2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何 十大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2024年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第一章十大題型歸納（拔尖篇）

【人教A版（2019）］

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

1.（2023上?福建泉州?高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示,在平行六面體中，點(diǎn)E為上底面

對(duì)角線AG的中點(diǎn)，若礪=痂+%荏+y而，則（)

B.x=^,y=-1

2

C.x=——,y=一一D.x=-,y=-

2)22z2

2.（2023上?河北?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四面體。4BC中，OA=a,~OB=b,OC=c,~OM=>0）,

N為BC的中點(diǎn)，=--a+-b+-c,則2=（）

422

A.-B.3C.-D.2

32

3.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體/BCD-A/iCiDi中，點(diǎn)尸分別是上底面和側(cè)面“1。道

的中心，分別求滿足下列各式的x,乃z的值.

(l)i4E=xAD+yAB+zAAr；

(2)9=xAD+yAB+zAA1；

(3)EF=xAD+yAB+zAAr.

4.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知幾何體ABC。-A/B/Gd是平行六面體.

（1）化簡(jiǎn)稱理+說+|南結(jié)果用而表示并在圖上標(biāo)出該結(jié)果（點(diǎn)明E,尸的具體位置）；

（2）設(shè)M是底面A8CD的中心,N是側(cè)面BCGS對(duì)角線BG上的點(diǎn)，且C/N=設(shè)而=aAB+pAD+

yAAlt試求a,p,y的值.

題型2向量共線、共面的判定及應(yīng)用

1.（2023下?江西宜春?高二?？计谥校┤绻?（1,5,—1）,B（2,4,1）,C（a,3,b+2）三點(diǎn)共線，那么a—b=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2023上?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末）下列條件能使點(diǎn)M與點(diǎn)4B,C一定共面的是（）

A.OM^OA-OB-OC

B.OM=OA+OB+OC

--->--->--->1>

C.OM=-OA-OB+-OC

2

D.OM=-OA-OB+3OC

3.（2022上.全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體ABC。-Z/iCiA中，M,N分別是C/LZB的中點(diǎn),

E在441上且AE=2瓦勺,F在CC】上且CF=判斷砒與標(biāo)是否共線？

4.(2023?高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知0,4B,C,D,E,F,G,H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且至=k色?,=kOB,

OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,kH0,m0.

(1)求證：A,B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,H四點(diǎn)共面;

(2)求證：平面A8CD〃平面￡TCH；

(3)求證：OG=kOC.

空間向量的夾角及其應(yīng)用。?

1.（2022上?山東?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量2=（1,0,百），單位向量3滿足怔+2司=28，貝皈工的

夾角為（）

A.-B.-C.-D.—

6433

2.（2023下?上海浦東新?高二?？茧A段練習(xí)）空間有一四面體A-8C。，滿足4D14B,AD1AC,則所有

正確的選項(xiàng)為（）

①礪-DC=DA2-AB-AC；

②若/8AC是直角，則/BOC是銳角；

③若N2AC是鈍角，則NBZ5C是鈍角；

④若［4B|<\DA\M.\AC\<\DA\,則NBDC是銳角

A.②B.①③C.②④D.②③④

3.（2023上?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末）在三棱錐P—48C中，BC_L平面P4B,平面PAC_L平面ABC.

（1）證明：P41平面4BC；

（2）若PA=20AB=2&BC,。為PC中點(diǎn)，求向量和與前夾角的余弦值.

4.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，正方體4BCD的棱長(zhǎng)是a,CD】和DQ相交于點(diǎn)。.

⑴求E.麗；

(2)求同與方的夾角的余弦值

(3)判斷而與E是否垂直.

題型4N利用空間向量的數(shù)量積求模

1.(2023下?福建莆田?高二統(tǒng)考期末)如圖，平行六面體力BCD的底面2BCD是矩形，其中4B=2,

AD=4,A4i=3,且Z&AD=N4遇B=60。，則線段力的的長(zhǎng)為()

A.9B.V29C.V47D.4V3

2.(2023下?甘肅天水?高二統(tǒng)考期末)如圖，在平行六面體48CD中，AB=a,AD=b,AA[=c,

乙BAD=90°,N82&=ND44=60。，\a\=\b\=|c|=1,則用｛2,表示宿及線段|宿帕勺長(zhǎng)為分別為

()

2G

A.ACr=a+b+c,|4Ci|=5B.XCt=a+b—c,|XCt|=3

C.AC1—a.+b+c,\AC11=V5D.ACr=a+b—c,\AC-i\=V3

3.（2023上?福建泉州?高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱力BC-中，M,N分別是4/,4cl上的

點(diǎn)，且2BM=力iMGN=24M設(shè)通=d,AC=b,AA^=c.

