2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式第2節(jié)基本不等式課時(shí)同步練習(xí)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

其次章一元二次函數(shù)、方程和不等式第2節(jié)基本不等式基礎(chǔ)鞏固1．（2024·浙江省高二學(xué)業(yè)考試）已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)意，則的最大值是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】解：因?yàn)?，所以，?2．（2024·駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)探討室高二期末（理））已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)意.則的最小值為（）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】解：由，得，因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：D3．4．（2024·吉林省長(zhǎng)春市試驗(yàn)中學(xué)高一月考（理））已知，，，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本題選D.5．（2024·貴州省高二學(xué)業(yè)考試）已知，若，則的最小值為（）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【解析】由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.6．（2024·四川省高一期末）若正數(shù)滿(mǎn)意，則的最大值為（）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.7．（2024·重慶市育才中學(xué)高一期末）已知，，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，所以時(shí)等號(hào)成立．8．（2024·江門(mén)市其次中學(xué)高一期中）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則的最小值是（）A．18 B．9 C．6 D．2【答案】C【解析】解：因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6，故選：C9．（2024·海南省?？谝恢懈叨谥校┮阎?，若的值最小，則為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故選：B.10．（2024·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.由基本不等式可知，故A不正確；B.，即恒成立，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故C不正確；D.當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故D不正確.11．（2024·江蘇省淮陰中學(xué)高一期中）已知，，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.12．（2024·貴州銅仁偉才學(xué)校高一期中）若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)意，則的最小值為（）A．2 B． C．5 D．【答案】C【解析】依據(jù)題意，若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)意，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為5；13．（2024·浙江省高二期中）若，滿(mǎn)意，，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).14．（2024·浙江省浙江邵外高二期中）若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)意ab＞0，則的最小值為A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)意ab＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：C．15．（2024·全國(guó)高一）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是（）A．30 B．36 C．40 D．50【答案】C【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為，則寬為，設(shè)所用籬笆的長(zhǎng)為，所以有，依據(jù)基本不等式可知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，取等號(hào)）故本題選C.16．（2024·全國(guó)高一）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.17．（2024·全國(guó)高一）已知，且，那么下列結(jié)論肯定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解:因?yàn)?，?所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選:C.18．（2024·安徽省高一月考（理））已知，，且，則的最小值為（）A．8 B．9 C．12 D．6【答案】B【解析】由題意可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9.19．（2024·吉林省試驗(yàn)高一期末）函數(shù)的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為5.20．（2024·黑龍江省哈爾濱三中高一期末）函數(shù)的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，取等?hào)時(shí)，即，所以.21．（2024·黑龍江省鶴崗一中高一期末（理））若，且，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，且，，，故不成立；，故成立；，故不成立，，故不成立.22．（2024·哈爾濱市第一中學(xué)校高一期末）已知，則的最小值為（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】解：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為223．（2024·河南省高三其他（理））若對(duì)隨意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意得當(dāng)時(shí)，恒成立，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.24．（2024·安徽省六安中學(xué)高一期末（理））已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則的最小值是（）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)等號(hào)成立，故選：．25．（2024·浙江省高一期末）實(shí)數(shù)、，，且滿(mǎn)意，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.26．（多選題）（2024·蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）（多選題）設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，則（）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故本選項(xiàng)是正確的；選項(xiàng)B：因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故本選項(xiàng)是不正確的；選項(xiàng)C:因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故本選項(xiàng)是正確的；選項(xiàng)D:因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故本選項(xiàng)是正確的，故本題選ACD.27．（多選題）（2024·南京市秦淮中學(xué)高二期末）若實(shí)數(shù)，，，則下列選項(xiàng)的不等式中，正確的有（）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】由于，，，由基本不等式得，，，，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：ABCD.28．（多選題）（2024·山東省高二期中）下列表達(dá)式的最小值為的有()A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．D．【答案】BC【解析】解：①對(duì)選項(xiàng)A,當(dāng)均為負(fù)值時(shí),,故最小值不為2;②對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)?所以同號(hào),所以,所以,當(dāng)且僅,即時(shí)取等號(hào),故最小值為;③對(duì)選項(xiàng)C,,當(dāng)時(shí),取最小值2;④對(duì)選項(xiàng)D,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),但等號(hào)明顯不成立,故最小值不為.29．（多選題）（2024·山東省棗莊八中高二期中）設(shè)，且，那么（）A．有最小值 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】AD【解析】解：①由題已知得：,故有,解得或（舍）,即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,A正確;②因?yàn)?所以,又因?yàn)?有最小值,D正確.30．（多選題）（2024·遼寧省高一月考）（多選題）下列推斷錯(cuò)誤的是（）A．的最小值是2 B．C．不等式的解集為 D．假如，那么【答案】AC【解析】對(duì)選項(xiàng)A,當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B,，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C,不等式的解集為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D,若，則，所以，所以，故D正確.故選：AC拓展提升1．（2024·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知a，b都是正數(shù)，求證：．【解析】∵，∵由均值不等式得，．由不等式的性質(zhì)，得，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立．2．（2024·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜地（墻的長(zhǎng)大于），矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜地的面積最大？并求出這個(gè)最大值．【解析】設(shè)矩形菜地的長(zhǎng)為，寬為，由題意可知．由均值不等式，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故當(dāng)矩形的長(zhǎng)為，寬為時(shí)，菜地的面積最大，最大值為3．（2024·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z=1，求證：（1）（1）（1）＞8．【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正實(shí)數(shù)，∴（1）（1）（1）8．∴（1）（1）（1）＞84．（2024·黃岡中學(xué)第五師分校高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，某人安排用籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度沒(méi)有限制）的矩形菜園.設(shè)菜園的長(zhǎng)為，寬為.（1）若菜園面積為，則為何值時(shí)，可使所用籬笆總長(zhǎng)最?。浚?）若運(yùn)用的籬笆總長(zhǎng)度為，求的最小值.【解析】（1）由已知可得，而籬笆總長(zhǎng)為；又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)