2024-2025學(xué)年滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末沖刺復(fù)習(xí)：四類母子型相似（解析版）

專題14四類母子型相似

目錄

解題知識必備.......................................

壓軸題型講練.......................................

類型一、“母子”模型（斜射影模型）..........................

類型二、雙垂直模型（射影模型）.............................

類型三、“母子”模型（變形）.................................

類型四、共邊模型............................................

壓軸能力測評（10題）...............................

“解題知識必備??

母子相似證明題一般思路方法：

①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；

②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；

③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；

④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。

【模型解讀與圖示】"母子"模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角"，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成

比例就可以判定這兩個三角形相似.

圖1圖2圖3

1）“母子"模型（斜射影模型）

條件：如圖1,NC=N/6。；結(jié)論：2仔=/1。/6：

2）雙垂直模型（射影模型）

條件:如圖2,NZ%=90。，CDVAB;

結(jié)論：“ACDsAABJCBD;C42=AD-AB,BO=BDBA,CU=DA-DB.

3）“母子"模型（變形）

條件:如圖3,NO=NC4￡,結(jié)論：;

4）共邊模型

條件:如圖1,在四邊形ABC。中，對角線3。平分/ABC,ZADB=ZDCB,結(jié)論：BD2=BABC；

X壓軸題型講練2

類型一、，，母子，，模型（斜射影模型）

例.定義：如圖，若點尸在三角形的一條邊上，且滿足N1=N2,則稱點尸為這個三角形的"理想點".

AB

圖②

（1）如圖①，若點D是VABC的邊的中點，AC=20，AB=4,試判斷點。是不是VA3C的"理想點",

并說明理由；

（2）如圖②，在咫AABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若點。是VABC的"理想點”，求CD的長.

【答案】（1）。為VABC的理想點，理由見解析

【分析】（1）由已知可得會=n，從而AACZJSAABC,ZACD=ZB,可證點。是AABC的"理想點”；

ADAC

（2）由。是AABC的"理想點"，分三種情況：當(dāng)。在A3上時，C。是A3邊上的高，根據(jù)面積法可求C。長

度；當(dāng)。在AC上時，ABDC-AABC,對應(yīng)邊成比例即可求C。長度；。不可能在上.

【詳解】（1）解：點。是AABC的"理想點”，理由如下：

?.?。是中點，AB=4,

:.AD=BD=2,ADAB=8,

???AC=20，

AC2=8,

AC2=ADAB,

ACAB

：.——=一,

ADAC

,.,ZA=ZA,

:.\ACD^\ABC,

ZACD=/B,

.?.點。是AABC的"理想點"；

（2）①。在A3上時，如圖：

C

/\??,￡>是A4BC的"理想點”,

ADB

ZACD=NB或ZBCD=ZA,

當(dāng)NACD=N3時，

?/ZACD+ZBCD=90°,

ZBCD+ZB=90°,

:.ZCDB=90°,即CD是AB邊上的高，

當(dāng)4C￡>=NA時，同理可證NCDB=90。，即CO是A3邊上的高,

在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC、=4,

:.BC=-JAB2-AC2=3，

SMBC=~ABCD=^ACBC,

:.CD=—,

5

@vAC=4,BC=3,

AC>BC有ZB>ZA,

，"理想點"。不可能在BC邊上，

③。在AC邊上時，如圖：

C

a?。是AABC的"理想點”,

AB

:.ZDBC=ZA,

又NC=NC,

:.ABDCs^ABC,

CDBCCD3

——=——，即an——=-

BCAC34

129

綜上所述，點。是AABC的"理想點”，CD的長為二或二.

【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解"理想點”的定義.

【變式訓(xùn)練1】.如圖，A5=16cm,AC=12cm,動點尸，。分別以每秒2cm和1cm的速度同時開始運動，

其中點P從點A出發(fā)，沿AC邊一直移到點C為止，點。從點3出發(fā)沿54邊一直運動到點A為止(點尸到

達點C后，點。繼續(xù)運動)

⑴請直接用含/的代數(shù)式表示AP的長和AQ的長，并寫出f的取值范圍；

(2)當(dāng)t等于何值時，尸。與AABC相似？

【答案】(1)AP=2化m(0<f<6),AQ=(16-t)cm(0</<16)

(2)f=言48或f=7

【分析】(1)根據(jù)題意求解即可；

(2)分兩種情況：當(dāng)ovr<6時，當(dāng)6夕416時，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：由題可知：AP=2tcm(0<r<6),AQ=(16-f)cm(0<Z<16)

(2)解：當(dāng)0?<6時

①若QP0BC,則有EAQPEBABC.

