2024-2025學(xué)年高一年級上冊期末復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念與性質(zhì) 十大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（含答案）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)】十

大題型歸納(基礎(chǔ)篇)(含答案)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)

【第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)】十大題型歸納(基礎(chǔ)篇)(含答案)高

一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第三章十大題型歸納(基礎(chǔ)篇)

【人教A版(2019)]

函數(shù)的定義域的求解

1.(2023下?陜西西安?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)則函數(shù)/(%)的定義域為()

A.{x\x>—2}B.{x\x>—5}C.{x\x<5}D.{x\x>2)

2.(2023上?遼寧本溪?高一?？计谀?若函數(shù)y=f(x)的定義域是[1,2023],則函數(shù)或久)=的定義

域是()

A.[0,2022]B.[-1,1)U(1,202刀

C.(1,2024]D.[0,1)U(1,2022]

3.(2023上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高一校考階段練習(xí))求下列函數(shù)的定義域.

⑴y=

(2)y=Vx—1?V1—x；

3

⑶y=e；

(4)y=V%2—3+V5—x2.

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的定義域：

(1)已知函數(shù)/(久)的定義域為[—2,2],求函數(shù)y=/(x2-1)的定義域.

(2)已知函數(shù)y=/(2x+4)的定義域為[0,1],求函數(shù)f(%)的定義域.

(3)已知函數(shù)/(%)的定義域為[一1,2],求函數(shù)y=/(%+1)一/。2-1)的定義域.

題型2k函數(shù)的值域的求解

1.（2023上?江蘇南京?高一金陵中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，值域是（0,+8）的是（）

A.y=V%2—2xB.y=譽,％G(。,+8)

i1

C.y=,xeND.

X2+2X+1

2.（2023上?江蘇蘇州?高一蘇州中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)y=1—%+—2%的值域為()

A.嗎B.[0,+oo)C.原+8)D.1-+00

3.（2023上?上海徐匯?高一上海中學(xué)?？计谀?）求函數(shù)y=二型的值域;

（2）求函數(shù)y=%+2位二個的值域.

4.（2023上?高一課時練習(xí)）求下列函數(shù)的值域:

(i)y=V%-1；

2%+l

⑵y=。

(3)y=7Ya>1)；

(4)y=2x—V%—1.

同一函數(shù)的判斷

1.（2023上?浙江麗水?高一統(tǒng)考期末）下列哪組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)（）

A.y=(?)2與y=xB.y=1g/與y=21gx

C.y=~~~^與y=%+1D.y==%+-

Jx-l/JXJX

2.(2023上?廣東清遠(yuǎn)?高一統(tǒng)考期末)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A./(%)=%與g(%)=\x\

B./(%)=+2〈與g(%)=(Vx+2)12

C./(%)=6與g(x)=.

D.f(x)=%與自(%)=Vx^

3.(2023?高一課時練習(xí))判斷下列各組函數(shù)是否為同一個函數(shù)：

r2

⑴/(%)=》,9。)=%；

⑵/(%)=高|，g(%)=/_1；

(3)/(x)=4x^,g(x)=x.

4.(2023?高一課時練習(xí))下列哪一組中的函數(shù)/(%)與g(%)是同一個函數(shù)？

、X2

⑴f(x)=刀-1,。(無)=7■-1；

⑵/(X)=x2,g(x)=(Vx)4；

(3)/(%)=x2,g(x)=Vx?.

題型4函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解

1.(2023上?湖北十堰?高一校聯(lián)考期中)函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[0,3]B.(-oo,3]C.[3,6]D.[3,+oo)

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,對任意與，冷且%豐%都有％善)>-1，

則下列說法正確的是()

A.y=/(久)+久是增函數(shù)B.y=f(x)+x是減函數(shù)

C.y=/0)是增函數(shù)D.y=/(尤)是減函數(shù)

3.(2022上?福建福州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=?(aeR),且f(l)=5.

⑴求a的值；

(2)判斷/(久)在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的判斷.

4.(2023上?河北邯鄲?高一校考期末)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(均滿足：①對任意的x,ye(0,+8),

都有/(xy)=f(x)+/(y)；②當(dāng)且僅當(dāng)％>1時，/(x)<0成立.

⑴求/⑴；

⑵用定義證明f(x)的單調(diào)性；

函數(shù)的最值問題。1

1.(2023上?湖南郴州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)=-2x2+l,g(%)=一GR,用M(%)表示/(%),g(%)

中的較小者，記為M(%)=min{/(%),g(%)},則M(%)的最大值為()

A.-1B.1C.—D.—

22

2.(2022上?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=|ax2+x+l|,[1,2],且/⑺的最大值為a+2,

則a的取值范圍是()

A.[-1,-^1B.C.D.[-1,一？

3.(2022上?北京?高一匯文中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)f(x)=—/+2ax+l—a.

