2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價四十八互斥事件的概率含解析北師大版必修1

PAGE8-課時素養(yǎng)評價四十八互斥事務(wù)的概率(15分鐘35分)1.某射手的一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.20,0.30,0.10.則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為 ()A.0.40 B.0.30 C.0.60 【解析】選A.不夠8環(huán)的概率為1-0.20-0.30-0.10=0.40.2.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為40%,甲不輸?shù)母怕适?0%,則甲、乙兩人下和棋的概率是 ()A.60% B.30% C.10% D.50%【解析】選D.“甲獲勝”與“甲、乙下成和棋”是互斥事務(wù),“甲不輸”即“甲獲勝或甲、乙下成和棋”,故P(甲不輸)=P(甲勝)+P(甲、乙和棋),所以P(甲、乙和棋)=P(甲不輸)-P(甲勝)=90%-40%=50%.3.甲、乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參與,若每人必需參與并且僅能參與一個學(xué)習(xí)小組,則兩人參與同一個小組的概率為 ()A.13 B.14 C.15【解析】選A.因為甲、乙兩人參與學(xué)習(xí)小組的全部事務(wù)有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9個,其中兩人參與同一個小組的事務(wù)有(A,A),(B,B),(C,C),共3個,所以兩人參與同一個小組的概率為39=14.在正六邊形的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個頂點(diǎn),則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為 ()A.15 B.25 C.16【解析】選B.如圖,在正六邊形ABCDEF的6個頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個頂點(diǎn),共有15種選法,其中構(gòu)成的四邊形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6種狀況,故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P=615=25.盒中裝有形態(tài)、大小完全相同的5個球,其中紅色球3個,黃色球2個.若從中隨機(jī)取出2個球,則所取出的2個球顏色不同的概率為.

【解析】設(shè)3個紅色球為A1,A2,A3,2個黃色球為B1,B2,從5個球中,隨機(jī)取出2個球的事務(wù)有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2共10種.其中2個球的顏色不同的有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6種,所以所求概率為6答案:3【補(bǔ)償訓(xùn)練】一個盒子里裝有標(biāo)號為1,2,3,4的4張卡片,隨機(jī)地抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為 ()A.14B.13C.1【解析】選D.從盒中裝有數(shù)字1,2,3,4的4張卡片中隨機(jī)抽取2張,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種,取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的取法有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4種,故取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為46=26.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場競賽,求田忌獲勝的概率.【解析】分別用A,B,C表示齊王的上、中、下等馬,用a,b,c表示田忌的上、中、下等馬,現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場競賽有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc共9場競賽,其中田忌獲勝的有Ba,Ca,Cb共3場競賽,所以田忌獲勝的概率為13(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.從分別寫有A,B,C,D,E的5張卡片中任取2張,這2張卡片上的字母按字母依次恰好是相鄰的概率為 ()A.15 B.25 C.310【解析】選B.試驗的樣本空間Ω={AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE},共有10個樣本點(diǎn),其中事務(wù)“這2張卡片上的字母按字母依次恰好是相鄰的”包含4個樣本點(diǎn),故所求的概率為410=22.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種,則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率為 ()A.310 B.25 C.12【解析】選C.試驗的樣本空間Ω={金木,金水,金火,金土,木水,木火,木土,水火,水土,火土},共10個樣本點(diǎn),事務(wù)“抽取的兩種物質(zhì)不相克”包含5個樣本點(diǎn),故其概率為510=13.甲、乙兩人玩猜數(shù)字嬉戲,先由甲心中想一個數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若a=b或a=b-1,就稱甲、乙“心有靈犀”,現(xiàn)在隨意找兩人玩這個嬉戲,則他們“心有靈犀”的概率為 ()A.736 B.14 C.1136【解析】選C.由于甲、乙各記一個數(shù),則樣本點(diǎn)總數(shù)為6×6=36個,而滿意a=b或a=b-1的共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)11個.所以概率P=11364.(2024·全國卷Ⅱ)生物試驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標(biāo),若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只,則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為()A.23 B.35 C.25【解析】選B.從5只兔子中隨機(jī)取出3只,總的樣本點(diǎn)有10種;又因為只有3只測量過某項指標(biāo),故恰有2只測量過該指標(biāo)的種數(shù)為6,則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為610,即3二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表:血型ABABO該血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同種血型的人可以輸血,O型血可以給任何一種血型的人輸血,任何血型的人都可以給AB血型的人輸血,其他不同血型的人不能相互輸血,下列結(jié)論正確的是 ()A.任找一個人,其血可以輸給B型血的人的概率是0.64B.任找一個人,B型血的人能為其輸血的概率是0.29C.任找一個人,其血可以輸給O型血的人的概率為1D.任找一個人,其血可以輸給AB型血的人的概率為1【解析】選AD.任找一個人,其血型為A、B、AB、O型血的事務(wù)分別記為A′、B′、C′、D′,它們兩兩互斥.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.因為B,O型血可以輸給B型血的人,所以“可以輸給B型血的人”為事務(wù)B′∪D′,依據(jù)概率的加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64,故A正確;B型血的人能為B型、AB型的人輸血,其概率為0.29+0.08=0.37,B錯誤;由O型血只能接受O型血的人輸血知,C錯誤;由任何人的血都可以輸給AB型血的人,知D正確.6.事務(wù)A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為25,且P(A)=2P(B),則A.P(A)=35 B.P(B)=C.P(A)=45 D.P(B)=3【解析】選AB.由題得P(A)+P(B)=1-25=3因為P(A)=2P(B),所以P(A)=25,P(B)=1所以P(A)=1-P(A)=35,P(B)=1-P(B)=4三、填空題(每小題5分,共10分)7.從集合A={-3,-2,-1,2}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為k,從集合B={-2,1,2}中隨機(jī)選取一個數(shù)記為b,則k>0,b>0的概率為.