AQAP

回---=---

ABAC

又0A3=16cm,AC=12cm,AP=2tcvc\f

解得：仁洋

解得：上6.4（不合題意，舍去）

當(dāng)6夕416時，點P與點。重合，

回她二財，只有當(dāng)她。。二胡。3,有0AQPIM1AC5.

AQAP

團-------

ACAB

解得：r=7

綜上所述：/=方48或f=7.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在0ABe中，。為上一點，0ACD=aB.求證：AC2=AD?AB.

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在MBCZ）中，E為BC上一點,尸為C。延長線上一點，0BFE=EA.若BF=4,

BE=3,求的長.

圖1圖2

【答案】⑴見解析；(2)

【分析】(1)證明MDOafflACB,即可得出結(jié)論；

(2)證明EIBFEHaBCE得出2/=2E?BC,求出BC,則可求出AD

【詳解】(1)證明：SSACD=SB,EA=EA,

0EL4DCH0ACB,

ADAC

回--------，

ACAB

^AC2=AD^AB.

(2)國四邊形ABC。是平行四邊形,

0AD=BC,EA=EIC,

又E0BFE=EIA,

EEIBFE=EIC,

y^EFBE^CBF,

^BFE^BCF,

BFBE

團---=----

BCBF

@BF^BETC,

回心竺」16

BE33

y.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，正確掌握相似三角

形的判定方法是解題關(guān)鍵.

ADAT)

【變式訓(xùn)練3】.如圖，在AABC中，。是BC上的點，E是A。上一點，＞—,SBAD^ECA.

ACCE

E

(1)求證：AC2=BC?CD；

CF

⑵若加是"C的中線，求前的直

【答案】⑴證明見解析；⑵與

【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出AR3AACEA,得NB=NEAC,進而求出再

利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可;

（2）由ARWSAACE可證NCDE=NCED,進而得出CD=CE,再由（1）可證AC=0C。，由此即可得出

線段之間關(guān)系.

AfiAn

【詳解】(1)證明：???色2=叱，ZBAD=/ECA,

ACCE

:.ABAD^MCE,

:.NB=NEAC,

???ZACB=ZDCA,

「.△ABCs△加。，

.ACBC

,~CD~~\C'

AC2=BC.CD.

(2)解：???△BAD^AACE,

.\ZBDA=ZAEC,

：.ZCDE=ZCED,

:.CD=CE,

???AO是aABC的中線，

:.BC=2BD=2CD,

AC2=BC.CD=2CD2,即：AC=?CD，

「CECDV2

AC0CD2'

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出A&gAACE是解

題關(guān)鍵.

類型二、雙垂直模型（射影模型）

AnAr

例.如圖，在RtMBC中，0AC3=9O°,點。在AB上，且——=—

ACAB

(1)求證SACDSiSABC；

(2)若AZ)=3,BD=2,求CD的長.

【答案】（1）見解析；（2）?

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出AACDFABC

（2）由44?￡）“他。得加心=/46=90。，ZACD=ZB,推出AACD?屋ED,由相似三角形的性質(zhì)得

信器,即可求出CD的長.

，、ADAC

[^1(1)0—=—,XA=XA，

0i^ACD~AABC；

(2)0AACD-AABC,

EZADC=ZACB=90°,ZACD=ZB,

團ZCDB=180°-90°=90°=ZACD,

回AACD??BD,

CDBD口

回而=五’即59=ADBD=3x2=6

0CZ)=V6.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】.在R/EL48c中，0ACB=9O。，點。為AB上一點.

