2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)模塊素養(yǎng)評價作業(yè)含解析北師大版必修第二冊

PAGE模塊素養(yǎng)評價(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.點O是平行四邊形ABCD的兩條對角線的交點,則++等于()A. B. C. D.0【解析】選A.++=+=.2.已知i為虛數(shù)單位,a為實數(shù),復(fù)數(shù)z=(a-2i)(1+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為M,則“a=1”是“點M在第四象限”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【解析】選A.因為復(fù)數(shù)z=(a-2i)(1+i)=a+2+(a-2)i,所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點M的坐標是(a+2,a-2).若點M在第四象限,則a+2>0,a-2<0,所以-2<a<2,所以“a=1”是“點M在第四象限”的充分不必要條件.3.函數(shù)f(x)=sinxcosx的最大值是()A.-1B.-QUOTEC.QUOTED.1【解析】選C.因為f(x)=sinxcosx=QUOTEsin2x,由2x=QUOTE+2kπ,k∈Z,得x=QUOTE+kπ,k∈Z,所以當x=kπ+QUOTE,k∈Z時,f(x)max=QUOTE.4.已知圓錐的表面積是底面積的3倍,那么該圓錐的側(cè)面綻開圖扇形的圓心角為()A.120° B.150° C.180° D.240°【解析】選C.設(shè)圓錐底面半徑為r,母線為l,則πrl+πr2=3πr2,得l=2r,所以綻開圖扇形半徑為2r,弧長為2πr.所以綻開圖是半圓.所以扇形的圓心角為180°.5.已知函數(shù)f(x)=sinωx+QUOTE(x∈R,ω>0)的最小正周期為π,為了得到函數(shù)g(x)=cosωx的圖象,只要將y=f(x)的圖象()A.向左平移QUOTE個單位長度B.向右平移QUOTE個單位長度C.向左平移QUOTE個單位長度D.向右平移QUOTE個單位長度【解析】選A.由題知ω=2,所以f(x)=sin2x+QUOTE=cosQUOTE=cos2x-QUOTE=cos2x-QUOTE.6.已知點O,N在△ABC所在平面內(nèi),且||=||=||,++=0,則點O,N依次是△ABC的()A.重心外心 B.重心內(nèi)心C.外心重心 D.外心內(nèi)心【解析】選C.由||=||=||知,O為△ABC的外心;由++=0,得=+,取BC邊的中點D,則=+=2,知A,N,D三點共線,且AN=2ND,故點N是△ABC的重心.7.《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,全書十八卷共八十一個問題,分為九類,每類九個問題,《數(shù)書九章》中記錄了秦九昭的很多創(chuàng)建性成就,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價,其求法是:“以小斜冪,并大斜冪,減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪,減上,余四約之,為實,一為從隅,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即S=QUOTE,現(xiàn)有周長為10+2QUOTE的△ABC滿意sinC∶sinA∶sinB=2∶3∶QUOTE,則用以上給出的公式求得△ABC的面積為()A.6QUOTE B.4QUOTE C.8QUOTE D.12【解析】選A.因為sinC∶sinA∶sinB=2∶3∶QUOTE,則c∶a∶b=2∶3∶QUOTE,因為△ABC的周長為10+2QUOTE,即a+b+c=10+2QUOTE,所以c=4,a=6,b=2QUOTE,所以S=QUOTE=6QUOTE.8.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具,起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),它的外觀是如圖所示的十字立方體.其上下、左右、前后完全對稱,六根完全一樣的正四棱柱分成三組,經(jīng)90°榫卯起來,若正四棱柱的高為5,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi),則該球形容器的表面積至少為(容器壁的厚度忽視不計) ()A.28π B.30π C.60π D.120π【解析】選B.