(1)若函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若/。)在區(qū)間[0,1]上有最大值3,求實數(shù)a的值.

4.(2023下?廣西北海?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=笨,xG[-1,1],滿足條件/(0)=|,/(-1)=1.

(1)求f(%)的解析式;

(2)用單調(diào)性的定義證明/(%)在％e上單調(diào)遞增，并求/(%)在％e上的最值.

函數(shù)奇偶性的判斷。I

1.(2023上?甘肅天水?高一?？计谀?下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y—xB.y=3x3C.y=：D.y=\x\

2.(2023下?浙江金華?高二校聯(lián)考期末)已知定義在R上的三個函數(shù)/O),g(x),hO),其中/(x)為偶函數(shù),

g(x),h(x)是奇函數(shù)，且/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)在R上單調(diào)遞增，h(x)在R上單調(diào)遞減，則()

A./(%)?g(x)是奇函數(shù)，且在(一8,0)上單調(diào)遞增

B.八久)達(￡)是偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減

C.g(久)?h(久)是奇函數(shù)，且在(一8,0)上單調(diào)遞減

D.g(x)-h(x)是偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞增

3.(2023上?上海普陀?高一?？计谀?已知函數(shù)y=/(%),%eR,且當(dāng)％>0時/(久)=3x3-2X+1.

(1)若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，求/(一3);

(2)y=/0)是否可能是奇函數(shù)?若可能，求/(%)的表達式;若不可能，說明理由.

4.(2023上?甘肅天水?高一校聯(lián)考期末)設(shè)函數(shù)y=/(久)的定義域為R,并且滿足/'(>-y)=

且“2)=1,當(dāng)x>0時，/(%)>0.

(1)求f(0)的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

n求幕函數(shù)的函數(shù)值、解析式

1.(2023上?云南怒江?高一?？计谀?若募函數(shù)y=/O)的圖象經(jīng)過6,2),則/(—3)=()

A-1B.3C/D.-3

2.(2023上?青海西寧?高一統(tǒng)考期末)已知點(〃,2)在新函數(shù)/(%)=5—1)/的圖象上，則()

A./(%)=%-1B./(%)=2%2

1

C./(x)=x3D.7(%)=%3

3.(2023上?湖南婁底?高一統(tǒng)考期末)已知新函數(shù)/(%)=(m2—3m+3)%7n+i為偶函數(shù).

⑴求塞函數(shù)/(%)的解析式;

(2)若函數(shù)g(x)=△斐，根據(jù)定義證明g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增.

4.(2023上?上海浦東新?高一統(tǒng)考期末)已知小是整數(shù)，塞函數(shù)/(久)=廠療+加+2在［0,+8)上是單調(diào)遞增

函數(shù).

姝

（1）求事函數(shù)f（X）的解析式；

（2）作出函數(shù)g（x）=I/O）—1］的大致圖象；

（3）寫出g（x）的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明g（x）在區(qū)間［1,+8）上的單調(diào)性.

求幕函數(shù)的定義域、值域

1.（2023上?重慶?高一校聯(lián)考期末）已知暴函數(shù)/（%）=小的圖象過點（魚,y）,則下列說法中正確的是（）

A./（%）的定義域為RB./（久）的值域為R

C./（久）為奇函數(shù)D./（久）為減函數(shù)

2.（2023上?陜西西安?高一?？计谥校┤瘮?shù)丫=”中。的取值集合c是{-1,0彳,1,2,3即勺子集，當(dāng)幕函數(shù)

的值域與定義域相同時，集合C為（）

A.{-l,0,|jB.￡,1,2}C.D.{”2,3}

2

3.（2023上?上海青浦?高一?？计谀┘褐绾瘮?shù)/（切=短，寫出函數(shù)定義域，奇偶性，單調(diào)區(qū)間，值域,

零點，并做出大致圖像.

4.（2022上?陜西商洛?高一?？计谥校┮阎潞瘮?shù)/（久）=廠/一2僧+3（_2（爪<2,爪eZ）滿足:

①/■（>）在（0,+8）上為增函數(shù)，

②對Vx6R,都有/（―%）-/（x）=0,

求同時滿足①②的幕函數(shù)/（久）的解析式，并求出久e[1,4]時，/（久）的值域.