R

(1)試用2,3,1表示向量MN；

(2)若NB力C=90°,NBA41=NCA41=60。，AB=AC=AAt=2,求線段MN的長(zhǎng).

4.（2022上?北京通州?高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體力BCD-4/iCiA中,4B=4,AD=2,AAr=2vL

ADr=2V5,/.BAD=60°,^BAAr=45°,"與8。相交于點(diǎn)。.

（2）求AD42；

⑶求。&的長(zhǎng).

[[利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題

1.（2023上?河北保定?高二統(tǒng)考期中）若歸2a構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）

A.a—b,2a+b—c,3a—cB.a—b,2a+b—c,a+5b—3c

C.a—b,a+b—c,2b—cD.a—b,d+b—c,5d+h—3c

2.（2022上.山東淄博.高二校聯(lián)考階段練習(xí)）己知。、4B、C為空間中不共面的四點(diǎn)，且加=:布+稱加+

tOC,若P、4B、C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)f的值是（）

3113

A.-B.--C.-D.--

4864

3.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）4是△BCD所在平面外一點(diǎn)，G是ABCD的重心，M、E分別是刈＞、AG的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸在線段AM上，\AF\=l\AM\,判斷三點(diǎn)C、E、尸是否共線.

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A,B,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O,若點(diǎn)M滿足麗=

^（OA+OB+OC）.

（1）判斷加，礪，流三個(gè)向量是否共面；

（2）判斷點(diǎn)〃是否在平面ABC內(nèi).

向量基本定理解決夾角、距離、垂直問題

1.（2023下?江蘇泰州?高二統(tǒng)考期末）己知三棱柱力BC-4/iG的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面4BC是邊長(zhǎng)為2的正

三角形，N44B=AArAC=60°,若B】C和BQ相交于點(diǎn)M.^\\AM\=（）

A.V3B.2C.V5D.V6

2.（2023下?湖南?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知斜三棱柱力8C-中，底面4BC是等腰直角三角形，AB=

AC=2,CQ=2,44］與4B、4C都成60°角，則異面直線4名與BC1所成角的余弦值為（）

B.WVio

A-zCVD-2

3.（2023上?安徽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD是邊長(zhǎng)為3的菱形，PC=

4,^ABC=乙BCP=乙DCP=120°.

p

(1)利用空間向量證明241BD；

⑵求4P的長(zhǎng).

4.(2023上?天津靜海?高二靜海一中?？茧A段練習(xí))如圖所示，已知空間四邊形ABC。的每條邊和對(duì)角線

長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E，F(xiàn),G分別是AB,AD,C。的中點(diǎn).設(shè)南=五，AC=b,AD=c.

⑴求證EG±AB；

(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示

1.(2023下?廣東揭陽?高二統(tǒng)考期末)已知空間向量&=(1,2,-2),b=(3,九〃-1),若2〃丸貝以+〃=()

A.1B.-1C.2D.-2

2.(2023上?河南洛陽?高二統(tǒng)考期末)設(shè)x,y,zeR,向量日=(久，1,1),b=(1,y,z),c=(2,-4,2),

且五1落b//c,則|d+B+^|=()

A.V57B.3V6C.3D.9

3.(2022上.河南洛陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知五=(2,—1,—4),B=(—1,匕2).

(1)若丘一3)〃伍+3),求實(shí)數(shù)k的值；

⑵若(五+3及，(五+母，求實(shí)數(shù)k的值.

4.(2023上?安徽亳州?高二?？奸_學(xué)考試)已知點(diǎn)4(—2,0,2)、5(-1,1,2),C(—3,0,4),2=同石=前

(1)若同=3,Mc//BC,求才；

(2)若+b與肢—2b垂直,求左；

(3)求cos(2,b).

