2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率單元質(zhì)量評(píng)估2課時(shí)作業(yè)含解析新人教B版選修2-3

其次章單元質(zhì)量評(píng)估(二)eq\o(\s\up7(時(shí)間：120分鐘總分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝8.9，則y的值為(B)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8解析：∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.2．若X的分布列為X01P0.5a則D(X)等于(B)A．0.8B．0.25C．0.4D．0.2解析：由題意知0.5＋a＝1，E(X)＝0×0.5＋a＝a＝0.5，所以D(X)＝0.25.3．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車準(zhǔn)時(shí)到站的概率為eq\f(3,5)，則他在3天乘車中，此班次公共汽車至少有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為(C)A.eq\f(36,125)B.eq\f(54,125)C.eq\f(81,125)D.eq\f(27,125)解析：設(shè)此班次公共汽車準(zhǔn)時(shí)到站的天數(shù)為隨機(jī)變量X，則此班次公共汽車至少有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(81,125).4．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且P(X<c)＝P(X>c)，則c的值為(C)A．0B．1C．μD.eq\f(μ,2)解析：因?yàn)镻(X<c)＝P(X>c)，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知μ＝c.5．將三顆骰子各擲一次，記事務(wù)A＝“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B＝“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)，P(B|A)分別是(A)A.eq\f(60,91)，eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)，eq\f(60,91)C.eq\f(5,18)，eq\f(60,91) D.eq\f(91,216)，eq\f(1,2)解析：由題意得事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為6×5×4＝120，事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為63－53＝91，在B發(fā)生的條件下A發(fā)生包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60，在A發(fā)生的條件下B發(fā)生包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60，所以P(A|B)＝eq\f(60,91)，P(B|A)＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2).故正確答案為A.6．箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球．從箱中一次摸出兩個(gè)球，登記號(hào)碼后放回，假如兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)．現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)，恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是(B)A.eq\f(16,625)B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625)D.eq\f(4,625)解析：若摸出的兩球中含有4，必獲獎(jiǎng)，有5種情形；若摸出的兩球是2,6，也能獲獎(jiǎng)．故獲獎(jiǎng)的情形共6種，獲獎(jiǎng)的概率為eq\f(6,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5).現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)，恰有3人獲獎(jiǎng)的概率是Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625).7．已知X的分布列為X123Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，則a為(C)A．－1B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,4)解析：E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(2,3)＋3×eq\f(1,6)＝2，由Y＝aX＋3，得E(Y)＝aE(X)＋3.所以eq\f(7,3)＝2a＋3，解得a＝－eq\f(1,3).8．已知變量x聽從正態(tài)分布N(4，σ2)，且P(x>2)＝0.6，則P(x>6)＝(A)A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1解析：因?yàn)镻(x>2)＝0.6，所以P(x<2)＝1－0.6＝0.4.因?yàn)镹(4，σ2)，所以此正態(tài)曲線關(guān)于x＝4對(duì)稱，所以P(x>6)＝P(x<2)＝0.4.故選A.9．設(shè)由“0”，“1”組成的三位數(shù)組中，若用A表示“其次位數(shù)字為‘0’的事務(wù)”，用B表示“第一位數(shù)字為‘0’的事務(wù)”，則P(A|B)等于(C)A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)解析：因?yàn)镻(B)＝eq\f(1×2×2,2×2×2)＝eq\f(1,2)，P(A∩B)＝eq\f(1×1×2,2×2×2)＝eq\f(1,4)，所以P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f(1,2).10．把10個(gè)骰子全部投出，設(shè)出現(xiàn)6點(diǎn)的骰子的個(gè)數(shù)為X，則P(X≤2)＝(D)A．Ceq\o\al(2,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))8B．Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))10C．Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))9＋Ceq\o\al(2,10)×eq\f(1,6)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))8D．以上都不對(duì)解析：P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))10＋Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))9＋Ceq\o\al(2,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))8.11．已知隨機(jī)變量X～B(6,0.4)，則當(dāng)η＝－2X＋1時(shí)，D(η)＝(C)A．－1.88B．－2.88C．5.76D．6.76解析：由已知D(X)＝6×0.4×0.6＝1.44，則D(η)＝4D(X)＝4×1.44＝5.76.12．一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，假如生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利(B)A．39元 B．37元C．20元 D.eq\f(100,3)元解析：ξ的分布列為ξ5030－20P0.60.30.1∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37元，故選B.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)13．加工某一零件需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為eq\f(3,70).解析：加工出來的零件的合格品率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，所以次品率為1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).14．已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(－3，－1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(3,5)內(nèi)的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為1.解析：區(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于x＝1對(duì)稱(－1的對(duì)稱點(diǎn)是3，－3的對(duì)稱點(diǎn)是5)，所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望就是1.15．假如一個(gè)隨機(jī)變量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15，\f(1,2)))，則使得P(ξ＝k)取得最大值的k的值為7,8.解析：P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,15)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))15，則只需Ceq\o\al(k,15)最大即可，此時(shí)k＝7,8.16．