二次函數(shù)模型的應(yīng)用。I

1.（2023上?北京朝陽?高一統(tǒng)考期末）某廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求1<x<

10）,每小時可獲得利潤100（3%+1-|）元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生

產(chǎn)速度是（）

A.2千克/小時B.3千克/小時

C.4千克/小時D.6千克/小時

2.（2023?高一課時練習(xí)）如圖，在一直角墻角內(nèi)的點尸處有一棵樹，它與兩墻的距離分別是3米和2米.現(xiàn)

欲用10米長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形的花圃4BCD,要求這棵樹被圍在花圃內(nèi)或邊界上.設(shè)8c=x米,

則矩形花圃的面積（單位：平方米）為（）

A./(x)=—x2+5x(0<x<10)B./(x)=—x2+10x(0<x<10)

C./(%)=-x2+5x(3<%<8)D.f(x)=-x2+10x(3<%<8)

3.(2023上.江蘇無錫.高一統(tǒng)考期末)某蔬菜種植基地共有蔬菜種植大棚100個，用于種植普通蔬菜，平均

每個大棚年收入為10萬元.為適應(yīng)市場需求，提高收益，決定調(diào)整原種植方案，將x(10WxW32,xeN*)個

大棚改種速生蔬菜，其余大棚繼續(xù)種植普通蔬菜.經(jīng)測算，調(diào)整種植方案后，種植普通蔬菜的每個大棚年

收入比原來提高2.5久％,種植速生蔬菜的每個大棚年收入為(m-萬元.

(1)當(dāng)爪=20時，要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%,求x的取值范圍

(2)當(dāng)22<m<23時，求蔬菜種植大棚全年總收入的最大值.

4.(2023上?北京西城?高一統(tǒng)考期末)某商貿(mào)公司售賣某種水果.經(jīng)市場調(diào)研可知：在未來20天內(nèi)，這種

水果每箱的銷售利潤N單位：元)與時間"1<t<20,tEN,單位：天)之間的函數(shù)關(guān)系式為r=+10,

且日銷售量p(單位：箱)與時間r之間的函數(shù)關(guān)系式為p=120—2t.

(1)求第幾天的日銷售利潤最大？最大值是多少？

(2)在未來的這20天中，在保證每天不賠本的情況下，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈機(爪eN*)元給“精

準(zhǔn)扶貧”對象，為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天的利潤隨時間r的增大而增大，求機的取值范圍.

分段函數(shù)模型的應(yīng)用

1.（2023上?福建漳州?高一統(tǒng)考期末）某地通訊公司推出了兩種手機資費套餐，如下表所示:

套餐內(nèi)包含套餐外國內(nèi)套餐外國

套餐使用套餐內(nèi)包含

國內(nèi)主叫通主叫通話單國內(nèi)內(nèi)數(shù)據(jù)流

套餐費（元/國內(nèi)數(shù)據(jù)流

話時長（分價（元/分被叫量單價（元

月）量（兆）

鐘）鐘）/兆）

套餐1:581500.25免費300.50

套餐2：883500.19免費300.50

已知小明某月國內(nèi)主叫通話總時長為200分鐘，使用國內(nèi)數(shù)據(jù)流量為40兆，則在兩種套餐下分別需要支付的

費用為（）和（）

A.75和93B.75.5和93C.76和93D.75.5和98

2.（2023上?貴州貴陽?高一統(tǒng)考期末）某公司在30天內(nèi)力商品的銷售價格P（元）與時間t（天）的關(guān)系滿

足下方圖象所示的函數(shù)，4商品的銷售量Q（萬件）與時間t的關(guān)系是Q=40-3則下列說法正確的是（）

③最大日銷售額為120萬元④最大日銷售額為125萬元

A.①③B.①④C.②③D.②④

3.（2023下?江西南昌?高二校聯(lián)考期末）民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)

合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅力量，為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻.某農(nóng)

民專業(yè)合作社為某品牌服裝進行代加工，己知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元，每代加工x萬

-+2,x0<尤W10

2

450~根據(jù)市場行情，該農(nóng)民專業(yè)合

{14%+-115,10<%<50.

作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工費.

（1）求該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤y（單位：萬元）關(guān)于年代加工量x（單位：萬件）

的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)年代加工量為多少萬件時，該農(nóng)民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤最大?并求出年利潤的

最大值.

4.(2023上?云南麗江?高一統(tǒng)考期末)華為消費者業(yè)務(wù)產(chǎn)品全面覆蓋手機、移動寬帶終端、終端云等，憑

借自身的全球化網(wǎng)絡(luò)優(yōu)勢、全球化運營能力，致力于將最新的科技帶給消費者，讓世界各地享受到技術(shù)進

步的喜悅，以行踐言，實現(xiàn)夢想.已知華為公司生產(chǎn)mate系列的某款手機的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)

1只還需另投入80元.設(shè)華為公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機尤萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為RQ)萬

一r2000-30x,0<x<40

元,且R(%)=137000200000、4c

—,x>40

VXXL

(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量工(萬只)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，華為公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.

