2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1.2四種命題學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE5-1．1.2四種命題[目標(biāo)]1.了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的概念.2.會(huì)寫(xiě)出一個(gè)命題的其他三種命題，并會(huì)推斷真假．[重點(diǎn)]給出一個(gè)命題，寫(xiě)出它的其余三種命題．[難點(diǎn)]對(duì)一些詞語(yǔ)的否定，如“都是”、“全都”、“有的”等詞語(yǔ)的否定．學(xué)問(wèn)點(diǎn)四種命題的相關(guān)概念[填一填]1．原命題與逆命題：(1)關(guān)系：條件與結(jié)論互換．(2)結(jié)構(gòu)形式：若原命題為“若p，則q”，則逆命題為eq\a\vs4\al(“若q)，eq\a\vs4\al(則p)”．(3)結(jié)論：這兩個(gè)命題叫做互逆命題．2．原命題與否命題：(1)關(guān)系：條件與結(jié)論都要否定．(2)結(jié)構(gòu)形式：若原命題為“若p，則q”，則否命題為“若綈eq\a\vs4\al(p)，則綈eq\a\vs4\al(q)”．(3)結(jié)論：這兩個(gè)命題叫做互否命題．3．原命題與逆否命題：(1)關(guān)系：條件與結(jié)論既要否定，又要互換．(2)結(jié)構(gòu)形式：若原命題為“若p，則q”，則逆否命題為“若綈eq\a\vs4\al(q)，則綈eq\a\vs4\al(p)”．(3)結(jié)論：這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題．[答一答]1．在四種命題中，原命題是固定的嗎？提示：不是．原命題是人為指定的，是相對(duì)于其他三種命題而言的，可以把任何一個(gè)命題看作原命題，進(jìn)而探討它的其他形式．2．如何寫(xiě)出一個(gè)命題的其他三種命題？提示：寫(xiě)一個(gè)命題的逆命題、否命題、逆否命題時(shí)，首先要找出該命題的條件和結(jié)論．逆命題是將原命題的條件和結(jié)論交換位置；否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論都加以否定；逆否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論交換位置，同時(shí)都加以否定．在對(duì)原命題的條件和結(jié)論進(jìn)行否定時(shí)，肯定要留意問(wèn)題的全面性，千萬(wàn)不能遺漏或者重復(fù)，如“x>0”的否定是“x≤0”，而不是“x<0”．3．命題“若x≥0，則2x＋1≥1”的否命題是什么？提示：若x<0，則2x＋1<1.1．對(duì)四種命題概念的相識(shí)(1)原命題與逆命題：①逆命題是將原命題的條件與結(jié)論互換，寫(xiě)原命題的逆命題時(shí)，不要交換命題的前提條件；②原命題也可以看作是它的逆命題的逆命題．(2)原命題與否命題：①寫(xiě)一個(gè)命題的否命題時(shí)，要對(duì)條件和結(jié)論都進(jìn)行否定，避開(kāi)出現(xiàn)不否定條件，而只否定結(jié)論的錯(cuò)誤；②原命題也可以看作是它的否命題的否命題．(3)原命題與逆否命題：將原命題的條件和結(jié)論“換位”得逆命題，“換質(zhì)”(即否定)得否命題，既“換位”又“換質(zhì)”得逆否命題．2．四種命題的相互關(guān)系(1)原命題是相對(duì)于逆命題、否命題、逆否命題而言的，任何一個(gè)給定的命題都可以作為原命題．(2)明確原命題的逆命題、否命題、逆否命題的條件和結(jié)論的位置關(guān)系和否定關(guān)系是解決四種命題的關(guān)鍵．類型一寫(xiě)出一個(gè)命題的其他三種命題【例1】寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題．(1)垂直于同一平面的兩直線平行；(2)若m·n<0，則方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根．【分析】由題目可以獲得以下主要信息：①第一個(gè)命題的條件是垂直于同一平面的兩條直線，結(jié)論是兩直線平行；②其次個(gè)命題的條件和結(jié)論特別清晰．解答本題時(shí)可先分清命題的條件和結(jié)論，寫(xiě)成“若p，則q”形式，再寫(xiě)出逆命題、否命題和逆否命題．【解】(1)逆命題：假如兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一個(gè)平面．否命題：假如兩條直線不垂直于同一平面，那么這兩條直線不平行．逆否命題：假如兩條直線不平行，那么這兩條直線不垂直于同一平面．(2)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則m·n<0.否命題：若m·n≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m·n≥0.1寫(xiě)命題的四種形式時(shí)，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再依據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫(xiě)出所求命題.2另外在寫(xiě)命題時(shí)，為了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)奶砑右恍┰~語(yǔ)，但不能變更條件和結(jié)論.寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題．(1)直角等于90°；(2)若m≤0，n≤0，則m＋n≤0.解：(1)原命題：若一個(gè)角是直角，則它等于90°.逆命題：若一個(gè)角等于90°，則它是直角．否命題：若一個(gè)角不是直角，則它不等于90°.逆否命題：若一個(gè)角不等于90°，則它不是直角．(2)逆命題：若m＋n≤0，則m≤0且n≤0.否命題：若m>0或n>0，則m＋n>0.逆否命題：若m＋n>0，則m>0或n>0.類型二四種命題及其真假推斷【例2】分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷其真假．