2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

第I卷

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的)

1已知集合'={-3，T，1，3},3={N-2<X<4},那么/8=()

A.{-1,1}B.{1,3}C.{-1,1,3}D.{0,2,4)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)交集的知識(shí)來求得正確答案.

【詳解】依題意，Zc8={—1,1,3}.

故選：C

2.函數(shù)/(力=而1+/的定義域是()

A.[-1,4-00)B.[-1,0)c.[-1,0)U(0,+CO)D.(-oo,0)U(0,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)根式和分式的性質(zhì)，列不等式即可求解.

【詳解】/(x)=JxTl+—的定義域需滿足《八，解得X2—1且XH0,

X[xwO

故定義域?yàn)閇―l,O)U(O,+s),

故選：C

3.若暴函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,、反)，則/(5)的值是()

A.V5B.—C.-D.25

55

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)/（x）=x〃，由已知條件可得/（2）=/，求出。的值，可得出函數(shù)/（X）的解析式，進(jìn)而可

求得/（5）的值.

【詳解】設(shè)=則/（2）=2"=JL可得a=g,故/（x）=4,因此，/（5）=75.

故選：A.

4.已知函數(shù)/（》+1）=3/+2,則/⑵的值等于（）

A.2B.5C.11D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】令x+l=2,求出尤的值，代入解析式中可得結(jié)果.

【詳解】令x+l=2,求出x=l,則/⑵=3XF+2=5.

故選：B

（2X~3r>1

5.已知函數(shù)/（x）=2；1,則/（/（3））=（）

X十1,JC_1

11

A.2B.1C.—D.一

24

【答案】A

【解析】

【分析】先求出/⑶，進(jìn)而可得出答案.

【詳解】由/（x）=F,得/（3）=23-3=1,

X+l,x<1

所以/（/（3））=/（l）=12+l=2.

故選：A.

6.下列四個(gè)命題中為真命題的是（）

A.3xeZ,1<4x<3B.3XGZ,5X+1=0

c.VxeR,x2-1^0D.VxeR,x2+x+2>0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題、存在量詞命題的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案

13

【詳解】A選項(xiàng)，由l<4x<3得一<x<—,x不是整數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

44

B選項(xiàng)，由5x+l=0得x=—巳，x不是整數(shù)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，工=1或%=一1時(shí)，x2-1=0>所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，由于x?+x+2=(x+工］+—>0，所以D選項(xiàng)正確.

I2；4

故選：D

7.已知函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=x+2,則/(0)+/⑶等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)/(3)=-/(-3)以及/(0)=0可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=x+2,

所以/(3)=-/(—3)=-(―3+2)=l.

而"0)=0,；./(0)+/⑶=1.

故選：C.

8.已知關(guān)于龍的一元二次不等式小—2x+l<0的解集為(根,〃)，則4m+”一3的最小值是()

39

A.-B.3C.-D.6

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得出冽與，的關(guān)系式，再利用基本不等式

求4根+〃—3的最小值.

【詳解】因?yàn)?切,〃)是不等式62—2》+1<0的解集，

所以加，〃是方程依2—2x+i=o的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且左>0,

21

所以加+〃=—,mn=—,

kk

所以QZL=_L+L=2,且加>o,?>o;

mnmn

bl、一1/4、/11、1/L"4加、1"八〃4加、1/L八9

所以4加+〃=—?(4加+〃)?(——F—)=—?(5H--1---)>—(5+2./-----)=—x(5+4),

2mn2mn2Nmn22

3

當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=-時(shí)“二”成立；

93

所以4m+〃一3的最小值為3=—.

22

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法中，正確的是()

A.若b<Q,則一<一

ab

B.若ac1>be2，則。>6

C.若b<"0,則

D.若a>b,c<d,則q——d

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用特殊值以及不等式的性質(zhì)來確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，b=-l,a=l,b<a,->~,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

ab

B選項(xiàng)，若Q，〉加2,則02>o，則。>6,所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，若6<a<0,則〃一/=(b+a)(b-a)>0,/>/,所以c選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，若a>b,c〈d,則一c>-d,所以Q—c>b—d,所以D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

10.若正實(shí)數(shù)a,b滿足〃+26=1,則下列說法正確的是()

12L

A.一+7有最小值9B.2。+4"的最小值是2

ab

12

C.ab有最大值-D./+b2的最小值是一

85

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式求最值后判斷.

【詳解】-+-=f-+-\a+2Z))=5+—+—>5+2J^^=9,當(dāng)且僅當(dāng)g="na=b=1

abb)ab\abab3

時(shí)等號(hào)成立，A對(duì)；

2。+4。=2"+戶2212"2b=2亞，當(dāng)且僅當(dāng)2"=22',即a=；，6=^時(shí)等號(hào)成立，B對(duì)；

a+2b=l>242ab'則ab<g,當(dāng)且僅當(dāng)a=26，即。=,，b時(shí)等號(hào)成立，C對(duì)；

由a=l—26,則/+/=5/—4b+l=5(b—21+-,而0<6<,，

I5)52

12

所以/+^之不，當(dāng)且僅當(dāng)6=1時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò).