高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第三章十大題型歸納(基礎(chǔ)篇)

【人教A版(2019)]

函數(shù)的定義域的求解

1.(2023下?陜西西安?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(%)=-7^工虧，則函數(shù)/(%)的定義域為()

A.{x\x>—2}B.{x\x>—5}C.{x\x<5}D.{x\x>2}

【解題思路】由解析式有意義列不等式求X的范圍，可得函數(shù)f(x)的定義域.

【解答過程】由/⑺=有意義可得{:；"，

化簡可得X22,

所以函數(shù)/。)的定義域為口僅>2].

故選：D.

2.(2023上?遼寧本溪?高一校考期末)若函數(shù)y=f(x)的定義域是口，2023],則函數(shù)。(久)=衛(wèi)歲的定義

X—1

域是()

A.[0,2022]B.[-1,1)U(1,2022]

C.(1,2024]D.[0,1)U(1,2022]

【解題思路】由抽象函數(shù)定義域相關(guān)概念可得答案.

【解答過程】因y=/(x)的定義域是[1,2023],

則由阿=等可得:0<%<2022

%H1

則g(x)定義域為：[0,1)U(1,2022].

故選：D.

3.(2023上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高一?？茧A段練習(xí))求下列函數(shù)的定義域.

⑴丫二彳工；

(2)y=Vx—1?V1—%;

(3)y=

(4)y=Vx2-3+V5—x2.

【解題思路】(1)(3)由分式中分母不為0,偶次根式中被開方數(shù)不小于0列出關(guān)于x的方程組求解即可.

(2)(4)偶次根式中被開方數(shù)不小于。列出關(guān)于x的方程組求解即可.

【解答過程】(1)由題意得卜2,解得：刀m0且刀7-.

,乙人。人~~乙~f~U4

所以函數(shù)的定義域為(—8,—Ju0].

(2)由題意得{；[；]：,解得：x=l,

所以函數(shù)的定義域為3比=1).

(3)由題意得匕1片二三°八，解得：尤W1且x片0,

所以函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,1].

(4)由題意得解得：一遍0x0—用或陰Wx0相

所以函數(shù)的定義域為[-而,-何U[V3,V5].

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的定義域：

(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為[-2,2],求函數(shù)y=f{x2-1)的定義域.

(2)已知函數(shù)y=f(2x+4)的定義域為[0,1],求函數(shù)f(x)的定義域.

(3)已知函數(shù)/■(%)的定義域為[-1,2],求函數(shù)y=f(x+1)-/(x2-1)的定義域.

【解題思路】抽象函數(shù)定義域求解，需注意兩點：

①定義域是函數(shù)解析式中自變量匕”的范圍；

②對于同一個對應(yīng)關(guān)系'了'，’尸后括號里面式子整體范圍相同.

(l)y=/(x2—1)中“2—1的范圍和f(x)中x范圍相同，f(x)中x范圍是[一2,2]；

(2)/(x)中x的范圍和y=f(2x+4)中2x+4范圍相同，y=f(2x+4)中x范圍是[0,1]；

(3)y=f(x+1)-f(x2-1)中x+1與——1均與/(x)中x范圍相同,f(x)中x的范圍是[-1,2].

【解答過程】(1)令一2夕2一七2得一1夕24，即owx2s3,從而一百力s次，

二函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為[一百,遙].

(2)=/(2x+4)的定義域為[0,1],即在y=/(2x+4)中xG[0,l],令t=2x+4,%e[0,l],則te[4,6],

即在f(t)中，tC[4,6],

??"(%)的定義域為[4,6].

(3)由題得1T式-I*?-百WxW1,

1-1<%2-1<2

函數(shù)y=f(x+1)-/(x2-1)的定義域為[一百,1].

題型2N函數(shù)的值域的求解。|

1.(2023上?江蘇南京?高一金陵中學(xué)?？计谥?下列函數(shù)中，值域是(0,+8)的是()

A.y=V%2—2xB.y=C(0,+8)

ii

C.y=------,xEND.y=-----

ZX2+2X+1J|X-1|

【解題思路】根據(jù)值域的定義結(jié)合函數(shù)解析式逐項分析判斷.

【解答過程】對于選項A：當(dāng)x=0時，y=0,即值域有0,故A錯誤；

對于選項B,因為北|=1+二力1,即值域沒有1,故B錯誤；

x+lX+1

對于選項C：函數(shù)的定義域為XCN,所以函數(shù)值域不連續(xù)，故C錯誤.