利用空間向量研究點(diǎn)、線、面的距離問題-01

1.(2023上?浙江寧波?高二校聯(lián)考期中)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到

另一條直線距離的最小值.在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-&B1C1D1中，直線&的與之間的距離是()

A.V2B.竽C.1D.竽

2.(2023上?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)如圖，在四棱錐P-4BCD中，PD_L底面4BCD,底面力BCD是矩形,

AB=24D=4,PD=?上是P力的中點(diǎn)，F(xiàn)B=2PF,則點(diǎn)C到平面DEF的距離為()

Vio

c.FD.

10

3.(2022下?湖南長(zhǎng)沙?高一?？计谀?如圖，在四棱錐P-4BCD中，AD//BC,AADC=/LPAB=90°,BC=

CD=^AD,E為棱4D的中點(diǎn)，異面直線P4與CD所成的角為90。.

(1)在平面P4B內(nèi)是否存在一點(diǎn)使得直線CM〃平面PBE,如果存在，請(qǐng)確定點(diǎn)"的位置，如果不存在,

請(qǐng)說明理由;

(2)若二面角P-CD-4的大小為45。，求P到直線CE的距離.

4.(2023下?天津紅橋?高一統(tǒng)考期末)如圖，在底面是矩形的四棱錐P-4BCD中，P41平面4BCD,PA=

AB=2,8C=4￡是PD的中點(diǎn).

⑴求證:CD1平面P4D；

(2)求平面E4C與平面2CD夾角的余弦值;

(3)求B點(diǎn)到平面E4C的距離.

利用空間向量求空間角

1.（2023上?貴州銅仁?高二統(tǒng)考期末）已知正四棱柱ABCD—aB1C1D1中，AB=2,441=4,點(diǎn)E,F分

別是/Ci和BBi的中點(diǎn)，M是線段。1尸的中點(diǎn)，則直線AM和CE所成角的余弦值為（）

2.（2023下?江蘇南京?高二統(tǒng)考期末）已知平面a與平面0的法向量分別為蘇與五，平面a與平面。相交，形

成四個(gè)二面角，約定：在這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角稱為兩個(gè)平面的夾角,用。表示這兩個(gè)平面的

夾角，且cose=|cos（元，正＞1=焉焉，如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD—4B1GD1中，點(diǎn)E為棱441的

中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，則平面BEF與平面BCF的夾角的余弦值為（）

3.（2023上?天津津南?高二校考期末）如圖，4岳1平面480,。尸〃45,4。〃8。40148,48=力。=1,

（1）求證：BF〃平面4DE；

（2）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;

（3）求平面與平面B。尸夾角的余弦值.

4.（2023下?全國(guó)?高一期末）如圖，在三棱柱ABC-4B1G中，AB1AC,頂點(diǎn)在&底面4BC上的射影恰

（1）求證：A1cl_L平面ABAI當(dāng)

⑵求棱441與BC所成的角的大??；

（3）在線段/Q上確定一點(diǎn)尸，使力P=VH,并求出二面角P-AB-&的平面角的余弦值.

題型ioq利用空間向量研究存在性問題

1.（2023上?江西?高三校聯(lián)考期末）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或

兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如

圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24,棱長(zhǎng)為魚的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是

由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）

A

A.存在點(diǎn)￡、使得A、F、D、E四點(diǎn)共面;

B.存在點(diǎn)E,使0E1DF；

C.存在點(diǎn)E,使得直線。E與平面CD尸所成角為全

D.存在點(diǎn)E,使得直線QE與直線AF所成角的余弦值管.

2.(2023上?北京?高二清華附中?？计谀?如圖，在正方體力BCD-a/iGA中，E為棱/G的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)

P沿著棱DC從點(diǎn)。向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)P,使得P&=PE；

②存在點(diǎn)P,使得8%，平面P&E；

③XP&E的面積越來越??；

④四面體4PB1E的體積不變.

A.1B.2C.3D.4

3.(2023上?上海普陀?高二校考期末)正AaBC的邊長(zhǎng)為4,CD是48邊上的高，民尸分別是4C和BC邊的中

點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角力—DC—

(1)求證：直線4B||平面DEF；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值；

(3)在線段8C上是否存在一點(diǎn)P,使力PIDE?若存在，請(qǐng)指出P點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.（2023下?江蘇南京?高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知P41平面ABC,平面P4B_1平

面PBC.

