2024-2025學(xué)年北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期末測試綜合練習(xí)題（解析版）

2024-2025學(xué)年北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期末測試綜合練習(xí)題

考試時(shí)間：100分鐘滿分：100分

一、單選題（共10題；共30分）

1.將一正方形分割成"個(gè)（〃>1）小正方形，則在下列數(shù)據(jù)中，〃不可能取的數(shù)是（）

A.4B.5C.9D.16

【答案】B

【詳解】設(shè)大正方形的邊長為。，分割成的小正方形的邊長為4

.??根據(jù)題意可得，/=曲，

是個(gè)平方數(shù)，

〃不可能取的數(shù)是5.

故選：B.

kk（3、

2.如圖，已知P,。分別是反比例函數(shù)丫=」與丁=上，且軸，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為一彳,2,分別

xx\2J

過點(diǎn)尸，。作PMLx軸于點(diǎn)跖軸于點(diǎn)N.若四邊形PMNQ的面積為2,則質(zhì)的值為

（）.

二k\什

MN\O\

A.5B.-5C.1D.-1

【答案】D

【詳解】???點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=占上的點(diǎn)

X

/x2=3,

.??過點(diǎn)P與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為悶=-

2

過點(diǎn)。與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為3-2：=1,

..?反比例函數(shù)在第二象限，

第1頁/共21頁

/?^2=.

故選：D.

3.關(guān)于x的方程/+(/—4)x+左+1=0的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則左值是()

A.-1B.±2C.2D.-2

【答案】D

［詳解］解：VX2+(V-4)X+Z:+1=0

，設(shè)原方程的兩根為石、x2,則%+%=4-/；

由題意，得4—左2=0；

k[=2,k,=—2；

又?；&=(r-4產(chǎn)一4(左+1),

...當(dāng)k=2時(shí)，A=—12<0,原方程無實(shí)根;

當(dāng)左=—2時(shí)，A=4>0,原方程有實(shí)根.

k=—2.

故選D.

4.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子各面分別標(biāo)有數(shù)字L2、3456,擲兩次所得點(diǎn)數(shù)之和為11的概率為

)

111

A.——B.C.—D.

18361215

【答案】A

【詳解】解:畫樹狀圖為:

123

123456123456123456

456

123456123456123456

共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其中擲兩次所得的點(diǎn)數(shù)之和等于11的結(jié)果數(shù)為2,所以擲兩次所得的點(diǎn)數(shù)之

和等于11的概率為工=,

3618

故選：A.

5.下列四個(gè)命題中是真命題的有()

第2頁/共21頁

①對角線相等的平行四邊形是矩形；

②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

③四角相等且兩邊相等的四邊形是正方形；

④對角線和一邊的夾角是45°的菱形是正方形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】解：對角線相等的平行四邊形是矩形，所以①為真命題；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以②為真命題；

四角相等且鄰邊相等的四邊形是正方形，所以③為假命題；

對角線和一邊的夾角是45°的菱形是正方形，所以④為真命題.

故選：C.

k

6.如圖，矩形。43c的面積為36,它的對角線與雙曲線丫=—相交于點(diǎn)且OD：0B=2：3,則發(fā)

x

B.-12C.16D.-16

【答案】D

【詳解】解:過。點(diǎn)作DEL04,DF±OC,垂足為E、F,

X

，S矩形OEDF=I工vl=IM，

點(diǎn)在矩形的對角線。3上,

矩形OEOFs矩形OABC,

第3頁/共21頁

.SOEDF_（。。）2_4

??二一OB-9，

,**S矩形OABC=36,

??S矩形OEDF=16，

???因二16,

..?雙曲線y=x在第二象限,

X

6-16,

故選：D.

7.如圖，點(diǎn)尸是正方形ABCO的對角線上一點(diǎn)，PE工BC于點(diǎn)、E,PPLOC于點(diǎn)尸，連接EF,給

出下列四個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP_LEF；③NPFE=NBAP；?PD=42EC＞其中正確的是

）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【詳解】解：證明：過P作PGLAB于點(diǎn)G,

,/點(diǎn)P是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn),

：.GP=EP,

在△GPB中，/GBP=45°,

第4頁/共21頁

???ZGPB=45°,

：.GB=GP,

同理，得PE=BE,

■:AB=BC=GF,

：.AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

：.AG=PFf

：.AAGP^AFPE,

?：.AP=EF；

ZPFE=ZGAP

:?③NPFE=NBAP,

②延長AP到EF上于一點(diǎn)H,

：./第G=NPFH,

ZAPG=ZFPH,

：.ZPHF=ZPGA=90°,BPAP±EF；

④?：GFI/B3

：.ZDPF=ZDBC,

又ZDPF=ZDBC=45°,

：.ZPDF=ZDPF=45°,

:.PF=EC,

：.在Rt叢DPF中，。產(chǎn)=。/+p產(chǎn)=

：.@DP=42EC,

???其中正確結(jié)論的序號是①②③④.