故選：ABC

11.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為

世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用印表示不超過x的最大整數(shù)，則^=[幻

Y1

稱為高斯函數(shù).例如：[-3.2]=-4,[2.3]=2.已知函數(shù)/(%)=則關(guān)于函數(shù)g(x)=[/(x)]的敘

述中正確的是()

A./(x)是奇函數(shù)B./(x)在R上是減函數(shù)

C.g(x)是偶函數(shù)D.g(x)的值域是{-1,0}

【答案】AD

【解析】

【分析】利用奇偶性的定義判斷可選項(xiàng)A,C,由函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論可判斷選項(xiàng)B,由函數(shù)單調(diào)性求出

/(x)的取值范圍，結(jié)合定義可得g(x)的值域可判斷選項(xiàng)D.

2X11j_1

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹瘮?shù)/(》)=，——

-=1———XxeR,

1+2、21+2X22~1+2

可得/(—x)=

l+2-x

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?1+2,v=——二在R上是增函數(shù)，

-1+2

所以/(x)=1?一號(hào)7在R上是增函數(shù),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?(》)=：-￡，

則g6=[/(i)]=[[=o，g(-i)=[/(-i)]==-i，

即g(-l)wg(l)，所以函數(shù)g(x)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?+2工〉1，則0＜」?。?,

1+2”

可得—g＜/(x)＜g,所以g(x)=[/(x)]的值域?yàn)閧TO},故D正確.

故選：AD.

第II卷

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知函數(shù)/(力=優(yōu)+1(。＞0且4/1),則函數(shù)/(x)的圖象恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】(0,2)

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)的求法求得正確答案.

【詳解】由于/(0)=/+1=2,所以定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

故答案為：(0,2)

13.求值：x(O.l)-1-10(73-2)°=■

25

【答案】—##12.5

2

【解析】

【分析】利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)直接求解即可.

[詳解]jx^.lf'-lOCVS-Z)0=^1|x-^--10xl=^|-l^xl0=y-

25

故答案為：—##12.5.

2

14.已知函數(shù)/(%)=—+鏟5,若/⑷=3,則/(/)=,若關(guān)于X的不等式

〃歹(/)—/(/)—“<。在區(qū)間153上有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

(13-

【答案】①.7②.

【解析】

【分析】根據(jù)條件可得、萬(wàn)+—%=3,兩邊平方整理可得。+工=7,即/(/)=。+工=7.利用換元法,

7aaxfa

9rio-

結(jié)合分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化成加v，+—在3—能成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

t?3

【詳解】/(%)=+x”,/(a)=y[aH-=-3,故QH—=7,所以/(Q2)=QH—=7.

7aav7a

mf(x2)-/(x4)-ll<0

I，3,y=x+，在1,1上單調(diào)遞減，在(1,3］上單調(diào)遞增,

設(shè)x+一二t.X€

XNX/

「[0]](1丫9

故，￡2,—,%2--=XH——2=/—2,故加，—――940，故加V/H—,

3x2Ixt

不等式的(丁)—/(一)—ii<o在區(qū)間；,3上有解，即加V/+；在區(qū)間1,3上有解,

函數(shù)了=8(。=/+；在［2,3)上單調(diào)遞減，在3,y上單調(diào)遞增，

,、flO^lfl3181］13」13

g(/)max=rnax^g(2),glyI=max^y,—=y,故加V萬(wàn).

(13-

故答案為：7；I—0°,—.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用換元法解決問題時(shí)，一定要注意新元的取值范圍.

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.已知集合幺={》1a〈x〈a+5},8={x|—l〈x<6},全集U=R.

(1)當(dāng)a=o時(shí)，求(a，)n8；

(2)若“xeN”是“xeB”的充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴{x|TWx<0或5<xW6}

(2)-l<a<l

【解析】

【分析】(1)將。=0代入再由集合的交、補(bǔ)運(yùn)算即可求解；

(2)由“xeN”是“xeB”的充分條件，得4口8,再利用集合的包含關(guān)系即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，集合Z={x|0Wx<5}

az={xlx<0或x>5},(a/)n8={x|TWx<0或5<x<6}；

【小問2詳解】

由“xwN”是“xwB”的充分條件，得

因?yàn)閍<a+5,所以Nw0

則由4口8,得且a+5<6,解得—iWaWl,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是-1<aW1.