⑴證明:BC1平面P4B；

（2）若24=AB=6,BC=3,在線段PC上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)D,使得二面角B-4￡>-C的余弦值

為手，若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，說明理由.

2024學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第一章十大題型歸納（拔尖篇）

【人教A版（2019）］

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)。|

1.（2023上?福建泉州?高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體力BCD-中，點(diǎn)E為上底面

對(duì)角線AG的中點(diǎn)，若礪=痂+%荏+y而，則（）

bC

.11-Il

x=——,y=-x=-,y=——

A.22B.2y2

C-.x=——1,y=——1cD.x=-1,y=-1

2z22/2

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【解答過程】根據(jù)題意，得；BE=BBl+l（BA+BC）

—.1-11—

=AA1+^BA+-SC

=AA1--AB+-AD,

122

災(zāi)BE-AAr+xAB+yAD

11

??.一/=，，

故選：A.

2.（2023上?河北?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在四面體。ABC中，OA=a,OB=b,,OC=c,OM=癡5(4>0),

N為BC的中點(diǎn)，若而=—+；乙則2=（）

422

A?%B.3C.|D.2

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得解.

o

因?yàn)辂?4拓?，N為BC的中點(diǎn)，所以麗=S瓦?，

Z+1

又因?yàn)辂?1赤+T方，

所以MN=ON-0M=-0B4—0C--—0A=---u.H—bH—c,

22A+lA+122

又而=—三昌+工3+與，所以一?-=—三,解得：2=3.

4222+14

故選：B.

3.(2022?高二課時(shí)練習(xí))如圖，正方體2BCD中，點(diǎn)E,B分別是上底面和側(cè)面。。/力

的中心，分別求滿足下列各式的x,y,z的值.

(1)XF=xAD+yAB+zAAr；

(2)XF=xAD+yAB+zAA1；

(3)EF=xAD+yAB+zAA1.

【解題思路】(1)由向量加法的三角形法則和四邊形法則得標(biāo)=麗＜+砧和舉=久荏+而)，由此

即可求出結(jié)果；

(2)由向量加法的三角形法則和四邊形法則得而=而+而和方=|(屈+京)，由此即可求出結(jié)果；

(3)因?yàn)榍?前一族，由(1),(2)可知，EF=^AD-^AA1,由此即可求出結(jié)果.

【解答過程】(1)解：由向量加法的三角形法則得，族=京+砧，

由平行四邊形法則和向量相等得，舉="不瓦+硒()=)樂+前)；

所以荏=甌+砧=標(biāo)+*屈+前）-|AD+

所以％=y=|,z=1；

（2）解：由向量加法的三角形法則得，AF^AD+DF,

由四邊形法則和向量相等得，DF=I（DC+西）=l（AB+鞏）；

所以而=AD+DF=AD+|（AB+~AA^）=AD+^AB+^AA1,

所以％=l,y=z=

TT—T1TlT1TlTT

（3）解：由（1）,（2）可知，=-++—

二前二標(biāo)，

221

所以x=l，y=o,z=

4.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所不，已知幾何體A3CD-A/B/GD；是平行六面體.

（1）化簡(jiǎn)］磯+說+］南結(jié)果用而表示并在圖上標(biāo)出該結(jié)果（點(diǎn)明E,尸的具體位置）；

（2）設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面BCCiBi對(duì)角線2G上的點(diǎn)，且C/N=工,設(shè)麗=aAB+pAD+

4

yAAt,試求a,萬，y的值.

【解題思路】（1）取44/的中點(diǎn)E,在力。上取一點(diǎn)R使得。尸=2尸。，連接EF再根據(jù)向量的線性

運(yùn)算計(jì)算即可；

（2）通過通，AD,高表示麗，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出a,夕，y的值即可.

【解答過程】解（1）取44/的中點(diǎn)E,在上取一點(diǎn)兒

使得。不=2/。，連接ER

1---、--、?--、---、----、、、

貝吟A41+BC+^AB=EAr+ArDr+DrF=EF.

⑵麗=麗+麗書麗+,跖

1---------?---------,O---------?------------?

^-(DA+AB)+-CBC+CC.)