故選：D.

8.如圖，矩形45CD中，M,N分別是邊A5,8的中點(diǎn)，BP工AN于P,CP的延長線交AO于

Q.下列結(jié)論：①PM=CN：②PMLCQ；③尸Q=AQ；@DQ<2PN.其中結(jié)論正確的有

()

AMB

第5頁/共21頁

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【詳解】連接CM、DM,

?.?矩形A5CD

AB=CD,ZDAB=NCBA=90°

???BP±AN,M,N分別是邊A5,CD的中點(diǎn),

PM=AM=BM=-AB=-CD=CN

22

故①正確；

?e?AM=CN

：.四邊形AMCN是平行四邊形

J.AN//CM

：.BP1CM

,/PM=BM

CM垂直平分尸8

：.BC=PC

：.UCPM^\CBM(SSS)

NCPM=ZCBA=90°

即PM1CQ

故②正確；

PMICQ,NDAB=90°,PM=AM

：.RQQPM=Rf3QAM(HL)

PQ=AQ

故③正確；

取CQ中點(diǎn)E,連接EN

是CD中點(diǎn)

第6頁/共21頁

是△CDQ的中位線

DQ=2EN

?：APEN>90°>NEPN

：.PN>EN

：.PN>^DQ,即DQ<2PN

故④正確；

綜上所述，正確的是①②③④

故選：D.

9.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為4cm,點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上.將該紙片沿MN折疊，使點(diǎn)

D落在邊BC上，落點(diǎn)為E,MN與DE相交于點(diǎn)Q.隨著點(diǎn)M的移動(dòng)，點(diǎn)Q移動(dòng)路線長度的最大值是

()

A.2cmB.4cmC.72cmD.1cm

【答案】A

【詳解】如圖，取AB,CD的中點(diǎn)K,G,連接KG,BD交于點(diǎn)O,由題意知，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線是線段

OG,因?yàn)镈O=OB,所以DG=GC,所以O(shè)G=」BC='x4=2,所以點(diǎn)Q移動(dòng)路線的最大值是2,故選A.

10.如圖，將5個(gè)全等的陰影小正方形擺放得到邊長為1的正方形A3CD,中間小正方形的各邊的中點(diǎn)恰

好為另外4個(gè)小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，小正方形的邊長為佇也(。、8為正整數(shù))，則a+人的值為

b

)

第7頁/共21頁

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【詳解】解：由題意可知，A。=2義佇正+，1*佇正=1

b2b

???(4"2)_(4_。)行=26

：a、b都是正整數(shù)

4—a=0,4a-2=2b

a=4,b=7

a+b=ll

故選B.

二、填空題（共7題；共21分）

11.如圖是反比例函數(shù)y=&,y=$在％軸上方的圖像，平行四邊形。4BC的面積是5,若點(diǎn)A在x

XX

軸上，點(diǎn)B在y="的圖像上，點(diǎn)C在丁=幺的圖像上，則左2-匕的值為.

【詳解】解：如圖所示，連接80,

..?四邊形A5CD是平行四邊形，平行四邊形。4BC的面積是5,點(diǎn)B在y=&的圖像上，點(diǎn)C在y=&

XX

的圖像上，

=

??S口ABCD_2sQBCOk1k2=5

第8頁/共21頁

k2—k[=-5

故答案為：-5.

12.近些年重慶市出臺(tái)的“助農(nóng)計(jì)劃”增加了廣大農(nóng)戶的收益，其中：農(nóng)戶甲2020年純收入為20000元，

經(jīng)“助農(nóng)計(jì)劃”幫扶，到2022年農(nóng)戶甲的純收入增長到39200元，則農(nóng)戶甲這兩年（即2021年、2022年）

純收入的平均增長率為.