C1)如圖1,若CZMAB,求證：AC^AD-AB；

FH4AD

(2)如圖2,若AC=5C,E理CD交CD于H,交AC于尸，且一=—,求——的值；

HE9BD

(3)如圖3,若AC=BC,點H在CD上,0AHO=45。，CH=3DH,貝Utana4cH的值為

圖1

【答案】（1）見解析；（2）（3）立

37

【分析】（1）證出NB=NACD,證明△C3D回AACD,得出累=黑，即可得出結(jié)論；

￡1.L/

（2）設(shè)FH=4。，則"E=9a（。>0）,同（1）得方=昨FH=36a?,則C4=6a,在RtVCHF中,

tanZACD=^=^,過。作DP_LAC于P,易證AP=D尸，求出名=烏=言，再由平行線分線段成比例

Crz3PCPC3

定理即可得出答案；

（3）過點。作DMLAT/于M,設(shè)ZW=2x,貝!|CW=6尤（x>0）,CD=D"+CH=8x,證明△皿/EUCZM,

得出4MH=NACH,黑=縹，求出AD=4x,證明△印砌是等腰直角三角形，得出

DM=HM=—DH=4ix,由勾股定理得出AM二癡x，由三角函數(shù)定義即可得出答案.

2

【詳解】（1）證明：BCD1AB,0ZAZ）C=ZCDB=9O°,

0ZACB=9O°,

⑦ZB+ZBCD=ZACD+ZBCD=90。,

田/B=ZACD,

B/\CBD^\^ACD,

CDBD

團---=---

ADCDf

^CEr=ADDB-,

(2)解：回四=：，

HE9

團設(shè)FH=4a,貝UHE=9a(a>0),

0ZACB=9O°,EF±CD,

同(1)得：CH2=HEFH=9ax4a=36a2,

0CH=6a,

PH4(72

在?VCHF中，tanZAC￡>=—=,

CH6a3

過。作。尸，AC于P,如圖2所示：

圖2

則DP//BC,

np2

在Rt公DPC中，tanNACD-----——,

PC3

團AC=BC,ZACB=90°,

0ZA=45°,

回A4Z乃是等腰直角三角形，

⑦AP=DP,

0-AP=-D-P=—2,

PCPC3

田DP//BC,

0AD=AP=—2；

BDPC3

(3)解：過點。作于如圖3所示:

*

圖3

出CH=3DH,

回設(shè)?！?2%,貝iJCH=6x(x>0),

國CD=DH+CH=8x,

^\AC=BC,ZACB=90°,

回NBAC=45。，

團NBAC=NAHD=45。

又回NAD"=NCZM,

^\AADH^\^CDA,

^\ZDAH=ZACH

^\AD2=DHCD=16x2,

回AD=4%,

^\DM±AH,

團NDMW=90。，

團NAHD=45。，

^\ZHDM=450=ZAHD,

回△RDM是等腰直角三角形，

DM=HM=—DH=y/2x,

2

回AM=yjAD2-DM5=J（4尤）之一（缶J=用x,

^tanZACH=tanZDAH=-=-^^=—；

AMV14.r7

故答案為：立.

7

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角

三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),

證明三角形相似是解題的關(guān)鍵。

【變式訓(xùn)練2】.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD上，3E_LCF于點G,若BC=4,AF=1,則

CE的長為（）

【答案】A

【分析】過D做DH_LFC于點H,由正方形ABCD的性質(zhì)，通過證明和△^0//^△0及3:計

算得到GC,再通過證明AECG^ACDF從而求得CE的長.

【詳解】如下圖，過D做。"_LPC于點H

0ZZ）HF=9OJ

回正方形ABCD

0ZFDC=90°且AD=CD=BC=4

0AF=1

^\FD=AD-AF=A-\=3

國FCTFif+CDZ=打+42=5

又回ZDHF=NFDC=90。

MFDCsAFHD

FHFD3

團---=----=一

FDFC5

團FD=3

9

團F"=一

5

又回正方形ABCD

ADIIBC

e/DFH=NBCG

團班_LCF于點G

0ZBGC=ZCGE=90°

^AFDH^ACBG

GCBC4

團==—

FHFD3

9

團F"=—

5

0GC=—

5

回ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90°

國AECGSACDF

12

0EC=GC=y=3

~FCCD45

33

=-FC=-x5=3

55

故選:A.

方法二：

團團BEC+團FCD=90°,

0DFC+0FCD=9O°,

EO1BEC二團DFC,

又團團CDF二團BCE,

BC=CD,

團團BCE麗CDF,

[?]CE=DF=4-1=3;

【點睛】本題考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識；求解的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、相似

三角形的性質(zhì)，從而完成求解.

