2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第9章平面向量9.1向量概念課時分層作業(yè)含解析蘇教版必修第二冊

PAGE課時分層作業(yè)(一)向量概念(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列各量中是向量的是()A．密度B．電流C．浮力D．面積C[只有浮力既有大小又有方向．]2．若向量a與向量b不相等，則下列關(guān)于a與b的說法肯定正確的是()A．不共線 B．長度不相等C．不都是單位向量 D．不都是零向量D[若向量a與向量b不相等，則說明向量a與向量b的方向或長度至少有一個不同，所以a與b有可能共線，有可能長度相等，也可能都是單位向量，故A，B，C都錯誤，但a與b肯定不都是零向量．]3．若eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|，則四邊形ABCD的形態(tài)為()A．正方形 B．菱形C．矩形 D．平行四邊形B[由eq\o(BA,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))知AB＝CD且AB∥CD，即四邊形ABCD為平行四邊形，又因為|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|，所以四邊形ABCD為菱形．]4．下列命題中，正確的是()A．若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量B．a(chǎn)，b是兩個單位向量，則a與b相等C．兩個相等的向量，起點、方向、長度必需都相同D．共線的單位向量必是相等向量A[若a與b中有一個是零向量，則a與b共線．]5．給出以下條件，不能使a與b共線的是()A．a(chǎn)＝bB．|a|＝|b|C．a(chǎn)與b的方向相反D．|a|＝0或|b|＝0B[依據(jù)相等向量肯定是共線向量知A成立；|a|＝|b|但方向可以隨意，∴B不成立；a與b反向必平行或重合，∴C成立；由|a|＝0或|b|＝0，得a＝0或b＝0.依據(jù)0與任何向量共線，∴D成立．]二、填空題6．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點共線，則λμ＝________.1[∵eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))有公共點A，∴若A，B，C三點共線，則存在一個實數(shù)t使eq\o(AB,\s\up8(→))＝teq\o(AC,\s\up8(→))，即λa＋b＝ta＋μtb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,μt＝1，))消去參數(shù)t得λμ＝1；反之，當(dāng)λμ＝1時，eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,μ)a＋b，此時存在實數(shù)eq\f(1,μ)使eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AC,\s\up8(→))，故eq\o(AB,\s\up8(→))和eq\o(AC,\s\up8(→))共線．∵eq\o(AB,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))有公共點A，∴A，B，C三點共線．]7．如圖所示，已知AD＝3，B，C是線段AD的兩個三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，模長度大于1的向量有________．eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))[滿意條件的向量有以下幾類：模長為2的向量有：eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))；模長為3的向量有：eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→)).]8．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，f分別是AD與BC的中點，則在以A，B，C，D四點中的隨意兩點為始點和終點的全部向量中，與向量eq\o(EF,\s\up8(→))方向相反的向量為________．eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))[∵AB∥Ef，CD∥Ef，∴與eq\o(EF,\s\up8(→))方向相反的向量為eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→)).]三、解答題9．一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2千米才到達(dá)B地．(1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))；(2)求B地相對于A地的方位．[解](1)向量eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))如圖所示．(2)由題意知eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))，∴ADBC，則四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，則B地相對于A地的方位是“北偏東60°距A地6千米”．10．如圖所示，O為正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCfB都是正方形．(1)寫出與eq\o(AO,\s\up8(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AO,\s\up8(→))共線的向量；(3)向量eq\o(AO,\s\up8(→))與eq\o(CO,\s\up8(→))是否相等？[解](1)與eq\o(AO,\s\up8(→))相等的向量有：eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→)).(2)與eq\o(AO,\s\up8(→))共線的向量有：eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(CO,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(ED,\s\up8(→))，eq\o(DE,\s\up8(→))，eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(FB,\s\up8(→)).(3)向量eq\o(AO,\s\up8(→))與eq\o(CO,\s\up8(→))不相等，因為eq\o(AO,\s\up8(→))與eq\o(CO,\s\up8(→))的方向相反，所以它們不相等．1．(多選題)下列說法錯誤的是()A．若a與b平行，b與c平行，則a與c肯定平行B．終點相同的兩個向量不共線C．若|a|＞|b|，則a＞bD．向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反ABCD[A中，因為零向量與隨意向量平行，若b＝0，則a與c不肯定平行．B中，兩向量終點相同，若夾角是0°或180°，則共線．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不行以比較大小．D中，因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不確定.D不正確．故選ABCD.]2．把平面內(nèi)全部長度不小于1且不大于2的向量的起點平移到同一點O，則這些向量的終點所構(gòu)成的圖形的面積為()A．4πB．3πC．2πD．πB[圖形是半徑為1和2的同心圓對應(yīng)的圓環(huán)，故S圓環(huán)＝π(22－12)＝3π.]3．已知在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝________.2eq\r(3)[結(jié)合菱形的性質(zhì)可知|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝eq\r(3)×2＝2eq\r(3).]4．如圖所示，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，若eq\o(AC,\s\up8(→))的模為2，eq\o(BC,\s\up8(→))的模為3，eq\o(AD,\s\up8(→))的模為1，則eq\o(DB,\s\up8(→))的模為________．eq\f(3,2)[如圖，延長CD，過點A作BC的平行線交CD的延長線于點E.所以∠ACD＝∠BCD＝∠AED，所以|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AE,\s\up8(→))|.因為AE∥BC，所以△ADE∽△BDC，所以eq\f(|\o(AD,\s\up8(→))|,|\o(DB,\s\up8(→))|)＝eq\f(|\o(AE,\s\up8(→))|,|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(|\o(AC,\s\up8(→))|,|\o(BC,\s\up8(→))|)，故|eq\o(DB,\s\up8(→))|＝eq\f(3,2).]5．一位模型賽車手遙控一輛賽車，沿正東方向前行1m，逆時針方向轉(zhuǎn)變α度，接著按直線向前行進(jìn)1m，再逆時針方向轉(zhuǎn)變α度，按直線向前行進(jìn)1m，按此方法接著操作下去．(1)按適當(dāng)?shù)谋壤鲌D說明當(dāng)α＝45°時，至少需操作幾次時賽車的位移為0；(2)按此法操作使賽車能回到動身點，α應(yīng)滿意什么條件？請寫出其中兩個．[解](1)如圖可知操作8次可使賽車的位移為零，此時α＝eq\f(360°,8)＝45°.(2)若使賽車能回到動身點，則賽車的位移為零，由第(1)問作圖可知，所作圖形需是內(nèi)角為(180°－α)的正多邊形，故n(180°－α)＝(n－2)180°，得α＝eq\f(360°,n)，又n是不小于3的整數(shù)，所以當(dāng)n＝10，即α＝36°時需操作10次可回到動身點；當(dāng)n＝12，即α＝30°時需操作12次可回到動身點．6．如圖所示，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點，又eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))且eq\o(CN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))，求證：eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(MB,\s\up8(→)).[證明]因為eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→))，所以|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|且AB∥DC.所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以|eq\o(DA,\s\up8(→))|＝|eq\o(CB,\s\up8(→))|且DA∥CB，又因為eq\o(DA,\s\up8(→))與eq\o(CB,\s\up8(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→)).同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以eq\o(CM,\s\up8(→))＝eq