由題意,該球形容器的半徑的最小值為并在一起的兩個正四棱柱體對角線的一半,即為QUOTE=QUOTE,所以該球形容器的表面積的最小值為4π×QUOTE2=30π.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.已知a∥b,|a|=2|b|=6,則|a+b|的值可能為()A.3 B.6 C.8 D.9【解析】選AD.因為a∥b,|a|=2|b|=6,則|a|=6,|b|=3.當a,b方向相同時,|a+b|=|a|+|b|=9;當a,b方向相反時,|a+b|=||a|-|b||=3.10.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=2QUOTE,c=3,A+3C=π,則下列結(jié)論正確的是 ()A.cosC=QUOTE B.sinB=QUOTEC.a=3 D.S△ABC=QUOTE【解析】選AD.A+3C=π,故B=2C,依據(jù)正弦定理:QUOTE=QUOTE,即2QUOTEsinC=3×2sinCcosC,因為sinC≠0,故cosC=QUOTE,sinC=QUOTE,sinB=sin2C=2sinCcosC=QUOTE.c2=a2+b2-2abcosC,化簡得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1,若a=3,則A=C=QUOTE,故B=QUOTE,不滿意題意,故a=1.S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×1×2QUOTE×QUOTE=QUOTE.11.函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)QUOTE的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.ω=πB.φ=QUOTEC.x=QUOTE是函數(shù)的一條對稱軸D.QUOTE是函數(shù)的對稱中心【解析】選ACD.由題圖知QUOTET=1,則T=2,即T=QUOTE=2,所以ω=π,則A選項正確.由圖象可得,fQUOTE=cosQUOTE=0,所以QUOTEπ+φ=2kπ+QUOTE,k∈Z,即φ=2kπ+QUOTE,k∈Z,再由QUOTE<QUOTE,得φ=QUOTE,即f(x)=cosQUOTE,所以B選項不正確.函數(shù)f(x)的對稱軸為πx+QUOTE=kπ+π,k∈Z,即x=k+QUOTE,k∈Z,當k=0時,x=QUOTE是函數(shù)f(x)的一條對稱軸,所以C選項正確.函數(shù)f(x)的對稱中心滿意πx+QUOTE=kπ+QUOTE,k∈Z,即x=k+QUOTE,k∈Z,所以函數(shù)f(x)的對稱中心為QUOTE,k∈Z,所以D選項正確.12.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各條棱的長度均相等,D為AA1的中點,M,N分別是線段BB1和線段CC1上的動點(含端點),且滿意BM=C1N,當M,N運動時,下列結(jié)論中正確的是 ()A.在△DMN內(nèi)存在與平面ABC平行的線段B.平面DMN⊥平面BCC1B1C.三棱錐A1-DMN的體積為定值D.△DMN可能為直角三角形【解析】選ABC.用平行于平面ABC的平面截平面DMN,則交線平行于平面ABC,故A選項正確;當M,N分別在BB1,CC1上運動時,若滿意BM=C1N,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥平面BCC1B1,故B選項正確;當M,N分別在BB1,CC1上運動時,△A1DM的面積不變,點N到平面A1DM的距離不變,所以三棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故C選項正確;若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,易證DM=DN,所以△DMN為等腰直角三角形,所以DO=OM=ON,即MN=2DO.設(shè)正三棱柱的棱長為2,則DO=QUOTE,MN=2QUOTE.因為MN的最大值為BC1,BC1=2QUOTE,所以MN不行能為2QUOTE,所以△DMN不行能為直角三角形,故D選項錯誤.三、填空題(每小題5分,共20分)13.已知兩點A(-1,0),B(-1,QUOTE).O為坐標原點,點C在第一象限,且∠AOC=120°,設(shè)=-3+λ(λ∈R),則λ=________.