對于選項D：因為國-1|的取值范圍是(0,+8),所以函數(shù)的值域為(0,+8),故D正確.

故選：D.

2.(2023上?江蘇蘇州?高一蘇州中學(xué)校考期中)函數(shù)y=1-x+VFF的值域為()

A.(-0°,|]B.[0,+oo)C.D.&+8)

【解題思路】令VTF=t,(t>0),可得y=亨，利用函數(shù)單調(diào)性求值域.

【解答過程】令=(t>o),貝阮=三，

所以函數(shù)y=l+^+t=^+t+|=號!，函數(shù)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

t=0時，y有最小值：，

所以函數(shù)y=1-X+a-2x的值域為悖,+8).

故選：C.

3.(2023上,上海徐匯,高一上海中學(xué)?？计谀?(1)求函數(shù)y=過詈的值域；

(2)求函數(shù)y=%+2、2—%的值域.

【解題思路】(1)函數(shù)化成y=x+：+l,結(jié)合均值不等式分別判斷尤>0、x<0的最值，從而得出值域.

(2)由換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的值域問題.

【解答過程】(1)y=立比=x+工+1,%力0,

XX

當(dāng)%>0時，y=x+-+l>2/%+-+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時等號成立；

JX\X

當(dāng)％<0時，y=-(一％-4-1<-2J-x.(-：)+1=一1,當(dāng)且僅當(dāng)％=-1時等號成立.

故函數(shù)值域為(一8,-1]U[3,+8);

(2)函數(shù)定義域為％<2,令1=V2^x,t>0，則y=2-y+2t=-I)?+3W3,故函數(shù)值域為

(一8,3］.

4.(2023上?高一課時練習(xí))求下列函數(shù)的值域:

(l)y=近一1；

小2X+1

⑵丫=。

⑶”翌(久>i)；

(4)y=2%—Vx—1.

【解題思路】分別利用直接法，分離常數(shù)法，基本不等式法，換元法求解函數(shù)的值域.

【解答過程】(1)VV%>0,.-.Vx-1>-1,

:.y=近_1的值域為［-1,+8).

2x4-12(x-3)+7

V=--------=----------------=2H---顯然—-W0,所以yH2,

X—3X—3v_Qv_2/

故函數(shù)的值域為(—8,2)U(2,+00).

(3)由久>1,知％-1>0.

X22X(，、rQQ

W=0+8=-(x-—-1-)-工+2(---1-)-+-9=(%-13)+三9+,2r22內(nèi)T)—+2=8,

當(dāng)且僅當(dāng)久一1='7,即x=4時，上式取“=".

.?.y=《￥(x>l)的最小值為8.

JX-1

故函數(shù)y=(%>1)的值域為［8,+8).

(4)設(shè)t=7x-1,貝Ijt>0,且汽=t2+1,

所以y=2(t2+1)-t=2(t-+澤

由t>0,結(jié)合函數(shù)的圖象得原函數(shù)的值域為蔗+8).

O

題型3同一函數(shù)的判斷

1.(2023上?浙江麗水?高一統(tǒng)考期末)下列哪組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)()

A.y=(?)2與y=xB.y=]g/與y=21gx

C.y=■^與y=%+1D.y==%+-

Jx-l/JXJX

【解題思路】利用函數(shù)的定義判斷.

【解答過程】A.y=(①)2的定義域為[0,+8),丫=%的定義域為區(qū)，故錯誤；

B.y=1g/的定義域為(一8,0)u(0,+8),y=21g%的定義域為(0,+8),給錯誤；

C.y==的定義域為(-8,l)u(l,+8),y=x+l的定義域為R,故錯誤；

D.y=三匚=%+：的定義域為(-8,0)u(0,+8),y=%+：的定義域為(-8,0)U(0,+8),故錯誤;

故選：D.

2.(2023上?廣東清遠(yuǎn)?高一統(tǒng)考期末)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=%與g(%)=\x\

B./(%)=+2)2與g(%)=+2)2

C./(%)=石與。(汽)=人

D.f(x)=%與儀%)=Vx^

【解題思路】分別判斷選項中函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，即可得到答案.

【解答過程】對選項A,因為/(、)=%定義域為R,g(x)=|劃定義域為R,定義域相同，

但/(%)wg(%),所以/(%),g(%)不是同一函數(shù)，故A錯誤；

對選項B,因為f(x)=J(x+2》定義域為R,久久)=(百三1『定義域為&阿2-2},

定義域不同，所以f(x),g(x)不是同一函數(shù)，故B錯誤；

對選項C,因為/(%)=?定義域為{久1%20},9(黑)=令定義域為{%|%>0},

定義域不同，所以f(x),g(x)不是同一函數(shù)，故C錯誤；

對選項D,因為/(x)=x定義域為R,g(x)=審定義域為R,

又g(x)==x=/(x),所以/(x),g(x)是同一函數(shù)，故D正確.