94

【變式訓(xùn)練3】.如圖，在R。48c中，I3ACB=90。，CZM48于點已知AD==不，那么BC=.

【分析】證明ELBC。甌BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可.

【詳解】解：0EACB=90°,CDSiAB,

^BiACB=SCDB=90°,

00B=0B,

EOBCD0EIBAC,

BC

BDBC4

0一二一，即5=49,

BCBA—+—

BC55

八||,

EBC>0

故答案為：當(dāng)

【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識點并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

類型三、，，母子，，模型（變形）

例.如圖，點尸是/力BC的邊A8上的一點，若添加一個條件，使與ACBP相似，則下列所添加的條件

錯誤的是（）

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC.CPAB.BC

【答案】D

【分析】在與ACB尸中，已知有一對公共角團B,只需再添加一組對應(yīng)角相等，或夾已知等角的兩組對

應(yīng)邊成比例，即可判斷正誤.

【詳解】A.己知回B=?B,若N3PC=NACB,則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；

B.已知EIB=I3B,若NA=N3CP,則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；

C.已知回B=^B,若AB:BC=BC:PB,則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；

D.若AC:CP=M:3C,但夾的角不是公共等角回B,則不能證明兩三角形相似，錯誤，符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】.如圖1，在四邊形ABDE中，ZABC=/BDE,點C在邊BD上,且AC〃DE,AB//CE,

點廠在邊AC上，且AF=CE,連接班;小，。尸交CE于點G.

圖3

(1)求證：BF=DF；

⑵如圖2,若ZACE=NCDF,求證：CECF=BFDG；

(3)如圖3,若延長BF恰好經(jīng)過點E,求籌的值.

【答案】①見解析

(2)見解析

⑶

2

【分析】(1)證明△鉆尸父△?!￡1,得出5尸=鉆，證明四邊形AFDE為平行四邊形，得出AE=Db，則可得

出結(jié)論；(2)證明△FCGs△月℃,得出-,證明△FCGs^DEG,得=，則得出結(jié)論；(3)

DFCFDGDE

4D4F

證明△ABbsac即，得出—=—,設(shè)AB=x,Ab=CE=m,解方程求出x,則可得出答案.

CECF

【詳解】(1)AC\\DE,AB\\CE

ZBDE=ZACB,ZABC=ZDCE,ABAC=NACE

?/ZABC=ZBDE

:.ZABC=ZBDE=ZACB=ZDCE

:.AB=AC,CE=DE

在廠和中，

AF=CE

^AABAC=ZACE

AB=AC

.^ABF^^CAE(SAS)

:.BF=AE

?.?CE=DE,AF=CE

AF=DE

???AF=DE,AC\\DE

，四邊形ATO石為平行四邊形

:.AE=DF

:.BF=DF

fZCFG=ZCFD

(2)?.y

[ZACE=ZCDF

:AFCG^FDC

CFGF

'DF~CF

又?：AC“DE

:.AFCG^ADEG

GFCFGFDG

---=---,即nn---=----

DGDECFDE

.CFDG

DE'

又?.,DE=CE,DF=BF

CFDG

---=----,即anCE,CF=BF,DG

BFCE

[ZABC=NDCE

(3)?.Y

[ZACB=ZEDC

:AABCsAECD

.BCAB

?.而―定

???ABIICE,

.△ABFSACEF

.ABAF

,^CE~^F

:.ABCF=AFCE.

設(shè)AB=x,AF=CE=m,則有x(x-m)=m2

解得x=1+"m(負(fù)值舍去)

2

.BCAB1+召

''CD~~CE~2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，利用相似

三角形的判定和性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.

4

【變式訓(xùn)練2].如圖1,ZC=90,BC=6,tanB=j,點M從點8出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點C運

動，點N同時從點C出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點A運動，當(dāng)一點到達終點時，另一點也停止運動.

圖1

⑴求的長.

⑵當(dāng)以點M、C、N為頂點的三角形與AABC相似時，求t的值.

⑶如圖2,將本題改為點M從點B出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在班上向點A運動，點N同時從點A出

發(fā)向點C運動，其速度是每秒2個單位長度，其它條件不變，求當(dāng)f為何值時，附為等腰三角形.