1--k1--13---x

=-AB+-AD+-AA1,

所以a=1,S=%Y=|.

題型2N向量共線、共面的判定及應(yīng)用

1.(2023下?江西宜春?高二?？计谥?如果4(1,5,—1),B(2,4,1),C(a,3"+2)三點(diǎn)共線，那么a-b=()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】首先表示出屈、AC,依題意可得荏〃尼，即可得到前=2荏，從而得到方程組，解得即可;

【解答過程】解：因?yàn)?(1,5,-1),8(241),C(a,3,1+2),所以荏=(1,一1,2),前=(a—1,—2,b+3),

又三點(diǎn)共線，所以荏〃而，所以尼=4通，

a—1=A(A=2

所以—2=—A，解得a=3,

力+3=24\b=1

所以a—b=2.

故選：B.

2.(2023上?河南新鄉(xiāng)?高二統(tǒng)考期末)下列條件能使點(diǎn)M與點(diǎn)ARC一定共面的是()

A.OM=OA-OB-OC

B.OM=OA+OB+OC

--->-->-->1-->

C.OM=-OA-OB+-OC

2

D.OM=-OA-OB+3OC

【解題思路】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.

【解答過程】設(shè)血=x6?+y赤+z方，若x+y+z=l,則點(diǎn)M,4B,C共面.

對(duì)于A,OM-OA-OB-0C,由于1一1一1=—1大1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,OM=OA+OB+0C,由于1+1+1=3羊1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,麗=一瓦＜一加+：反，由于一1一1+（=一|41，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,OM=-OA-0B+30C,由于一1-1+3=1,得共面，故D正確.

故選：D.

3.（2022上?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，在平行六面體4BCD中，M,N分別是好九力⑶的中點(diǎn),

E在441上且4E=2瓦F在CC】上且CF=：尸6，判斷砒與標(biāo)是否共線？

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到雁=-而，即可得到結(jié)論.

【解答過程】由空間向量的線性運(yùn)算法則，可得麗=西+瓦=+砧=|瓦＜+而+：羽

、、*1、、、、、、、

=-NB+CB+沁C=CN+FC=FN=-NF,即ME=-NF,

又由向量的共線定理，可得砒與標(biāo)共線.

4.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，己知0,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且云=kOA,OF=kOB,

OH=kOD,AC=AD4-mAB,EG=EH+mEF,/cW0,znW0.

（1）求證：A,B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,”四點(diǎn)共面；

（2）求證：平面A8CD〃平面￡TCH；

⑶求證：0G=kOC.

【解題思路】（1）利用空間向量共面定理即可求證；

（2）由空間向量線性運(yùn)算可得麗=k衣，由空間向量共線定理可證明而〃前，再由線面平行的判定定理

可得EG〃平面2BCD,同理可證明〃平面4BCD,由面面平行的判定定理即可求證；

（3）由（2）知的=k左，再利用空間向量的線性運(yùn)算即可求證.

【解答過程】（1）因?yàn)榍?而+巾荏，m^O,

所以灰，AD,荏共面，即4,B,C,。四點(diǎn)共面.

因?yàn)镋G=EH+mEF,m0,

所以的，EH,而共面，即E,F,G,"四點(diǎn)共面.

（2）連接HF,BD,~EG^EH+mEF^OH-OE+m（0F-0￡）=k（0D-OA）+km（0B-0A）

=kAD+kmAB=k（AD+mAB）=kAC,所以通〃記，

又因?yàn)镋GC平面ABCD,"u平面4BCD,所以EG〃平面4BCD.

因?yàn)槎?而一而=k（礪-而）=k詼，所以麗〃麗,

又平面ABC。，BDu平面4BCD,所以FH〃平面48CD,

因?yàn)镋G與FH相交，所以平面ZBCD〃平面EFGH.

（3）由（2）知麗=kAC,所以標(biāo)=瓦+前=kOA+kAC=k（OA+芯）=kOC.

題型3興空間向量的夾角及其應(yīng)用

1.（2022上.山東.高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量日=（1,0,百），單位向量3滿足忖+2同=28，貝皈工的

夾角為（）

A.-B.-C.-D.—

6433

【解題思路】利用向量的模平方得向量積的值，再利用向量夾角公式求解

【解答過程】因?yàn)?=（1,0,V3）,所以同=小2+0+（V3）2=2.又恒+2b\=2V3,

所以忸+2同2=12,即也+4N?3+43=12,所以4+42i+4=12,則2?3=1.