(1)若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根；(2)若ab＝0，則a＝0；(3)若x2＋y2＝0，則x，y全為零；(4)已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若a＝b，則ac＝bc.【分析】找出命題的條件p和結(jié)論q.依據(jù)四種命題的條件和結(jié)論的關(guān)系寫(xiě)出其余三種命題．【解】(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根，則q<1.假命題．否命題：若q≥1，則方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根，假命題．逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根．則q≥1，真命題．(2)逆命題：若a＝0，則ab＝0，真命題．否命題：若ab≠0，則a≠0，真命題．逆否命題：若a≠0，則ab≠0，假命題．(3)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題．否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，真命題．逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題．(4)逆命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ac＝bc，則a＝b，假命題．否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若a≠b，則ac≠bc，假命題．逆否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ac≠bc，則a≠b，真命題．1對(duì)于不含關(guān)聯(lián)詞的命題，要先把命題寫(xiě)成“若p，則q”的形式，有些命題的條件和結(jié)論含有前提條件，在改寫(xiě)時(shí)，前提條件的位置不能變更，即前提條件不能作為命題的條件.2推斷一個(gè)命題是真命題，可以依據(jù)定義、定理證明，推斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出反例即可.寫(xiě)出下面命題的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷其真假：若a>b，則ac2>bc2.解：原命題：若a>b，則ac2>bc2，是假命題；逆命題：若ac2>bc2，則a>b，是真命題；否命題：若a≤b，則ac2≤bc2，是真命題；逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b，是假命題．類型三素養(yǎng)提升命題中條件與結(jié)論的否定錯(cuò)誤【例3】寫(xiě)出命題“乘積為奇數(shù)的兩個(gè)整數(shù)都不是偶數(shù)”的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷真假．【錯(cuò)解】原命題可寫(xiě)成：若兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù)，則它們都不是偶數(shù)，是真命題．逆命題：若兩個(gè)整數(shù)都不是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù)，是真命題．否命題：若兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)不都是偶數(shù)，是真命題．逆否命題：若兩個(gè)整數(shù)不都是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，是真命題．【錯(cuò)因分析】對(duì)“都不是”的否定，大家可能都會(huì)誤認(rèn)為是“不都是”，這是錯(cuò)誤的，應(yīng)為“至少有一個(gè)是”，而“不都是”是對(duì)“都是”的否定．【正解】原命題可寫(xiě)成：若兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù)，則它們都不是偶數(shù)，是真命題．逆命題：若兩個(gè)整數(shù)都不是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積為奇數(shù)，是真命題．否命題：若兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)，是真命題．逆否命題：若兩個(gè)整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)，則這兩個(gè)整數(shù)的乘積不為奇數(shù)，是真命題．【解后反思】在否定一個(gè)命題的條件或結(jié)論時(shí)，往往會(huì)對(duì)問(wèn)題的否定不全面，尤其是對(duì)含有“全”“都”“都不”等詞語(yǔ)的命題的否定，極易犯此類錯(cuò)誤．寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題．并推斷其真假．(1)若x＝3或x＝7，則(x－3)(x－7)＝0；(2)若a、b都是奇數(shù)，則ab必是奇數(shù)．解：(1)逆命題：若(x－3)(x－7)＝0，則x＝3或x＝7；(真)否命題：若x≠3且x≠7，則(x－3)(x－7)≠0；(真)逆否命題：若(x－3)(x－7)≠0，則x≠3且x≠7.(真)(2)逆命題：若ab是奇數(shù)，則a、b都是奇數(shù)；(真)否命題：若a、b不都是奇數(shù)，則ab不是奇數(shù)；(真)逆否命題：若ab不是奇數(shù)，則a、b不都是奇數(shù)．(真)1．若x>y，則x2>y2的否命題是(C)A．若x≤y，則x2>y2 B．若x>y，則x2<y2C．若x≤y，則x2≤y2 D．若x<y，則x2<y22．命題“若a2＝b2，則|a|＝|b|”的逆命題為(C)A．若a2＝b2，則|a|≠|(zhì)b|B．若a2≠b2，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|＝|b|，則a2＝b2D．若|a|≠|(zhì)b|，則a2≠b2解析：依據(jù)逆命題的定義可知逆命題為：若|a|＝|b|，則a2＝b2.故選C.3．命題“若ab＝0，則a＝0”與命題“若a＝0，則ab＝0”是互逆命題．解析：兩個(gè)命題的條件和結(jié)論交換了，滿意互逆命題的概念．4．命題“若直線a，b不平行，則直線a，b相交”的否命題的逆命題為若