【答案】40%

【詳解】設(shè)農(nóng)戶甲這兩年（即2021年、2022年）純收入的平均增長率為工,

由題意得，20000（1+Jr）?=39200

解得x=0.4或％=-2.4（舍去），

即農(nóng)戶甲這兩年（即2021年、2022年）純收入的平均增長率為40%,

故答案為：40%.

13.古箏是一種彈撥弦鳴樂器，又名漢箏、秦箏，是漢民族古老的民族樂器，流行于中國各地.若古箏上

有一根弦AB=90cni,支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)A的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則=cm.（結(jié)果保留根

號）

【答案】（4575-45）

【詳解】解：???點(diǎn)C是線段A3的黃金分割點(diǎn)，且BC>AC,

BC=AB=（4575—45卜m，

故答案為：（456-45）.

14.如圖，在矩形ABC。中，E,F分別為A。，上一點(diǎn)，且EP=EC,EF1EC,若DE=2,矩形

ABCD的周長為24,則矩形ABCD的面積為.

【答案】35

【詳解】解：；四邊形是矩形,

：.AB=CDfAD二BC,ZA=ZD=90°,

?：EF_LEC,

：.ZFEC=90°,

第9頁/共21頁

，ZAEF+ZDEC=90°,

■：ZDCE+ZDEC=90°.

：.ZAEF=ZDCE,

在△AEP和△OCE中，

Z=ZD

<ZAEF=NDCE,

EF=CE

：./\AEF^/\DCE(AAS).

：.AE=CD,AF=DE=2,

：.AD=AE+DE=AE+2,

?.?矩形ABC。的周長為24,

.\2(AE+ED+CD)=24,

：.2(2AE+2)=24,

解得：CD=AE=5,

：.AD=1,

，矩形ABCD的面積=AZ)XCD=7X5=35,

故答案為：35.

15.如圖，菱形A3CD的對角線AC、5。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作A3于點(diǎn)H,連接OH,若

0A=6,OH=3,則菱形A3CD的面積為.

【答案】36

【詳解】解：：四邊形A3CD是菱形，

OA=OC=6,OB=OD,AC1BD,

AC=12,

?/DHLAB,

NDHB=90°,

：.OH是△8。4斜邊上的中線，

第10頁/共21頁

BD=20H=6,

二菱形A5CD的面積為：-xl2x6=36,

2

故答案為：36.

16.如圖，長方形紙片A3CD,點(diǎn)E在邊A3上，點(diǎn)R、G在邊CD上，連接ER、EG.將NBEG對折,

點(diǎn)3落在直線EG上的點(diǎn)"處，得折痕EM；將/A跖對折，點(diǎn)A落在直線EP上的點(diǎn)A處，得折痕

EN.ZFEG=20°,則NMEN=

D

【答案】100°或80°.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)R的右側(cè),

?:EN平分NAEF,EM平分NBEG,

ZNEF=-ZAEF,ZMEG=-ZBEG,

22

ZNEF+NMEG=1ZAEF+1NBEG=1(NAEF+NBEG)=1(NAEB-NFEG),

?/NAEB=180°,ZFEG=20°,

ZNEF+ZMEG=-(180°-20°)=80°,

2

ZMEN=ZNEF+ZFEG+ZMEG=80°+20°=100°；

,；EN平分/AEF,EM平分NBEG,

ZNEF=-ZAEF,ZMEG=-ZBEG,

22

第11頁/共21頁

NNEF+ZMEG=-ZAEF+-ZBEG=-(ZAEF+NBEG)=-(ZAEB+ZFEG),

2222

?/NAEB=180°,ZFEG=20°,

ZNEF+NMEG=-(180°+20°)=100°,

2

ZMEN=ZNEF+ZMEG-ZFEG=100°-20°=80°,

綜上，/MEN的度數(shù)為100?；?0°,

故答案為：100?；?0°.

17.如圖是一張矩形紙片A3CD,點(diǎn)E在邊5c上，且滿足AB=2BE,把□ARE沿直線AE折疊，使

CF

點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，的延長線與邊CD交于點(diǎn)G.若CG=DG,則-=.

