2024-2025學年湖南省岳陽市汨羅市高二上冊10月月考數學檢測試題（含解析）

2024-2025學年湖南省岳陽市汨羅市高二上學期10月月考數學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1．平面內點P到、的距離之和是10，則動點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．2．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點，若，，，則（

）

A． B．C． D．4．若直線平分圓的周長，則等于（

）A．9 B． C．1 D．5．已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．6．已知點分別是橢圓的左、右焦點，點在此橢圓上，則的周長等于（

）A．20 B．16 C．18 D．147．已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（）A．始終過定點 B．若，則或C．若，則或2 D．當時，始終不過第三象限10．在棱長為2的正方體中，點分別是線段，線段，線段上的動點（包含端點），且．則下列說法正確的有（

）A．平面B．異面直線與所成的最大角為C．三棱錐的體積為定值D．當四棱錐的體積最大時，該四棱錐外接球的表面積為11．已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為.13．已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為14．已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數k的取值范圍是四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知圓和圓．(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長．16．已知動點與兩個定點，的距離的比是2.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.17．已知，是橢圓C：的兩個焦點，，為C上一點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若P為C上一點，且，求的面積．18．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．19．已知橢圓：的右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標軸，與有兩個交點A，B，線段的中點為M.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；(3)延長線段與橢圓交于點P，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.高二年級數學試題答案一、單選題1．平面內點P到、的距離之和是10，則動點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【正確答案】B2．已知點，，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】B3．如圖，三棱柱中，G為棱AD的中點，若，，，則（

）

A． B．C． D．【正確答案】A4．若直線平分圓的周長，則等于（

）A．9 B． C．1 D．【正確答案】B5．已知圓與圓關于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】A6．已知點分別是橢圓的左、右焦點，點在此橢圓上，則的周長等于（

）A．20 B．16 C．18 D．14【正確答案】C7．已知直線與曲線有公共點，則實數k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【詳解】由直線過定點，又由曲線，可得，作出曲線與直線的圖象，如圖所示，因為直線，可得，又由，解得，若直線與曲線有公共點，則，即實數的取值范圍為.故選：B.8．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻且系統的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點與兩定點，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動點與兩定點，的距離之比為時的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來研究與此相關的一個問題：已知圓上的動點和定點，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】取點，推理證明得，把問題轉化為求點M到定點B，N距離和的最小值作答.【詳解】如圖，點M在圓上，取點，連接，有，當點不共線時，，又，因此∽，則有，當點共線時，有，則，因此，當且僅當點M是線段BN與圓O的交點時取等號，所以的最小值為.故選：C方法點睛：圓及圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．二、多選題9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（）A．始終過定點 B．若，則或C．若，則或2 D．當時，始終不過第三象限【正確答案】ACD【詳解】選項A：：，令，得，過點，A正確；選項B：當時，，重合，故B錯誤；選項C：當時，由，得或2，故C正確；選項D：當時，：始終過，斜率為負，不會過第三象限，故D正確.故選：ACD10．在棱長為2的正方體中，點分別是線段，線段，線段上的動點（包含端點），且．則下列說法正確的有（

）A．平面B．異面直線與所成的最大角為C．三棱錐的體積為定值D．當四棱錐的體積最大時，該四棱錐外接球的表面積為【正確答案】ACD【詳解】選項A：連結，因為在正方體中，，所以又易知四邊形為矩形，所以所以，又因為平面，平面，所以平面，故選項A正確.選項B：又，因此，因此直線MN與AP所成的角就是直線與AP所成的角，當P為中點時，直線與AP所成的角最大為90°，故選項B錯誤.選項C：觀察可知，三棱錐的體積為，故三棱錐的體積為定值，故選項C正確.選項D：由正方體的性質可知，當四棱錐的體積最大時，與重合，此時四棱錐的外接球為正方體的外接球，表面積為，故選項D正確.故選：ACD.11．已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，【正確答案】ACD【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.三、填空題12．若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍為.【正確答案】13．已知橢圓的左、右焦點分別為，經過點且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則橢圓C的離心率為【正確答案】/0.514．已知圓C：，若直線上總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為，則實數k的取值范圍是【正確答案】或．【詳解】圓，則圓心為，半徑，設兩切點為，則，因為，在中，，所以,因此只要直線上存在點，使得即可滿足題意．圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．故或．

四、解答題15．已知圓和圓．(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長．【正確答案】(1)證明見解析；(2)公共弦方程為，公共弦的長為.【詳解】（1）由題設，則，，則，所以，即圓和圓相交；（2）由（1）結論，將兩圓方程作差得，即公共弦方程為，又到的距離，所以公共弦的長為.16．已知動點與兩個定點，的距離的比是2.(1)求動點的軌跡的方程；(2)直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設點，動點與兩個定點，的距離的比是，，即，則，化簡得，所以動點的軌跡的方程為；（2）由（1）可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，直線被曲線截得的弦長為，圓心到直線的距離，①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離，化簡得，解得或，此時直線的方程為或.綜上，直線的方程是或.17．已知，是橢圓C：的兩個焦點，，為C上一點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若P為C上一點，且，求的面積．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設橢圓的焦距為，因為，可得，所以，則，，由橢圓的定義可得，所以，故橢圓的標準方程為.（2）因為，所以，所以，所以.18．在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因為，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又，所以平面，又因為平面，所以；（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，則，設平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.19．已知橢圓：的右焦點為F（1，0），短軸長為2.直線過點F且不平行于坐標軸，