【解析】由題意,得=-3(-1,0)+λ(-1,QUOTE)=(3-λ,QUOTEλ),因為∠AOC=120°,所以=-QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得λ=QUOTE.答案:QUOTE14.已知A,B,C都是銳角,且tanA=1,tanB=2,tanC=3,則A+B+C的值為________.

【解析】因為tanA=1,tanB=2,所以tan(A+B)=QUOTE=-3,又因為tanC=3,所以tan(A+B+C)=0.因為A,B,C都是銳角,所以A+B+C=180°.答案:180°15.太湖中有一小島,沿太湖有一條正南方向的馬路,一輛汽車測得小島在馬路的南偏西15°的方向上,汽車行駛1km后,又測得小島在馬路的南偏西75°的方向上,則小島到馬路的距離是________km.

【解析】如圖,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1km.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE·sin15°=QUOTE(km).設(shè)C到直線AB的距離為d,則d=BC·sin75°=QUOTE×QUOTE=QUOTE(km).答案:QUOTE16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若存在平面α,使每條棱所在的直線與平面α所成的角都相等,則各棱所在的直線與此平面所成角的正切值為________.

【解析】依據(jù)題意可知,正方體的每條棱實質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為過同一頂點的三條棱,不妨轉(zhuǎn)化為過點B1的三條棱B1A1,B1C1,B1B,連接A1C1,A1B,BC1,如圖所示,可以發(fā)覺這三條棱所在的直線與平面A1BC1所成的角均相等.取BC1的中點E,連接A1E,B1E,則在正三棱錐B1-A1BC1中,頂點B1在平面A1BC1中的射影為等邊三角形A1BC1的中心,即點M,連接B1M,則A1M是線段A1B1在平面A1BC1中的射影,所以∠B1A1E為棱B1A1所在的直線與平面A1BC1所成的角.設(shè)正方體棱長為a,則B1A1=a,B1E=QUOTEa,且A1B1⊥B1E,則tan∠B1A1E=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).(1)求·及|+|;(2)設(shè)實數(shù)t滿意(-t)⊥,求t的值.【解析】(1)因為=(-3,-1),=(1,-5),所以·=(-3)×1+(-1)×(-5)=2.因為+=(-2,-6),所以|+|=QUOTE=2QUOTE.(2)因為-t=(-3-2t,-1+t),=(2,-1),且(-t)⊥,所以(-t)·=0,即(-3-2t)×2+(-1+t)×(-1)=0,所以t=-1.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-QUOTE.(1)求f(x)在x∈[0,π]上的遞增區(qū)間;(2)用“五點法”在所給的平面直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象;(3)寫出y=f(x)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.【解析】(1)令2kπ-QUOTE≤2x-QUOTE≤2kπ+QUOTE,k∈Z,所以kπ+QUOTE≤x≤kπ+QUOTE,k∈Z.因為0≤x≤π,所以f(x)在[0,π]上的增區(qū)間為QUOTE.(2)列表:2x-QUOTE-QUOTE-QUOTE0πx0πf(x)-QUOTE-1010-QUOTE函數(shù)圖象如圖,(3)將y=sinx的圖象上的全部點向右平移QUOTE個單位長度,得y=sinx-QUOTE的圖象.再將y=sinx-QUOTE的圖象上的全部點的橫坐標縮短為原來的QUOTE倍(縱坐標不變)得y=sin2x-QUOTE的圖象.19.(12分)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿意QUOTEa-2bsinA=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=5,且a>c,b=QUOTE,求·的值.【解析】(1)因為QUOTEa-2bsinA=0,所以QUOTEsinA-2sinBsinA=0,因為sinA≠0,所以sinB=QUOTE,又B為銳角,所以B=QUOTE.(2)由(1)知,B=QUOTE,b=QUOTE,依據(jù)余弦定理得7=a2+c2-2accosQUOTE,整理得(a+c)2-3ac=7,又a+c=5.所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,于是cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以·=||||cosA=2×QUOTE×QUOTE=1.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=QUOTEsin(ωx+φ)ω>0,-QUOTE≤φ<QUOTE的圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱,且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π.(1)求ω和φ的值;(2)若fQUOTE=QUOTEQUOTE<α<QUOTE,求cosα+QUOTE的值.【解析】(1)因為f(x)的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π,所以f(x)的最小正周期T=π.從而ω=QUOTE=2.又因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱,所以2·QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k∈Z.由-QUOTE≤φ<QUOTE得k=0,所以φ=QUOTE-QUOTE=-QUOTE.(2)由(1)得f(x)=QUOTEsin2x-QUOTE,所以fQUOTE=QUOTEsin2·QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以sinα-QUOTE=QUOTE.由QUOTE<α<QUOTE,得0<α-QUOTE<QUOTE,所以cosα-QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因此cosα+QUOTE=sinα=sinQUOTE=sinα-QUOTEcosQUOTE+cosα-QUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.21.(12分)(2024·全國Ⅰ卷)如圖,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,∠APC=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAC;(2)設(shè)DO=QUOTE,圓錐的側(cè)面積為QUOTEπ,求三棱錐P-ABC的體積.【解題指南】(1)依據(jù)已知可得PA=PB=PC,進而有△PAC≌△PBC,可得∠APC=∠BPC=90°,即PB⊥PC,從而證得PB⊥平面PAC,即可證得結(jié)論;(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為母線l和底面半徑r的關(guān)系,進而求出底面半徑,求出正三角形ABC的邊長,在等腰直角三角形APB中求出AP,結(jié)合PA=PB=PC即可求出結(jié)論.【解析】(1)由題設(shè)可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.從而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,因為PB在平面PAB內(nèi),所以平面PAB⊥平面PAC.(2)設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l.由題設(shè)可得rl=QUOTE,l2-r2=2.解得r=1,l=QUOTE,從而AB=QUOTE