【詳解】如圖，延長EE,AD,二線交于點(diǎn)”，

:矩形紙A5CD,

AB=CD,AD=BC,ZADC=ZHDG=NECG=90°,

ZHDG=ZECG

?：\DG=CG,

NHGD=ZEGC

□CGE-DGH(ASA),

：.EG=GH,CE=DH,

：.EH=2EG,

CE

設(shè)——=k,BE=x,

BE

則CE=DH=kx,AB=CD=2DG=2CG=2x,

；?EH=2EG=2』2+(kx?=2收小，AH=kx+x+kx^(2k+l)x,

?.?矩形紙A3CD,口ABE沿直線AE折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，

第12頁/共21頁

AD^BC,NAEB=ZAEG,

NAEB=NEAH,NAEB=ZAEG,

：.NEAH=ZAEG,

4左2+4=4左2+4左+1，

3

解得比=:，

4

jCE3

故——=一,

BE4

3

故答案為：

4

三、解答題(共7題；共49分)

18.解方程:

(1)X2-2x-l=0

(2)x(2x-5)=4x-10

5c

【答案】(1)國=1+V2,x2=1—V2(2),%=2

【小問1詳解】

解：x2—2x—l=0

9?a—\,b=-2,c=-1

???A=〃—4〃c=(—2『+4=8

-b±yjb2-4ac

x=--------------

2a

「J小龍=1+啦,%=-(-2)-V8=i_^；

2x12x1

第13頁/共21頁

【小問2詳解】

解：x（2x-5）=4x-10

x（2x-5）=2（2x-5）

（2x-5）（x-2）=0

解得：=-|,X2=2

19.一個(gè)等腰三角形的腰長是方程f—8x+15=0的一個(gè)根，其底邊長為8,求該三角形底邊上的高.

【答案】3

【詳解】解：必一8X+15=O，

(x—3)(x—5)=0,

??%—3,%2=5,

若該等腰三角形的腰長為3,此時(shí)三角形的三條邊長分別為3、3、8,不能構(gòu)成三角形，故舍去;

若該等腰三角形的腰長為5,此時(shí)三角形的三條邊長分別為5、5、8,可以構(gòu)成三角形，

如下圖，AB=AC=5,BC=8,作底邊上的高AD,

；?AD=飛AB?-RD?=,52—42=3，

即該三角形底邊上的高為3.

20.某商場以每千克20元的價(jià)格購進(jìn)某種榴蓮，計(jì)劃以每千克40元的價(jià)格銷售.為了讓顧客得到更大的

實(shí)惠，現(xiàn)決定降價(jià)銷售，已知這種榴蓮的銷售量y（kg）與每千克降價(jià)x（元）（0<x<10）之間滿足一

次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.

y/kg

第14頁/共21頁

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

（2）該商場在銷售這種榴蓮中要想獲利1105元，則這種榴蓮每千克應(yīng)降價(jià)多少元?

【答案】(1)y=5x+50(0<x<10)(2)7元

【小問1詳解】

解：設(shè)y關(guān)于尤的函數(shù)解析式為廣質(zhì)+6（際0）,

將（2,60）,（4,70）代入廣日+6得：

2k+b=60k=5

4左+八7。'解得

b=50,

關(guān)于尤的函數(shù)解析式為y=5x+50（0<x<10）；

【小問2詳解】

解:依題意，得（40-X-20）（5x+50）=1105,

整理得尤2_10了+21=0,解得西=3,x2=7.

又：要讓顧客得到更大的實(shí)惠，

x=7,

答：這種榴蓮每千克應(yīng)降價(jià)7元.

21.某校組織學(xué)生觀看“天宮課堂”第二課直播，跟著空間站的翟志剛、王亞平、葉光富三位宇航員學(xué)習(xí)

科學(xué)知識(shí)，他們相互配合，生動(dòng)演示了四個(gè)實(shí)驗(yàn)：（A）微重力環(huán)境下的太空“冰雪”實(shí)驗(yàn)，（2）液橋演示

實(shí)驗(yàn)，（C）水油分離實(shí)驗(yàn)，（。）太空拋物實(shí)驗(yàn).觀看完后，該校對部分學(xué)生對四個(gè)實(shí)驗(yàn)的喜愛情況作了抽

樣調(diào)查，將調(diào)查情況制成了如下的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

圖1圖2

請根據(jù)圖中信息，回答下列問題：

（1）共調(diào)查了名學(xué)生，圖2中A所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為；

（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若從兩名男生、兩名女生中隨機(jī)抽取2人參加學(xué)校組織的“我愛科學(xué)”演講比賽，請用列表或畫樹

狀圖的方法，求抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率.

【答案】（1）50,144°；（2）詳見解析；

第15頁/共21頁

（3）I，詳見解析.