所以cos%3）=晶=貴=*又年,鉆e[0,Tt],所以〈2,引=今

故選：C.

2.（2023下?上海浦東新?高二?？茧A段練習(xí)）空間有一四面體A-8CD,滿足4D14B,AD1AC,則所有

正確的選項(xiàng)為（）

①麗?DC=~DA2-AB-AC；

②若/8AC是直角，則N8OC是銳角；

③若NBAC是鈍角，則NBDC是鈍角；

④若[4B|<|0川且14cl<|￡>川,則N8DC是銳角

A.②B.①③C.②④D.②③④

【解題思路】由題意知而?福=0,AD-AC^0,赤?反+荏）+前）=瓦^+南.就可

判斷①；若NBAC是直角，則亞?左=O,1JB-DC=DA2>0可判斷②；設(shè)NB力C=120°,AB=AD=AC=

2

1,由余弦定理可判斷③；^\AB\<\DA\S.\AC\<\DA\,貝“樂|?|而|cosNB4C<|方可，可得礪.瓦>0

可判斷④.

【解答過程】對(duì)于①，因?yàn)锳D1AC,所以而?屈=0,ADAC=O,

則麗■DC=（DA+AB"）-（DA+AC"）=DA2+AB-AC,故①不正確；

對(duì)于②，若/BAC是直角，則胡??。?（）,

DB-DC=（DA+AB）-（DA+AC）=~DA2+AB-AC=DA2>0

所以NBOC是銳角，故②正確；

對(duì)于③，若/BAC是鈍角，設(shè)NBAC=120°,AB=AD=AC=1,

在△力BC中，由余弦定理可得：BC2=l+l-2xlxlxcosl20°=A/3,

BD?+DC2-BC2_2+2-3

而DB=DC=&,所以在AOBC中，cos/BDC=

2BDDC2XV2XV2/'

所以NBDC為銳角，所以③不正確;

對(duì)于④，DB-DC（DA+AB）■（DA+前）=[DA\2+\AB\■\AC\■cos^BAC,

若|4B|<|D*且|4C|<\DA\,則廓卜\AC\<\DA^,

因?yàn)镹BACG（0,Tt）,coszB71Ce網(wǎng)?悶\cos^BAC\<\DA^,

—>—>

DBDO0,所以NBDC是銳角，故④正確；

故選：C.

3.（2023上?安徽蚌埠?高二統(tǒng)考期末）在三棱錐P-ABC中，BCJ_平面P4B,平面P4C_L平面ABC.

（1）證明：PA1平面ABC；

（2）若PA=2&AB=2/B&D為PC中點(diǎn)，求向量和與而夾角的余弦值.

【解題思路】（1）由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明即可；

（2）由前=［（瓦5+和+阮），求出|而AP-BD,由空間向量夾角的公式代入求解即可.

【解答過程】（1）證明：過點(diǎn)B作8。14;于點(diǎn)0,

■平面P4C1平面ABC,平面P4Cn平面力BC=AC,BOu平面4BC,

.-.BO1平面P4C,又PAu平面PA&BO1PA.

???BC平面P4B,P4u平面P4B,；.BC1PA.

BCCBO=B,BC,BOu平面力BC,???PA1平面ABC.

（2）由（1）知8CJ.P4BC_L4B,P4_LAB,設(shè)4B=1,

則PA=2V2,BC=1.

???D為PC中點(diǎn)，JD=|(SP+SC)=|(B1+^4P+BC),

\BD\=^(BA+AP+BC)=|vi+8+i=半

］

,-.AP-~BD=-(AP-BA+AP2+AP-JC>)=4-

__AP-BD2Vs

cosMP-BD)-?=——

\'\AP\-\BD\5

.-■標(biāo)與前夾角的余弦值為等.

4.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，正方體4BCD-&B1C1A的棱長(zhǎng)是a,CD】和DQ相交于點(diǎn)。.

⑴求歷；

（2）求而與礪的夾角的余弦值

⑶判斷而與可是否垂直.