【答案】⑴10

121Q

(2)f=W或f=時，以點M、C、N為頂點的三角形與AMC相似

⑶，=2或"當(dāng)或f=當(dāng)時，為等腰三角形

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)解得即可；

(2)分①當(dāng)AMQVS△皮”時和②當(dāng)AMQVSAACB時，兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)解答即可；

⑶分①當(dāng)=時，②當(dāng)=時，③當(dāng)MN=AN時，三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)得出比

例解答即可.

4

【詳解】(1)vZC=90°,BC=6,tanB=-

.\AC=8

AB=VBC2+AC2=V62+82=10

(2)解：解：①當(dāng)△MCNs^OL時,

MCCN

,BC"G4?

即曰0

68

解得：，=?12，

②當(dāng)△MCNs^ACB時,

MC_CN

?AC-BC?

即?二

86

1Q

解得：

綜上所述，f=M或f=n時，以點M、c、N為頂點的三角形與AABC相似,

(3)解：①如圖3,當(dāng)AM=A7V時，10-3?=2?,

圖3

解得：t=2,

②如圖4,當(dāng)=時，過點M作MDLAC于￡>,

圖4

則回ADN=90°,AM=MN=10-3t,AD=-AN=t,

2

ZACB=90°,

:.MD//BC,

..^AMD^^ABC,

AMAD

~AB~~AC

10—3%t

即

10-8

40

解得：

③如圖5,當(dāng)MN=AN時，過點N作NDLAB于。,

圖5

則NADN=NACB=90。，AD=DM=AM=1(10-3f),

?.?ZA=ZA,

“ADNSAACB,

ADAN

*AC-

即1（03f）_2t,

8-io

解得：f=。,

綜上所述，t=2或f=￥或/時，為等腰三角形

【點睛】本題考查考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，已知正切求邊長，解題的關(guān)鍵是

掌握輔助線的作法，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想的應(yīng)用.

【變式訓(xùn)練3】.如圖，直線48經(jīng)過回。上的點C,并且。4=。2,CA=CB,直線02交回。于點￡、D,連

接EC、CD.

Cl）試判斷直線AB與回。的位置關(guān)系，并加以證明;

（2）求證：BC2=BDBE;

（3）若tanE=2，團。的半徑為3,求0A的長.

2

【答案】（1）相切，見解析；（2）見解析；（3）5.

【分析】（1）連接0C,由等腰三角形"三線合一"性質(zhì)證明OCBAB,據(jù)此解題；

（2）連接0C,90。圓周角所對的弦是直徑，證明DE為回。的直徑，再證明SBCL幽BEC,最后根據(jù)相似三

角形的對應(yīng)邊成比例解題；

CD1

（3）根據(jù)正切定義得到*=彳，解得。C=OE=3,再由aBCDmBEC,設(shè)BC=x,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成

EC2

比例，及勾股定理得到9+N=（2x-3）2,解此一元二次方程，驗根即可解題.

【詳解】解：（1）A3與回。相切，連接OC,

回。4=03,CA=CB,

團OCWAB,

團點C在團。上，

她3與團O相切;

（2）連接OC,

團OCEA3,

團團008=90°即回1+回3=90°,

又團DE為回。的直徑，

^ECD=90°BP回2+回3=90°,

001=02,

回。6二OC,

團團石二團2,

團團1二團E,

團團3二團3,

團團團團8EC,

BCBD

團-------，

BEBC

⑦BC2=BD?BE；

(3)EtanZE=-,回EC￡)=90°,

2

CD1

0---二—

EC2

甌。的半徑為3,

^\OC=OE=3f

團回3cD回團BEC,

BCCD、兒”

0---=----，設(shè)BC=x，

BEEC

x1

0------=一,

05+32

團03=2x3

團團005=90°,

0OC2+BC2=OB2,

團9+N=(2x-3)2,

0X7=0(舍去)，X2=4,

團04=03=5.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，切線的證明方法有兩種：1、有

點連接此點與圓心，證明夾角為直角；2、無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，利用方程思想解題是關(guān)

鍵.

類型四、共邊模型

例.如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系,則稱這兩個相似三角形互為母子三角形.

(1)如果ADEF與VABC互為母子三角形，則二的值可能為()

1f1

A.2B.-C.2或一

22

(2)已知：如圖1,VABC中，AD是—54C的角平分線，AB=2AD,ZADE=NB.

