)共線,所以13x+又x>0,y>0,則4x+y=13x+13y(4x+y)=53+y二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.下列命題不正確的是 ()A.單位向量都相等B.若a與b是共線向量,b與c是共線向量,則a與c是共線向量C.|a+b|=|a-b|,則a⊥bD.若a與b是單位向量,則|a|=|b|【解析】選AB.單位向量僅僅長度相等而已,方向或許不同;當(dāng)b=0時,a與c可以為隨意向量;|a+b|=|a-b|,即對角線相等,此時為矩形,鄰邊垂直.10.下列命題中正確的是 ()A.-= B.+=0C.0·=0 D.++=【解析】選AD.起點(diǎn)相同的向量相減,則取終點(diǎn),并指向被減向量,-=;,是一對相反向量,它們的和應(yīng)當(dāng)為零向量,+=0;0·=0;++=.11.假如e1,e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量,那么下列說法中不正確的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的全部向量B.對于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λe1+μe2的實(shí)數(shù)對(λ,μ)有無窮多個C.若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線,則有且只有一個實(shí)數(shù)λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若實(shí)數(shù)λ,μ使得λe1+μe2=0,則λ=μ=0【解析】選BC.由平面對量基本定理可知,A,D是正確的.對于B,由平面對量基本定理可知,若一個平面的基底確定,那么該平面內(nèi)的隨意一個向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的.對于C,當(dāng)兩個向量均為零向量時,即λ1=λ2=μ1=μ2=0時,這樣的λ有多數(shù)個,或當(dāng)λ1e1+μ1e2為非零向量,而λ2e1+μ2e2為零向量(λ2=μ2=0),此時λ不存在.12.(2024·濟(jì)南高一檢測)如圖2,“六芒星”是由兩個全等正三角形組成,中心重合于點(diǎn)O且三組對邊分別平行,點(diǎn)A,B是“六芒星”(如圖1)的兩個頂點(diǎn),動點(diǎn)P在“六芒星”上(內(nèi)部以及邊界),若=x+y,則x+y的取值可能是()A.-6 B.1 C.5 D.9【解析】選BC.如圖所示:設(shè)=a,=b,求x+y的最大值,只需考慮圖中以O(shè)為起點(diǎn),6個頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即可,探討如下:(1)因?yàn)?a,所以(x,y)=(1,0);(2)因?yàn)?b,所以(x,y)=(0,1);(3)因?yàn)?+=a+2b,所以(x,y)=(1,2);(4)因?yàn)?+=+=2-=2a+3b,所以(x,y)=(2,3);(5)因?yàn)?+=a+b,所以(x,y)=(1,1);(6)因?yàn)?+=a+3b,所以(x,y)=(1,3).所以x+y的最大值為2+3=5.依據(jù)其對稱性,可知x+y的最小值為-5.故x+y的取值范圍是[-5,5],故選項(xiàng)B,C均符合題意.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.若=(2,8),=(-7,2),則13=________.

【解析】=-=(-9,-6),所以13=(-3,-2).答案:(-3,-2)14.已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),則合力F=F1+F2+F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是________.

【解析】因?yàn)镕=(8,0),所以終點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0)+(1,1)=(9,1).答案:(9,1)15.設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=________.

【解析】a+b=(m+1,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.答案:-216.(2024·鄭州高一檢測)已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),設(shè)F為AB的中點(diǎn),若=14+12,且=λ,則λ=________,S△APCS△APB=【解析】如圖,F為AB的中點(diǎn),設(shè)D為AF的中點(diǎn),E為AC的中點(diǎn),因?yàn)?14+12,所以可得=14+12,整理得++2=0.又+=2,所以=-,所以S△APC=S△APF,又S△APF=12S△APB,所以S△APC答案:-11四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)在平行四邊形ABCD中,=a,=b.(1)如圖①,假如E,F分別是BC,DC的中點(diǎn),試用a,b分別表示,.(2)如圖②,假如O是AC與BD的交點(diǎn),G是DO的中點(diǎn),試用a,b表示.【解析】(1)=+=+12=-12=-12a+b.=+=-12=a-12b.(2)=-=b-a.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn),G是DO的中點(diǎn),所以=34=34(b-a),所以=+=a+34(b-a)=14a+34b.18.(12分)(2024·成都高一檢測)已知向量m,n不是共線向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.(1)推斷a,b是否共線.(2)若a∥c,求x的值.【解析】(1)若a與b共線,由題知a為非零向量,則設(shè)b=λa,即6m-4n=λ3m所以6=3λ,-4=2λ所以λ不存在,即a與b不共線.(2)因?yàn)閍∥c,則設(shè)c=ra,即m+xn=3rm+2rn,即1=3r,x19.(12分)設(shè)=(2,-1),=(3,0),=(m,3).(1)當(dāng)m=8時,將用和表示.(2)若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿意的條件.【解析】(1)m=8時,=(8,3),設(shè)=λ1+λ2,所以(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),所以2λ1所以=-3+143.(2)若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則有與不共線,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),則有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.20.(12分)用向量法證明:三角形的三條中線交于一點(diǎn).【證明】如圖,D,E,F分別是△ABC三邊上的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,AD∩BE=G.設(shè)=λ,=μ.則=+=(b-a)+μ=(b-a)+μ=b-a+μ12a-b=12(μ-2)a+(1-μ)b,又=λ=λ(+)=λ-a+12b=-λa+1所以-λ=則=+=a+23=a+23-a+1=12a+12b,所以=23,所以G在中線CF上,所以三角形三條中線交于一點(diǎn).21.(12分)在風(fēng)速為75(6-2)km/h的西風(fēng)中,飛機(jī)以150km/h的航行速度向西北方向飛行,求沒有風(fēng)時飛機(jī)的航行速度和方向.【解析】如圖所示,設(shè)v=風(fēng)速,va=有風(fēng)時飛機(jī)的航行速度,vb=無風(fēng)時飛機(jī)的航行速度,則vb=va-v.所以vb,va,v構(gòu)成了一個三角形,||=|va|,||=|v|,||=|vb|.作AD∥BC,CD⊥AD于點(diǎn)D,BE⊥AD于點(diǎn)E,則∠BAD=45°,設(shè)||=150,||=75(6-2),則||=||=||=752,所以||=756.從而||=1502,∠CAD=30°,所以|vb|=1502,所以無風(fēng)時飛機(jī)的航行速度為1502km/h,方向?yàn)楸逼?0°.22.(12分)設(shè)直線l:mx+y+2=0與線