【解析】

【小問1詳解】

共調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：10^20%=50（名），

...圖2中A所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°X—=144°,

50

故答案為：50,144°；

【小問2詳解】

（2）由圖知，。的人數(shù)為：50x10%=5（人），

???C的人數(shù)為：50-20-10-5=15（人）,

圖1

（3）畫樹狀圖如下：

開始

共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的學(xué)生恰好是一男一女的結(jié)果有8種，

...抽到的學(xué)生恰好是一男一女的概率為2=

22.2022年“卡塔爾”世界杯開幕式在海灣球場舉行.32支參賽隊(duì)伍通過抽簽共分成A至//八個(gè)小組，每

一個(gè)組積分排名前二的隊(duì)伍將晉級16強(qiáng).

（1）“卡塔爾”隊(duì)被分在A組是事件：（從“不可能”、“必然”、“隨機(jī)”選擇一個(gè)填

空）

（2）分在C組的有沙特、波蘭、墨西哥和阿根廷四支隊(duì)伍，請通過列表法或樹狀圖法，求“沙特”和

“阿根廷”兩隊(duì)能同時(shí)晉級16強(qiáng)的概率.

【答案】（1）隨機(jī)（2）-

第16頁/共21頁

【解析】

【小問1詳解】

解：“卡塔爾”隊(duì)被分在A組可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件,

故答案為：隨機(jī);

【小問2詳解】

解：畫樹狀圖如下:

第一名

第二名

共有12種情況，“沙特”和“阿根廷”兩隊(duì)能同時(shí)晉級16強(qiáng)的有2種情況,

故“沙特”和“阿根廷”兩隊(duì)能同時(shí)晉級16強(qiáng)的概率為2=工

126

23.若關(guān)于x的函數(shù)V,當(dāng)+l時(shí)，函數(shù)V的最大值為最小值為N,令函數(shù)

M-N

h=------，我們不妨把函數(shù)/i稱之為函數(shù)y的“合體函數(shù)”.

2

（1）①若函數(shù)y=—2024x,當(dāng)f=l時(shí)，則函數(shù)丁的“合體函數(shù)"h=

②若函數(shù)丁=履+5（左/0,左為常數(shù)），求函數(shù)y的“合體函數(shù)”/z的表達(dá)式;

1

（2）若函數(shù)y=—（x22）,求函數(shù)y的“合體函數(shù)”/Z的最大值.

X

【答案】（1）①2024；?h=\k\⑵(

【解析】

【小問1詳解】

解：①當(dāng)，=1時(shí)，

y=-2024x,當(dāng)x=0時(shí)，＞=0,當(dāng)x=2時(shí)y=—4048,

M=0,N=—4048,

“=0-(-4048)=2024,

2

故答案為：2024.

第17頁/共21頁

②當(dāng)左>0時(shí)，函數(shù)丁=履+5在f—lWxWf+l的最大值"=左(7+1)+5,最小值N=M，-l)+5

.M—N左(7+1)+5—左Q—1)—5

??h———K

22

當(dāng)左<0時(shí)，M=k(f-l)+5,N=k(f+l)+5

.M—N左(/—1)+5—左(/+l)-5

綜上所述，h=\k\

【小問2詳解】

'：t-l<x<t+l,x>2

；?分情況討論,

①當(dāng)/一1之2即時(shí)，0<7—l〈xV/+l,

???函數(shù)y=Jx22)的最大值為〃=?，最小值N==

1____1

M-N=7—1/+1=1,t>3

~2—-2~t2-l

1

...當(dāng)/=3時(shí),-1最小，〃最大，則/?的最大值為f—

32-18

②當(dāng)/—1<2</+1,即lWf<3,則2<x</+l,

二函數(shù)y=：(x22)的最大值為〃=g，最小值N=占

,?1<r<3,

：.2<t+l<4

???最小值N>—

4

J.

2228

即力<L

8

③當(dāng)7+1V2時(shí)，

'：t-l<x<t+l

x>2

???此情形不存在，

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綜上所述，/Z的最大值為:

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt^ABC,ZA=90°,AB=AC,A(—8,0)、C(—9,3),點(diǎn)8、C

(2)將以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右平移/秒，若存在某時(shí)刻使在第一象限內(nèi)點(diǎn)8、(

兩點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)3'、C'正好落在某反比例函數(shù)丁