求證：△ABD與VADE互為母子三角形.

(3)如圖2,VABC中，AD是中線，過射線C4上點石作EG//BC,交射線D4于點G,連結(jié)BE,射線BE

與射線交于點/，若AAGE與△ADC互為母子三角形.求笑的值.

GF

4G1

【答案】(1)C；(2)見解析；(3)大7==彳或3.

GF3

【分析】(1)根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似得出△ABDSAADE,再根據(jù)AB=2AD從而得出結(jié)論；

⑶根據(jù)題意畫出圖形，分當(dāng)G,E分別在線段A￡>,AC上時和當(dāng)G,E分別在射線上時兩種情況加以

討論；

【詳解】(1)回ADEF與VA2C互為母子三角形，

DE1?

回=—或2

AB2

故選：C

(2)是ZBAC的角平分線，

ABAD=ACAD,

-rZADE=NB,

:.AABD^AADE.

X-.-AB=2AD,

.?.△ABD與VADE互為母子三角形.

(3)如圖，當(dāng)G,E分別在線段AD,AC上時，

AAGE與AADC互為母子三角形,

CDADc

,,—=2,

GEAG

:.AG=DG,

?.?AD是中線，

:.BD=CD,

又?:GEIIBC,

:./\GEF^/XDBF.

DFDBCD

,~GF~~GE~~GE~'

:.DG=3GF,

上3.

GF

如圖，當(dāng)G,E分別在射線D4,C4上時,

???AAGE與AADC互為母子三角形，

CDAD

..——2,

GEAG

AG=-AD=-DG,

23

?.?AD是中線，

/.BD=CD,

又???GE/ABC,

:.AGEFsADBF.

DFDBCD。

??===2,

GFGEGE

:.DG=GF,

AG1

*_______—___

"GF~3'

A(Z1

綜上所述，籌=：或3

GF3

BDC

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能

力.準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要

考慮全面，進行分類討論，避免漏解.

【變式訓(xùn)練11.如圖，PA,尸8為。。的兩條切線，A,8為切點，8。的延長線交。。于點。,交叢的

延長線于點C,連接。P,AD.

(1)求證：AD//OP；

(2)若AP=2AC,求tan/OPB的值.

【答案】(1)見解析；(2)tan/OP8=@.

5

【分析】(1)如圖，作輔助線，證明EIAPO=EIBPO得OP_LM,再由3D為。。的直徑可得ABI3AD,從而可

得結(jié)論；

(2)設(shè)AC=。，則AP=2a,由勾股定理得Q4=后二7，再證明尸可求出.=如從而通

過解直角三角形可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接A3交。尸于點E,

BPA,尸3為。。的兩條切線，

^AP=BP,NBPO=ZAPO,

EOP±AB.

回3。為。。的直徑，

fflZZMB=90°=ZOEA,

OPIIAD.

(2)BAP=2AC,

回設(shè)AC=a,貝UAP=2a.

OPHAD,

CDAC1

團==—.

DOAP2

不妨設(shè)C￡>=1,則OD=2CZ)=2.在放人。。中，OA^ylo^-CA2^^9-a2-

SAP,8P為的切線,

0Z<MC=ZOBP=90°.

回△CZOs^CBP,

OABP

回---=----

ACBC

回的―/=生,解得°=布.

a5

肌an“叫型=2=3=互

BP2a2V55

【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理與

判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】.如圖，是。。的直徑，AD,3D是。。的弦，BC是。。的切線，切點為8,OC//AD,

BA、CD的延長線相交于點E.

（1）求證：CD是。。的切線;

（2）若。。的半徑為4,ED=3AE,求AE的長.

【答案】（1）見解析；（2）AE=1.

【分析】（1）連接OD,由題意易證回CDO釀CBO,然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求證;

（2）由題意易得E1EDAEBEBD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及￡D=3AE可求解.