故選：D.

3.(2023?高一課時練習(xí))判斷下列各組函數(shù)是否為同一個函數(shù)：

比2

(I)f(x)=—,g(x)=X；

⑵/(%)=罪,gO)=/-1；

(3)/(x)=V^,g(x)=x.

【解題思路】當(dāng)一組函數(shù)定義域與對應(yīng)關(guān)系均相同時即為同一函數(shù)，以此為依據(jù)進行判斷即可

【解答過程】(1)因為/'(X)的定義域為{x|久彳0},而g(x)的定義域為民所以/(%)與g(x)不是同一個函數(shù);

(2)因為f。)與g(x)的定義域均為R,所以定義域相同，

又“久)=M=/_1=g(x),所以"X)與g(x)是同一個函數(shù)；

(3)因為/'(X)與g(x)的定義域均為民所以定義域相同，

又/'(x)=Vx2=\x\x=g(x),所以/■(久)與g(x)不是同一個函數(shù).

4.(2023?高一課時練習(xí))下列哪一組中的函數(shù)/(均與g(x)是同一個函數(shù)？

2

、X

(1)/(%)=x-l,g(%)=》一1；

(2)/(%)=x2,g[x}=(V%)4;

(3)/(%)=x2,g[x}—Vx^.

【解題思路】根據(jù)同一函數(shù)的定義，從定義域、對應(yīng)關(guān)系兩方面判斷即可.

【解答過程】解：(1)/(%)定義域為凡g(%)定義域為{制％W0},

;定義域不同，???/(%)與9(%)不是同一函數(shù).

(2)/(%)定義域為R,g(%)定義域為{制%>0},

,?,定義域不同，

???/(%)與g(%)不是同一函數(shù).

(3)g(%)=/(%)與g(x)定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，???/(%)與g(%)是同一函數(shù).

題型4L函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解

1.(2023上?湖北十堰?高一校聯(lián)考期中)函數(shù)y=^的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.[0,3]B.(-co,3]C.[3,6]D.[3,+oo)

【解題思路】先求出函數(shù)的定義域，令t=--+6無，可知該函數(shù)在[3,6]上單調(diào)遞減，由單調(diào)性的性質(zhì)即可

得出答案.

【解答過程】解：由-/+6x20,解得0WxW6,

所以函數(shù)丫=1一12+6%的定義域為[0,6],

令力=一一+6%,其圖象是開口向下的拋物線，對稱軸方程為％=不=3,

該函數(shù)在［3,6］上單調(diào)遞減，

則函數(shù)y=1-正2+6x的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,6］.

故選：C.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(久)的定義域為R,對任意與，冷且右片叼，都有四1匕3>-1，

—%2

則下列說法正確的是()

A.y=/(X)+%是增函數(shù)B.y=/O)+x是減函數(shù)

C.y=f(x)是增函數(shù)D.y=f(x)是減函數(shù)

【解題思路】對題中條件旦匕3>-1進行變化，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+x,根據(jù)增、減函數(shù)的定義即

—％2

可.

【解答過程】不妨令%1<%2，J。-％2V0,

1?1"y，">-1Q/(XO-/(%2)<-(%1-%2)Q/'(Xi)+</'(%2)+%2，

令9(x)=/Xx)+g(xJ<g(%2)，

又X1<%2，=/(x)+工是增函數(shù).

故選:A.

3.(2022上?福建福州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(久)=?(aeR),且f(l)=5.

⑴求a的值；

(2)判斷〃久)在區(qū)間(0,2)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的判斷.

【解題思路】(1)直接根據(jù)f(l)=5即可得出答案；

(2)對任意€(。,2)，且無1<叼，利用作差法比較f(無1)"(%2)的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【解答過程】(1)解：由〃1)=5得1+。=5,解得：1=4；

(2)解：/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，

證明：由(1)得/(X)=匚上=X+

XX

對任意%1，%2E(0,2),且％1<%2,

有/'0)-/(X2)=X1+A-X2-±=(X1-X2)+中=

由%1，%2￡(0,2),得0V%1%2<4，%1%2—4<0,又由久1<%2，得欠1一第2<0,

于是魚**3>0,即/O1)>/(%2),

X1X2

所以“X)=%+:在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.

4.(2023上?河北邯鄲?高一?？计谀?已知定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意的x,ye(0,+8),

都有f(xy)=/(%)+f(y)；②當(dāng)且僅當(dāng)X>1時，f(x)<0成立.