某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命(單位：小時(shí))均聽從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為eq\f(3,8).解析：設(shè)元件1,2,3的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的事務(wù)分別記為A，B，C，明顯P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，所以該部件的運(yùn)用壽命超過1000的事務(wù)為(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋AB)C.所以該部件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).三、解答題(寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲種商品的概率為0.5，購(gòu)買乙種商品的概率為0.6，且購(gòu)買甲種商品與購(gòu)買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買商品也是相互獨(dú)立的．(1)求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；(2)記ξ表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求ξ的分布列及期望．解：(1)由題可得，至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率為p＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3，p(ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，p(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(1－0.8)20.8＝0.096，p(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(1－0.8)10.82＝0.384，p(ξ＝3)＝0.83＝0.512.故ξ的分布列為ξ0123p0.0080.0960.3840.512ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝3×0.8＝2.4.18．(12分)某同學(xué)參與3門課程的考試．假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成果的概率為eq\f(4,5)，其次、第三門課程取得優(yōu)秀成果的概率分別為p，q(p>q)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成果相互獨(dú)立．記ξ為該生取得優(yōu)秀成果的課程數(shù)，其分布列為ξ0123Peq\f(6,125)abeq\f(24,125)(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成果的概率；(2)求p，q的值；(3)求數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：記事務(wù)Ai表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成果”，i＝1,2,3.由題意知P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事務(wù)“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成果”與事務(wù)“ξ＝0”是對(duì)立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成果的概率是1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(6,125)＝eq\f(119,125).(2)由題意知P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,5)(1－p)(1－q)＝eq\f(6,125)，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)pq＝eq\f(24,125).整理得pq＝eq\f(6,25)，p＋q＝1.由p>q，可得p＝eq\f(3,5)，q＝eq\f(2,5).(3)由題意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(4,5)(1－p)(1－q)＋eq\f(1,5)p(1－q)＋eq\f(1,5)(1－p)q＝eq\f(37,125)，b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(58,125).所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝eq\f(9,5).19．(12分)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿意a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)．)解：(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為P＝eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能值為1,2,3，且P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，故X的分布列為X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)從而E(X)＝1×eq\f(17,42)＋2×eq\f(43,84)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(47,28).20．(12分)一家面包房依據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．(1)求在將來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在將來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：(1)設(shè)A1表示事務(wù)“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事務(wù)“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事務(wù)“在將來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·0.63＝0.216.分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.21．(12分)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品勝利的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)支配甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)勝利的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)勝利，預(yù)料企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)勝利，預(yù)料企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元．求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品勝利}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品勝利}．由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(E))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(F))＝eq\f(2,5)，且事務(wù)E與F，E與eq\x\to(F)，eq\x\to(E)與F，eq\x\to(E)與eq\x\to(F)都相互獨(dú)立．(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)勝利}，則eq\x\to(H)＝eq\x\to(E)eq\x\to(F)，于是P(eq\x\to(H))＝P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\x\to(H))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元)，則X的可能取值為0,100,120,220.因P(X＝0)＝P(eq\x\to(E)eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\x\to(E)F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，P(X＝120)＝P(Eeq\x\to(F))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)，故所求的分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.22．(12分)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需運(yùn)用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需運(yùn)用設(shè)備相互獨(dú)立．(1)求同一工作日至少3人需運(yùn)用設(shè)備的概率；(2)X表示同一工作日需運(yùn)用設(shè)備的