【詳解】（1）證明：連接OD,如圖所示:

,/AD0OC,

??.團DAO二團COB,回ADO二回COD,

又??,OA=OD,

團DAO二回ADO,

廠.團COD二回COB,

VOD=OB,OC=OC,

團CDO團團CBO,

團CDO二團CBO,

???BC是。。的切線，

???EICBO=EICDO=90°,

?.?點D在。。上，

CD是。。的切線；

(2)由(1)圖可得：

0ADO+EEDA=9O0,0ODB=0DBO,

1?,AB是O。的直徑，

.,?EIADB=90o,gP0ADO+0ODB=9O",

.,.0EDA=0ODB=0DBO,

又既=恥，

?,.0EDA00EBD,

ED?=AE-EB，

???OO的半徑為4,ED=3AE,

，AB=8,EB=AE+8,

9AE2=AE\AE+8),

解得：AE-1.

【點睛】本題主要考查圓的切線定理與判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的切線定理及判

定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3].如圖，VABC中，AB=AC,A6，AC,點。、E分別是BC、AC的中點，與點F.

(1)求證：AE2=FEBE;

(2)求NABC的大?。?/p>

(3)若￡＞尸=1,求AIB尸的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)135°；(3)2.

【分析】(1)先根據(jù)相似三角形的判定可得AAEF~3K4,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得/ACB=45。，再根據(jù)相似三角形的判定可得ACEF?必EC,

然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得NCFE=NBCE=45。,最后根據(jù)角的和差即可得；

(3)設(shè)AB=AC=2a,從而可得AB=2。，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理可得

FA=^a^BF=^aa,從而可得整=翌，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得翌=罷，從而可

55BDBEBEEC

求出a的值，最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得.

【詳解】(1)-.-AF±BE,AB±AC,

ZAFE=ZBAE=90°,

ZAFE=NBAE

在尸和△3EA中,

ZAEF=ZBEA

.,./^AEF?ABE4.,

.AEFE

.定一法’

;.AE1=FEBE\

(2)\AB=AC,AB±AC,

「.△ABC是等腰直角三角形,

:.ZABC=ZACB=45°,

AEFE

由（1）可知,

^E~~AE

.AEBE

*FE-AE?

,??點E是AC的中點，

/.AE=CE,

CEBE

'~FE~~CE'

CEBE

在△CEF和V5￡C中，^FE~~CE

ZCEF=/BEC

:.&EF?山EC,

:.ZCFE=ZBCE=45°f

又,.A尸_L3石，

:.ZAFE=90°,

NAFC=Z4FE+NCEE=90。+45。=135。；

(3)AB=AC=2a(a>0),

?.,△ABC是等腰直角三角形，

/.BC=y[2AB=，

???點D、E分別是BC、AC的中點，

/.AE=CE=a,BD=CD=\f2a,

在RSABE中，BE7AB'AE?=島，

BC20a29

BEy[5a5

由(1)知，AAEF?ABEA,

AEFAaFA

/.---=---,即Bn/-—――,

BEABY5a2a

解得FA=a，

25'

在咫AABP中，BFUJAB^-FA2=苧。,

475

.BF亍〃_2M_BC,

BDy（2a5BE

BFBC

在V9）方和VB石。中，VBD~^E,

/DBF=ZEBC

."./sBDF~#EC,

BDDF叵aDF

：.——=——，即nn一^=——，

BEEC小aa

解得DF=,

5

又TDF=1,

.Vio-

5

解得a=如，

2

，/氈X巫迪x包=2夜，

5252

則AAB尸的面積為忘*20=2.

22

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練

掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

”壓軸能力測評”

1.如圖，RQABC中，ZC=90°,AB=15,BC=9,點P,。分別在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4K0<x<3）.把△PC。繞點p旋轉(zhuǎn)，得到點。落在線段尸。上.若點。在一瓦1C的平分線

上，則CP的長為（）

A.5B.5.5C.6D.6.5

【答案】C

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)計算可知§=[=空，結(jié)合定理兩邊成比例且夾角相等的

BC3AC

三角形相似證明△PQCHSBAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出回CP2=SB,由此可得出尸Q0A&連接A。，根

據(jù)PQ//AB和點。在SBAC的平分線上可證0ADQ=aDA。，由此可得AQ=￡＞。，分別表示A。和。。由此可

得方程12-4x=2x,解出無，即可求出CP.

【詳解】解：團在R/EL48c中，AB=15,BC=9,

a4C=7AB2-BC2=V152-92=12.

PC3xxQC4xx

團---——=-，-----=—=—,

BC93AC123

PCQC

團---=----.