⑴求/⑴;

(2)用定義證明f(x)的單調(diào)性；

【解題思路】(1)利用賦值法結(jié)合條件計算即可；

(2)利用單調(diào)性的定義作差計算即可.

【解答過程】(1)令x=y=1,則由題意可得f(1x1)=f(l)+f(l)=/(I)nf(l)=0,

(2)任取%i、x2G(0,+8)且無]<x2>即衛(wèi)>1>

X1

由題意可得f(%1)+f償)=fgn/(x2)-fQi)=r管),

而當(dāng)且僅當(dāng)%>1時，/(X)<0,所以/(%2)—/(%1)<0，即/(汽2)</(%1)，

所以函數(shù)f(%)在(0,+8)單調(diào)遞減.

函數(shù)的最值問題

1.(2023上?湖南郴州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(%)=-2x2+l,g(x)=6R,用M(%)表示

中的較小者，記為M(%)=min{/(%),g(%)},則M(%)的最大值為()

11

A.-1B.1C.—D.—

22

【解題思路】先把M(x)寫成分段函數(shù)的形式，再求最大值即可

【解答過程】令一2"+1>-x,BP2%2-x-1<0,解得一*久<1,

—x,xe(一之,1)

所以M(x)=

-2x2+l,xE(^-00,-|j(J[1,+oo)

當(dāng)Xe(—1，1)時，由y=—%在定義域內(nèi)單調(diào)遞減可得M(x)

當(dāng)％e(-00,-1]U[1,+8)時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得M(x)max=W(-|)=

綜上，函數(shù)MO)的最大值為|,

故選：D.

2.(2022上?江西.高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=\ax2+x+l\,xe[1,2],且f(x)的最大值為a+2,

則a的取值范圍是()

A.卜1,臼B.C.［-2,-1］D.［-1,-0

【解題思路】由函數(shù)的最大值問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成問題，借助函數(shù)的單調(diào)性求最值，從而得出a的取值

范圍.

【解答過程】由題意可知，a+220,即a2—2,且g(l)=a+2,/.VxG［1,2］,|a%2+x+l|<a+2,

即一a—2Wax2+x+l<a+2.

VxG［1,2］，—宇§<a4..—(當(dāng)X=1時也成立)，

令八(%)=—XG［1,2］,t(?)=一全，％C［1,2］,貝1Jhmax4a4tmin，

V/i(x)=--__=------^5—,且X+3C［4,5］

L

''(Z+3)2-6(X+3)+10(x+3)+果_6」

由1<(X+3)+—6<1,可得一2<h(%)<—1,即/imax=—1，

Xt(x)=一+在［1,2］上單調(diào)遞增，

fmin-<a<

故選：A.

3.(2022上?北京?高一匯文中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)f(x)=—/+2ax+l—a.

(1)若函數(shù)/(久)在區(qū)間［0,3］上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(X)在區(qū)間［0,1］上有最大值3,求實數(shù)a的值.

【解題思路】(1)根據(jù)二次函數(shù)對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，列出不等關(guān)系，即可求得結(jié)果;

(2)根據(jù)對稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系分類討論，在不同情況下求解即可.

【解答過程】(1)/(x)=-/+2ax+1-a的對稱軸x=a,要滿足題意，只需a23,

故實數(shù)a的取值范圍為［3,+8).

(2)當(dāng)a<0時，/'(X)在［0,1］單調(diào)遞減,則/(x)在［0,口上的最大值為f(0)=l-a,

令f(0)=3,解得a=-2；

當(dāng)0<a<l時，/'(%)在［0,a)單調(diào)遞增，在［a,1］單調(diào)遞減，

則/(X)在［0,1］上的最大值為/(a)=a2-a+1,令/(a)=3,解得a=-1或a=2,

都不滿足0<a<1,故舍去；

當(dāng)a21時，/(x)在［0,1］單調(diào)遞增，則"X)在［0,1］上的最大值為/(I)=a,

令/(1)=3,解得a=3；

綜上所述，a=-2或3.

4.(2023下?廣西北海?高二統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/(%)=煞,xe［-1,1］,滿足條件/(0)=|,/(-1)=1.

(1)求/。)的解析式；

(2)用單調(diào)性的定義證明f(x)在久e［一1,1］上單調(diào)遞增，并求f(x)在久e［一1,1］上的最值.

【解題思路】(1)根據(jù)八0)=|"(-1)=1,代入得到方程組，解得即可；

(2)利用定義法證明，再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值.