【解析】依據(jù)題意可知,總的樣本點(diǎn)(k,b)共有4×3=12個,事務(wù)“k>0,b>0”包含的樣本點(diǎn)有(2,1),(2,2),共2個,依據(jù)古典概型的概率計算公式可知所求概率P=212=答案:18.如圖所示,a,b,c,d,e是處于斷開狀態(tài)的開關(guān),隨意閉合其中的兩個,則電路接通的概率是.

【解析】“隨意閉合其中的兩個開關(guān)”所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)是10,“電路接通”包含6個樣本點(diǎn),所以電路接通的概率P=35答案:3四、解答題(每小題10分,共20分)9.學(xué)校射擊隊的某一選手射擊一次,其命中環(huán)數(shù)的概率如表:命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該選手射擊一次,(1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率;(2)至少命中8環(huán)的概率;(3)命中不足8環(huán)的概率.【解析】記“射擊一次,命中k環(huán)”為事務(wù)Ak(k=7,8,9,10).(1)因為A9與A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.(2)記“至少命中8環(huán)”為事務(wù)B.B=A8∪A9∪A10,又A8,A9,A10兩兩互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.(3)記“命中不足8環(huán)”為事務(wù)C.則事務(wù)C與事務(wù)B是對立事務(wù).所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.10.一個盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.求:(1)“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”的概率;(2)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.【解析】(1)由題意知,試驗的樣本空間Ω={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)},共27個樣本點(diǎn).設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”為事務(wù)A,則事務(wù)A={(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3)},共3個.所以P(A)=327=19.因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”的概率為(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事務(wù)B,則事務(wù)B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3個.所以P(B)=1-P(B)=1-327=8因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為891.假如事務(wù)A與B是互斥事務(wù),且事務(wù)A∪B發(fā)生的概率是0.64,事務(wù)B發(fā)生的概率是事務(wù)A發(fā)生的概率的3倍,則事務(wù)A發(fā)生的概率為.

【解析】設(shè)P(A)=x,P(B)=3x,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64.所以P(A)=x=0.16.答案:0.16【補(bǔ)償訓(xùn)練】從4名男生和2名女生中任選3人參與演講競賽,所選3人中至少有1名女生的概率為45,那么所選3人中都是男生的概率為【解析】設(shè)A={3人中至少有1名女生},B={3人都為男生},則A、B為對立事務(wù),所以P(B)=1-P(A)=15答案:12.已知國家某5A級大型景區(qū)對擁擠等級與每日游客數(shù)量n(單位:百人)的關(guān)系有如下規(guī)定:當(dāng)n∈[0,100)時,擁擠等級為“優(yōu)”;當(dāng)n∈[100,200)時,擁擠等級為“良”;當(dāng)n∈[200,300)時,擁擠等級為“擁擠”;當(dāng)n≥300時,擁擠等級為“嚴(yán)峻擁擠”.該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計數(shù)據(jù):(1)表格是依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的頻率分布表,求出a,b的值,并估計該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).游客數(shù)量(單位:百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]