BCAC

團團。=團。，

mPQC^lBACf

團回C尸。=團3,

團尸Q//A3；

連接AD,

回PQ//A5,

回她。。=回。A3.

回點。在回A4C的平分線上，

^\DAQ=^\DABf

回她?！?團DAQ,

她。=。。.

回尸D=PC=3x,QC=^x

國在Rt^CPQ中，根據(jù)勾股定理PQ=5x.

^\DQ=2x.

朋。=12-4x,

012-4x=2x,解得x=2,

團。尸=3x=6.

故選C.

【點睛】本題考查幾何變換一一旋轉(zhuǎn)綜合題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定,

熟練掌握定理并能靈活運用是解決此題的關(guān)鍵.

2.如圖，正方形ABCD中，回ABC繞點A逆時針轉(zhuǎn)到AAB'C,AB',AC'分別交對角線BD于點E,F,若

AE=4,則的值為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到田BAC和團EAF和回ADB都等于45。，再加上公共角得到國AEF與團DEA

相似，得到對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)果.

【詳解】解：回四邊形ABCD是正方形，

E0BAC=0ADB=45°,

回把EIABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AAB'C',

EHEAF=EIBAC=45°,

[fflEAF=EIADB=45°,

H3AEF=I3DEA,

EBAEFEHDEA,

AEEF

0-----------,

DEAE

SEF-ED=AE2,

0AE=4,

HEF-ED=16,

故選：c.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出相關(guān)的相似三角形是解題

的關(guān)鍵.

3.如圖，菱形ABC。和菱形ECG尸的邊長分別為4拓和20，05=120°,則圖中陰影部分的面積是（）

A.3B.273C.4D.373

【答案】D

【分析】設(shè)AG交CE于點X,通過AGC"?AGBA得出C8=g后，即可得出EH的長，將陰影部分的面積

分為△GEH和△>!￡?/的和，分別求出兩個菱形的高即可.

【詳解】如圖，設(shè)AG交CE于點X,

回菱形ABCD的邊AB^CD,

回AGC"?屐盅4,

SCH：AB=GC：GB,

即C4:46=:6折

解得CH=gG,

42

所以，EH=CE-CH=273——上=—g

33

團團8=120°,

00BCD=0FEC=180°-120°=60°,

團點5到CO的距離為4gx且=6,

2

點尸到CE的距離為2百x無=3,

2

回陰影部分的面積=S&AEH+S4EH

=J_x友x(6+3)=3指

23

故選：D.

【點睛】本題考查菱形與相似三角形的性質(zhì)，將陰影部分的面積拆分成兩部分來解是解題的關(guān)鍵，屬于中

考常考題型.

4.如圖，正方形ABCD的邊長為2,BE平分/DBC交DC于E,尸是BC延長線上一點，且CF=CE,BE

延長線交。尸于G,則BG-EG的值是.

【答案】4-20

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的有關(guān)知識.由等腰三角形的判定與性質(zhì)知BM是等腰三角形

BDF的中垂線.根據(jù)相似三角形ABGVSSGE的對應(yīng)邊成比例、等腰三角形的性質(zhì)列出比例式整=笠,

DGCJE

即GEGB=GU,最后在直角ADCV中利用勾股定理來求GO?的值.

【詳解】＜BC=2,四邊形ABCD是正方形，

BD=2及，

又⑦BE平分NDBC交DF于G,BG±DF,

:.BD=BF,DG=FG,

:.CF=2垃-2,

在ABGF和ADGE中，

ZGBF=ZGDE,ZBGF=ZDGE=90°,

:ABGFSADGE,

BGGF

~DG~~GE

BGDG目2

灰rGGEGB=GD-,

???DC2+FC2=（2DG）2,即22+（2V2-2『=4DG2,

...DG2=4-272,BPGE-GB=4-2近,

故答案為：4-25/2.

5.如圖，VABC中，點。在A3上，/B=2/BCD,若BD=2,BC=5,則線段CD的長為

【答案】V14

【分析】延長CB至UE,使BE=BD,連接DE,可得等腰ABED和等腰江ED,CD=ED,再證明AEDB~AECD,

利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出ED.

【詳解】解：如圖所示，延長至UE,使BE=BD,連接DE,

ME=NEDB

^\ZDBC=2ZBCD,NDBC=