【解答過程】(1)因為/(%)=篝，且/(0)=|,/(—1)=1,

'b_3

所以了解得

、-1+a'

所以?")=等,1,1］；

由小)=第=『=一/

設(shè)任意的久L%2E且%1<%2,

則"小)一"不)=2—六一(2—六)1_1_(%1+2)-(%2+2)

%2+2%i+2(%I+2)(%2+2)(%1+2)(%2+2)'

因為%1，%26[—1,1]且久1<%2，所以第2-X]>0,%i+2>0,%2+2>0,

所以/(%1)-/(%2)<0,則/(%)在％G[-1,1]上單調(diào)遞增,

所以“X)min=/(-I)=l，/(X)max=/(I)=|.

函數(shù)奇偶性的判斷

1.(2023上?甘肅天水?高一校考期末)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y=xB.y=3x3C.y=[D.y=\x\

【解題思路】根據(jù)奇偶性的定義即可判斷.

【解答過程】對于A,/(x)=x,/(-x)=-%,?,?/(%)=-/(一%),故/(%)為奇函數(shù),

對于B,/(x)=3%3,/(-%)=—3%3,??./(%)=—/(—%),故/O)為奇函數(shù)，

對于C,/(x)=/(-%)=/(%)=一/(一%)，故/(%)為奇函數(shù)，

對于D,/(%)=|xL/(-x)=/(x)=/(一%)，故f(%)為偶函數(shù),

故選：D.

2.(2023下?浙江金華?高二校聯(lián)考期末)已知定義在R上的三個函數(shù)/(%)〃(%),以%),其中/(%)為偶函數(shù),

g(x),h(x)是奇函數(shù)，且/(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)在R上單調(diào)遞增，/i(x)在R上單調(diào)遞減，則()

A./(久)?g(x)是奇函數(shù),且在(-8,0)上單調(diào)遞增

B./O)?g(x)是偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減

C.。(久)?八(久)是奇函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞減

D.g(x)?八(%)是偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞增

【解題思路】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義判斷即可，其中兩個函數(shù)相乘的單調(diào)性與這兩個函數(shù)的單調(diào)性、

符號有關(guān).

【解答過程】令M(x)=/(x)-g(x),N(x)=g(x)-h(x),

因為/(%)為偶函數(shù)，g(x),h(x)是奇函數(shù)，

所以M(-x)=/(-%)-g(-x)=-/(x)g(x)=-M(x),

N(—久)=g(—x)?h(—x)=5(x)h(x)—N(x),

即M(x)=f(x)-g(x)是奇函數(shù)，N(x)=g(x)-h(x)是偶函數(shù)，

因為9(久)，八(x)是奇函數(shù)，g(x)在R上單調(diào)遞增，以比)在R上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x6(-8,0)時，g(x)單調(diào)遞增，h(x)單調(diào)遞減，且g(x)<0、/i(x)>0,

任取%1，%2C(-00,0),設(shè)X]<%2，

則g(xj<g(%2)<o,o</i(%2)<

所以-g(Xy)>-5(X2)>o

所以(尤J>-g(*2)h(%2)>。

所以N(xJ<N(%2)，

所以N(x)=g(x)-h(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，

M(x)=/(%)-g(x)在(-8,0)上的單調(diào)性無法判斷，因為不知道/(X)在(-8,0)上的符號，

故選：D.

3.(2023上?上海普陀?高一?？计谀?已知函數(shù)y=f(x),x￡R,且當(dāng)x>0時/(久)=3%3—2》+1.

(1)若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，求/(一3);

(2)y=/(%)是否可能是奇函數(shù)?若可能，求/(久)的表達式;若不可能，說明理由.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得八-3)=/(3)求解即可.

(2)當(dāng)x<0時,-X>0,利用f(x)=—f(—x)代入求解析式即可.

【解答過程】(1)因為函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x),

則/(一3)=/(3)=3X33-23+1=74.

(2)y=/(%)可能是奇函數(shù)，

若y=/(%)是奇函數(shù)，則/(%)=-/(一汽)，

且f(0)=。，當(dāng)％<。時，一久>0,

所以/(%)=-/(一%)=-[3(-x)3-2r+1]=3%3+/一1,

f3x3-2x+l,x>0

所以/(“)=3/+《_,x<o-

4.(2023上?甘肅天水?高一校聯(lián)考期末)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R,并且滿足f(x-y)=/(久)-f(y),

且/(2)=1,當(dāng)龍〉0時，f(x)>0.

⑴求/(0)的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性:

【解題思路】(1)令x=y=0,即可得解；

(2)令尤=0,即可得出結(jié)論.

【解答過程】(1)fif(x-y)=/(x)-/(y),

令x=y=0,得/?(())=/(0)-/(0),

所以〃0)=0；

(2)奇函數(shù)，理由如下：

由f(x-y)=fW

令X=0,則/■(-y)