【解題思路】（1）利用數(shù)量積的公式可得；

（2）先用南，而，河表示而，利用數(shù)量積運(yùn)算律可得萬?麗、|萬|進(jìn)而利用公式可得而與方的夾角的余

弦值.

（3）利用數(shù)量積運(yùn)算律得布?E=0,進(jìn)而可得而與E是否垂直.

【解答過程】（1）正方體ABCD-A/iGDi中，C5=&a,（Z瓦，而）=；,

故C￡)i?CD=V2aXaXcos-=a2.

(2)由題意知，AB-AD=0,AB-AA^=0,AA^-AD=0,

AO=AD+D0=AD+^(AB+近)，

畫=/畫+［荏+麗)『=J而2+［向2+［磯2=祟

故而-CB=-AO-AD=-^AD+^(AB+-AD=-a2,

AOCB_-a2V6

故cos(Z。,=

3

2

(3)由題意，AB-AD=O,AB-AA^=O,AA^-AD=0,

AO-CD^=W+g(屈+磯)].(西-AB}

二師2一/=0

故而與E垂直.

題型4利用空間向量的數(shù)量積求模

1.（2023下?福建莆田?高二統(tǒng)考期末）如圖，平行六面體4BCD-4/1GD1的底面4BCD是矩形，其中AB=2,

AD=4,441=3,且NAiAD=乙勺48=60。，則線段4C1的長(zhǎng)為（）

A.9B.V29C.V47D.4舊

【解題思路】由福*=+鬲，兩邊平方，利用勾股定理以及數(shù)量積的定義求出血2,2前?國(guó)*，鬲2的值,

進(jìn)而可得答案

【解答過程】由宿=尼+鬲，

2

\ACy\=AC1=(AC+CC1)2=AC+2AC-CQ+CQ.

因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，AB=2,AD=4,AA1=3,

所以左2=]回2=4+16=20,Ccf=9,

因?yàn)镹&4B=/.ArAD=60",

所以4B-CCt=2x3xcos60°=3,BC-CQ=4x3xcos60°=6

所以2萬?CQ=2(AB+BC)-CQ=2(AB-CCi+BC-CQ)=2(3+6)=18,

|XQ|2=20+18+9=47,1福=V47

故選：C.

2.(2023下?甘肅天水?高二統(tǒng)考期末)如圖，在平行六面體力BCD中，AB=a,AD=b,AA1=c,

乙|5|=\b\=|c|=1,則用口另。表示碣及線段|溫|的長(zhǎng)為分別為

BAD=90°,^BAAr=Z.DAAr=60°,

A.AC±=a+b+c,\ACr|=5B.ACr=a+b—c,|ACj=3

C.a+b+c,|宿|=遮D.AC^^a+b-c,|XC\|=V3

【解題思路】用向量的線性運(yùn)算可直接求得隔；求整體的模長(zhǎng)可平方再開根.

【解答過程】在平行六面體4BCD-&BiCiA中，AB=1,AD=1,AA1=1,^BAD=90°,/LBAA1=

/.DAA1=60°,

V4Q=AB+BC+CC^=d+b+c,

>2/>>>、2、c,c)2>>>)>>

122

：.ACr={AB+BC+CCj=AB+BC+CCX4-2AB-BC+2AB-CCr+2CCr-BC

11

=l+l+l+0+2xlxlx-+2xlxlx-=5,

22

/.\AC^\=V5.

故選:C.

3.(2023上?福建泉州?高二?？茧A段練習(xí))如圖，在三棱柱力BC-中，M,N分別是&G上的

點(diǎn)，且2BM=AMC1N=241M設(shè)4B=2,AC—b,AA±=c.

(1)試用2,3,3表示向量MA/；

(2)若NBAC=90°,z.BAAr=^CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求線段MN的長(zhǎng).

【解題思路】(1)根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解；

(2)根據(jù)題意，求得自小=0且方1=冒1=2,結(jié)合空間向量的數(shù)量積和模的運(yùn)算，即可求解.

【解答過程】(1)解：因?yàn)?BM=&M,CiN=2&N,

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得標(biāo)=而7-不而=：下-1(通-麗＞)=-|XB+|XC+|Z47=

2-?1E?2f

——a+-D+-c.