16.已知函數(shù)/(x)=儂？+〃，滿足/(())=1,/(—1)=3

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)求不等式/(x)-x>2的解集;

(3)對(duì)于xeR,不等式/(x)-ax>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)/(x)=2x2+l

(2){x[x<一萬(wàn)或x>l}

(3)(-272,272)

【解析】

【分析】(1)將已知條件代入求出加，〃即可求解；

(2)由(1)可知/(%)=2/+1,則解不等式即可求解;

（3）將不等式轉(zhuǎn)化為2/—ax+l>0恒成立，因?yàn)?（x）=2——G+1開口向上，根據(jù)△<（）即可求解.

【小問1詳解】

由函數(shù)/(%)=如？+/,滿足〃o)=ij(-i)=3,

/(0)=m-02+?=1m=2

解得〈

f(-1)=m-(-I)2+n=3n=l

故函數(shù)/（X）的解析式為:/（X）=2X2+1.

【小問2詳解】

由⑴知/（"=2/+1,即不等式轉(zhuǎn)化為2#—%—1〉。,

則（x-1）（2x+1）>0,

所以不等式的解集{x|x<-；或X>1}.

【小問3詳解】

不等式轉(zhuǎn)化為2x2-ax+l>0恒成立,

因?yàn)?（x）=2x2—ax+1開口向上，

可得△=/一8<0，解之可得—2&<a<2挺，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是卜2后,2血）.

17.某公司決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬(wàn)件.

（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該

商品每件定價(jià)最多為多少元？

（2）為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)

整，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入一（--600）萬(wàn)元.作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投

入日萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的

5

銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).

【答案】（1）40元（2）10.2萬(wàn)件，30元

【解析】

【分析】（1）設(shè)每件定價(jià)為f元，求出原銷售收入和新銷售收入后列不等式求解；

(2)列出不等關(guān)系ax225x8+50+!x+』(x2—600),分離參數(shù)得a2國(guó)+,從而利用基本

56x65

不等式即可得解.

【小問1詳解】

依題意，設(shè)每件定價(jià)為25)元，得[8-”25)x02]/225x8,

整理得「一657+1000<0，解得25W/W40.

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.

【小問2詳解】

11,

依題意知當(dāng)x>25時(shí)，不等式ax>25x8+50H—xH——600)有解，

56

等價(jià)于x>25時(shí)，a2----1—xH—有解，

x65

由于"2+!工22、型?▲x=10,當(dāng)且僅當(dāng)吧=』x,即x=30時(shí)等號(hào)成立，

x6vx6x6

所以。之10.2,

當(dāng)該商品改革后銷售量。至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和,

此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.

18.已知函數(shù)/(X)=x?+ax+3-a,aeR.

(1)若/(x)過點(diǎn)尸(2,6),求/(x)解析式;

(2)若y=/(x)-

(i)當(dāng)xe[-1,3]函數(shù)/(x)不單調(diào)，求a的取值范圍；

(ii)當(dāng)xe[0,2]函數(shù)/(x)的最小值是關(guān)于a的函數(shù)相(a),求根(a)表達(dá)式

【答案】⑴f(x)=x2-x+4

3-a,a>0

(2)(i)(-6,2)；(ii)加(Q)=<——-Q+3,-4VQV0

a+7,a<-4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，將點(diǎn)月(2,6)代入函數(shù)的解析式，求得Q=-1,即可求解;

(2)(i)根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式-1<-@<3,即可求解;

2

(ii)由(i)知，對(duì)稱軸為》=一區(qū)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，分一3<0,0<-<2^-->2,三種情況討

2222

論，即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(》)=/+°》+3-4過點(diǎn)尸(2,6),

將點(diǎn)尸(2,6)代入函數(shù)的解析式，可得4+2。+3—a=6,解得a=—1,

所以函數(shù)/(x)解析式為/(力=/一》+4.

【小問2詳解】

⑴由函數(shù)/(X)=—+ax+3-a,

可得其圖象對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，且對(duì)稱軸為x=-

2

要使得xe［—1,3］函數(shù)/(x)不單調(diào)，可得—1<—1<3,解得—6<”2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍(-6,2)；

(ii)由(i)知，函數(shù)/(X)的圖象對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上，且對(duì)稱軸為X=—

當(dāng)—￡<0時(shí)，即a>0時(shí)，/(X)在［0,2］單調(diào)遞增，所以/(x)mm=/(0)=3—°；

當(dāng)時(shí)，即—4<a<0時(shí)，/(x)在［0,—q)單調(diào)遞減，在(—3,2］單調(diào)遞增,

222

q1

所以/(Hmin=/(—')=一萬(wàn)/一口+3；

當(dāng)—叁>2時(shí)，即a<—4時(shí)，/(X)在［0,2］單調(diào)遞減，所以=八2)=。+7,

3—凡?！?

1

所以機(jī)(a)表達(dá)式為加(a)=<—a9—a+3,—4VaV0

4

a+7,a<—4

DM-L/7_4