2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

課時(shí)作業(yè)16正態(tài)分布時(shí)間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題5分，共計(jì)40分)1．圖中不是正態(tài)曲線的是(D)解析：正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，由于選項(xiàng)D的圖形不是軸對(duì)稱圖形，故選D.2．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是(B)A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10解析：由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.3．正態(tài)總體Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,9)))，數(shù)值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率為(D)A．0.46 B．0.9974C．0.03 D．0.0026解析：P(－2<X≤2)＝P0－3×eq\f(2,3)<X≤0＋3×eq\f(2,3)＝P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，∴數(shù)據(jù)落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率為1－0.9974＝0.0026.4．設(shè)隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)，則μ與D(ξ)的值分別為(C)A．μ＝eq\r(3)，D(ξ)＝eq\r(7) B．μ＝eq\r(3)，D(ξ)＝7C．μ＝3，D(ξ)＝7 D．μ＝3，D(ξ)＝eq\r(7)解析：∵隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，7)，P(ξ<2)＝P(ξ>4)，∴μ＝3，D(ξ)＝7.故選C.5．隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，則aA.eq\f(7,3) B.eq\f(5,3)C．5 D．3解析：因?yàn)棣温?tīng)從正態(tài)分布N(3,4)，且P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以eq\f(2a－3＋a＋2,2)＝3，解得a＝eq\f(7,3).故選A.6．某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所需時(shí)間(單位：分鐘)聽(tīng)從X～N(50,102)，則他在時(shí)間段(30,70]內(nèi)趕到火車站的概率為(D)A．0.6826 B．0.9974C．0.3174 D．0.9544解析：∵X～N(50,102)，μ＝50，σ＝10，∴P(30<X≤70)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.7．已知聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率分別為68.3%,95.5%和99.7%.某校為高一年級(jí)1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的身高(單位：cm)聽(tīng)從正態(tài)分布N(165,52)，則適合身高在155～175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制(B)A．683套 B．955套C．972套 D．997套解析：∵155＝165－2×5,175＝165＋2×5，∴適合身高在155～175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制1000×95.5%＝955套，故選B.8．把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到一條新的曲線C2，下列說(shuō)法不正確的是(C)A．曲線C2仍是正態(tài)曲線B．曲線C1，C2的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C．以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2D．以曲線C2為概率密度曲線的總體的期望比以曲線C1為概率密度曲線的總體的期望大2解析：正態(tài)密度函數(shù)為φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up15(eq\f(（x－μ）2,2σ2))，正態(tài)曲線對(duì)稱軸為x＝μ，曲線最高點(diǎn)縱坐標(biāo)為φμ，σ(μ)＝eq\f(1,\r(2π)·σ).所以曲線C1向右平移2個(gè)單位后，曲線形態(tài)沒(méi)變，仍為正態(tài)曲線，且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)φμ，σ(μ)沒(méi)變，從而σ沒(méi)變，所以方差沒(méi)變．而平移前后對(duì)稱軸變了，即μ變了，因?yàn)榍€向右平移了2個(gè)單位，所以期望μ增大了2個(gè)單位，所以應(yīng)選C.二、填空題(每小題6分，共計(jì)18分)9．若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)是f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))·e－eq\s\up15(eq\f(x＋22,8))(x∈R)，則E(2X－1)＝－5.解析：由概率密度函數(shù)解析式可知其圖象的對(duì)稱軸是直線x＝－2，可得μ＝－2，即E(X)＝－2，因此E(2X－1)＝2E(X)－1＝－5.10．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8，則ξ在(－∞，2]內(nèi)取值的概率為0.9.解析：∵ξ～N(1，σ2)，∴P(ξ≤0)＝eq\f(1－P0<ξ<2,2)＝0.1，∴P(ξ≤2)＝P(ξ≤0)＋P(0<ξ≤2)＝0.1＋0.8＝0.9.11．在某市高二質(zhì)量檢測(cè)考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成果聽(tīng)從正態(tài)分布N(98,100)．已知參與本次考試的全市理科學(xué)生為9454人．某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成果是108分，那么他的數(shù)學(xué)成果大約排在全市第1_500名．解析：∵X～N(98,100)，∴μ＝98，σ＝10，P(88<X≤108)＝0.6826，∴P(ξ>108)＝eq\f(1－0.6826,2)＝0.1587，超過(guò)108分的人數(shù)為0.15865×9454≈1500，故108分大約排在全市第1500名．三、解答題(共計(jì)22分)12．(10分)設(shè)X～N(10,1)．(1)證明：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)設(shè)P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．解：(1)證明：因?yàn)閄～N(10,1)，所以，正態(tài)曲線φμ，σ(x)關(guān)于直線x＝10對(duì)稱，而區(qū)間(1,2)和(18,19)關(guān)于直線x＝10對(duì)稱，所以eq\i\in(1,2,)φμ，σ(x)dx＝eq\i\in(18,19,)φμ，σ(x)dx，即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．(2)因?yàn)镻(X≤2)＋P(2<X≤10)＋P(10<X<18)＋P(X≥18)＝1，P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2<X≤10)＝P(10<X<18)，所以，2a＋2P(10<X即P(10<X<18)＝eq\f(1－2a,2)＝eq\f(1,2)－a.13．(12分)假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是聽(tīng)從正態(tài)分布N(800,502)的隨機(jī)變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為p0.求p0的值．(參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.)解：由于隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.9544.由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(700<X≤900)＝0.9772.——素養(yǎng)提升——14．(5分)設(shè)X～N(1，σ2)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，且P(X≥3)＝0.02275，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是(附：若隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%)(B)A．6038B．6587C．7028D．7539解析：由題意得P(X≥3)＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝0.02275，又μ＝1，可得2σ＝2，則σ＝1，則P(0<X<2)＝68.27%，所以P(0<X<1)＝34.135%，所以落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是(1－34.135%)×10000≈6587.15．(15分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的范圍劃分等級(jí)，如下表：質(zhì)量指標(biāo)值mm<185185≤m<205m≥205等級(jí)三等品二等品一等品從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測(cè)后得到如下的頻率分布直方圖：(1)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%”的規(guī)定？(2)在樣本中，按產(chǎn)品等級(jí)用分層抽樣的方法抽取8件，再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率；(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開(kāi)展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng)，活動(dòng)后再抽樣檢測(cè)，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿意X～N(218,140)，則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少？解：(1)依據(jù)抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)知，一、二等品所占比例的估計(jì)值為0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于該估計(jì)值小于0.92，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品92%”的規(guī)定．(2)由頻率分布直方圖知，一、二、三等品的頻率分別為0.375、0.5、0.125，故在樣本中用分層抽樣方法抽取的8件產(chǎn)品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，一、二、三等品都有的狀況有2種：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)C\o\al(2,4)C\o\al(1,1),C\o\al(4,8