333

(2)解：因?yàn)镹B4C=90。，/.BAAr=Z.CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,

可得R-b—0且3-c—a-c-2,

22

貝i]|而『=(_|z+的+|碘2=1(-452+b+4c-4d-b+4b-c-8a-c)

=2(16+4+16-0+8-16)=蔡，所以|而|=呼，

即線段MN的長(zhǎng)手.

4.(2022上?北京通州?高二統(tǒng)考期中)如圖,在平行六面體ABC?！狝BiGA中,AB=4,AD=2,AA±=2VL

AD1=2V5,4BAD=60°,ABAA1=45°,AC與BD相交于點(diǎn)。.

-AD；

⑵求NDA41；

(3)求。4的長(zhǎng).

【解題思路】(1)利用數(shù)量積的公式求數(shù)量積即可；

(2)利用余弦定理求出即可得到ND44；

(3)通過線性運(yùn)算得到|西|=卜,南-1而+麗］,然后利用數(shù)量積求模長(zhǎng)即可.

【解答過程】(1)AB-AD=\AB\\AD\cos^BAD=4X2XCOS60°=4.

(2)因?yàn)?BCD-4/iCiDi為平行六面體，所以四邊形441。%為平行四邊形，A^/ZAD,久/=AD=2,

在三角形中=2迎=2,40］=2遍，所以COSADI&4=誓言=-g,所以AD1必力=",

2x2V2x224

又所以40441=￡

(3)由題意知，|西||甘方而+磯］，則|西廣=［廊/+：珂2+|初廣+1^.而一詬.

AAi—AD,AA^=4+l+8H—x4x2x—

1122

l迎r-^2

-4x2v2x——2x2v2x

=3,

所以I西I=b.

利用空間向量基本定理證明平行、共線、共面問題。|

1.（2023上?河北保定?高二統(tǒng)考期中）若色,瓦包構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）

A.a—b,2d+b—c,3a—cB.a—b,2d+b—c,a+5b—3c

C.a-b,a+b—c,2b—cD.a—b,a+6—c,5a+6—3c

【解題思路】由空間共面向量定理求解即可.

【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閍-另+22+3-3=3d—3所以2-丸2a+b-c,3之一5共面，故A

錯(cuò)誤；

X+2y=1

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)％（五—b）+y（2d+b—c）=d+5b—3c,貝！J—%+y=5,

、-y=-3

此方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)羽》使得五一九2a+b-c,五+53-3^共面，

所以五—b,2a+b—落a.+5b—3^不共面，故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椤ㄎ濉?d+b—c=2b—CJ

所以五一b,五+b,2b—F共面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?（五-6）+3（d+K-c）=5a+b-3c,

所以d—3,a+b—c,5d+3-3/共面，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

2.（2022上.山東淄博.高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。、X.B、C為空間中不共面的四點(diǎn)，且加=［瓦？+］礪+

toe,若P、4、B、C四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)f的值是（）

3113

A.-B.--C.-D.--

4864

【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理得到可=xPB+yPC,進(jìn)而得2而-OA=x（0P-OB'）+y（0P-OC）,

根據(jù)待定系數(shù)法即可.

【解答過程】：P、4B、C四點(diǎn)共面

必存在唯——組有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）使得西=xPB+yPC,

：.~OP-OA=x(0P-~0B)+y(0P-~0C),即(1—=0A-xOB-yOC

VO,A,B、C四點(diǎn)不共面

：.x+y^1,否則4、B、C三點(diǎn)共線，即。、4.B、C四點(diǎn)共面，與題意不符，

,\OP=^—OA———~OB——匚沆，則有

1-x-y1-x-y1-x-y

一+二+-=1,

1-x-y1-x-y1-x-y

故而；+;+t=1.

32

/.t=-.

6

故選：c.

3.(2022.高二課時(shí)練習(xí))A是ABC。所在平面外一點(diǎn)，G是ABC。的重心，M、E分別是2D、AG的中點(diǎn),

點(diǎn)廠在線段AM上，\AF\=||XM|,判斷三點(diǎn)C、E、尸是否共線.

【解題思路】利用空間向量的基本定理和共線向量定理求解.

【解答過程】解：設(shè)而=落AC=b,AB=c,

CE=-(CG-b)=---CM--b,

217232

=|(i4M—K)—|b=|[|(a+c)—hj—

=