江蘇省揚州市高郵市2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學試題（含答案解析）

2024-2025學年第一學期高三年級10月學情調(diào)研測試數(shù)學試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C.12 D.6【答案】C【解析】【分析】由題意可確定集合M中的元素，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由于集合，，故，即的兩根為，故，故選：C2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)定義域與充分條件及必要條件定義計算即可得.【詳解】若，則，可得，若，當為負值時，不存在，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.關(guān)于實數(shù)的不等式的解集是或，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系，結(jié)合韋達定理求，再代入不等式，即可求解.【詳解】由條件可知，方程的兩個實數(shù)根是或，所以，得，，則不等式，即，得，即，所以不等式的解集為.故選：C4.若，則點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)在的單調(diào)性可判斷的符號；利用商數(shù)關(guān)系，將正切化為正弦和余弦，結(jié)合，的符號即可判斷的符號.【詳解】解：因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即；因為，又因為時，，，，所以，即.所以點位于第三象限.故選：C.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.6.將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性的性質(zhì)列方程求.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得的圖象，由已知函數(shù)關(guān)于對稱，所以，，所以，，又，所以.故選：D.7.如圖，在四邊形中，的面積為3，則長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，結(jié)合題目條件利用正弦定理與三角函數(shù)內(nèi)角關(guān)系可計算出及，即可在中借助面積公式與余弦定理求出長.【詳解】由，則，又由，所以，又由，可得，在中，由正弦定理得：，所以，可得，由，可得，又由的面積為，有，可得，中，由余弦定理有.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域均是滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.為奇函數(shù) B.為偶函數(shù)C. D.【答案】D【解析】【分析】關(guān)鍵是利用恒等式的賦值思想，求出一些常數(shù)值，如，，有了這兩個值，就可以把原恒等式化為，，這樣對函數(shù)的研究就具了周期性和軸對稱性，從而再作出選項判斷.【詳解】令代入得：，又由，可得，所以的圖象不過原點，故A錯誤；令代入得：，再令代入得：，由上兩個式子可得，再令代入得：，因為，所以，即，結(jié)合上式可知，令代入可知，，再令代入得：，可知，再令代入得：，由上式可知，，結(jié)合，所以，因為，，所以不可能為偶函數(shù)，故B錯誤；再令代入得：，由上式可知，，故C錯誤；再把用代入可得：，再令代入得：，從而可知，結(jié)合可得，，故D正確；故選：D.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列各結(jié)論正確的是（）A.“”是“”的充要條件B.命題“，有”的否定是“，使”C.的最小值為2D.若，則【答案】BD【解析】【分析】取時，無意義，再結(jié)合充要條件的定義即可判斷；根據(jù)全稱命題的否定形式即可判斷；利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可判斷；結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對A，由，取時，無意義，故錯誤；對B,命題“，有”的否定是“，使”，故正確；對C,設，令，則在上單調(diào)遞增，所以當時，，故錯誤；對D,，則，，，不等式兩邊同時除以可得：，故正確；故選：.10.某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列選項中正確的是（）A.越大，該物理量在一次測量中在的概率越大B.該物理量在一次測量中小于10的概率等于0.5C.該物理量在一次測量中小于9.98與大于10.02的概率相等D.該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】BC【解析】【分析】利用正態(tài)分布曲線的對稱性可以判斷BCD，利用方差的變化導致曲線的變化，可判斷A．【詳解】由于測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則該測量結(jié)果的平均值為10，標準差為，根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)可知，越大，則正態(tài)分布曲線越來越矮胖，則物理量在一次測量中在的概率會越小，故A錯誤；根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)可知，物理量在一次測量中小于10的概率等于0.5，故B正確；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性質(zhì)可知，物理量在一次測量中小于9.98與大于10.02的概率相等，故C正確；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性質(zhì)可知，落在與落在的概率肯定不相等，故D錯誤；故選：BC．11.已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）A.的圖像關(guān)于軸對稱B.不是的一個周期C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當時，的值域為【答案】ABD【解析】【分析】利用奇偶性判斷A，利用周期性定義判斷B，利用單調(diào)性定義判斷C，分類討論去絕對值符號后求得值域后判斷D．【詳解】，fx定義域是全體實數(shù)關(guān)于原點對稱，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，A正確；，，所以不是的一個周期，B正確；，，，C錯；時，，又，則，時，，又，所以，綜上，時，，D正確．故選：ABD．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上.12.若命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意可得命題“”是真命題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.【詳解】由命題“”是假命題，則命題“”是真命題，則有，解得.故答案為：.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】借助兩角和的正弦公式與輔助角公式化簡原式可得，再利用整體思想結(jié)合二倍角公式及誘導公式計算即可得.【詳解】，則，故.故答案為：.14.若對一切恒成立，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)可研究其單調(diào)性即可得，再構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)可研究其單調(diào)性即可得，即可得解.詳解】由題意可得對一切恒成立，令，則，當時，，故在上單調(diào)遞減，此時在上無最小值，不符合題意，當時，令，有，令，有，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，則，令，則，故當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，當滿足題意，即的最大值為.故答案：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于構(gòu)造函數(shù)，從而得到，即可得，再構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值即可得.四?解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知（1）化簡；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導公式化簡即可；（2）根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可.【小問1詳解】根據(jù)誘導公式可得，.【小問2詳解】由（1）得，所以.16.已知三棱錐底面，點是中點，點為線段上一動點，點在線段上.（1）若平面，求證：為的中點；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)可得，即可得結(jié)果；（2）方法一：建立適當空間直角坐標系，利用空間向量求線面夾角即可得；方法二：作出相應輔助線，可得即為直線與平面所成角，進而可得線面夾角得余弦值，【小問1詳解】連接，因為平面平面，平面平面，所以，又因為是的中點，所以是中點；【小問2詳解】方法一：因為底面，如圖建立坐標系，則，可得，，設平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，可得，，設直線與平面所成角為，則，又，則，因此直線與平面所成角的余弦值為.方法二：過點作交于，連接，因為底面底面，則，且平面，則平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即為直線與平面所成角，在中，，則，所以，又，，則，所以直線與平面所成角的余弦值為.17.在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量（單位：臺）”與“當年的月份”線性相關(guān).根據(jù)統(tǒng)計得下表：月份123456銷量101931455568（1）根據(jù)往年的統(tǒng)計得，當年的月份與銷量滿足回歸方程.請預測當年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺？（2）該銷售商從當年的前6個月中隨機選取2個月，記為銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望【答案】（1）73臺（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用回歸方程經(jīng)過樣本中心點的特征求出參數(shù)，進而求出7月份的預測值；（2）根據(jù)（1）的計算結(jié)果，可以確定隨機變量的取值，進而利用古典概型求出相應概率，寫出分布列，求出數(shù)學期望.【小問1詳解】解：因為，，又回歸直線過樣本中心點，所以，得，所以，所以當時，，所以預測當年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售73臺；【小問2詳解】解：因為，所以銷量不低于前6個月的月平均銷量的月份數(shù)為，所以所以所以的分布列為：012故數(shù)學期望18.已知銳角的內(nèi)角，所對的邊分別為，滿足.（1）求角的大??；（2）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，由據(jù)正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到，進而求得的值，即可求解；（2）由（1）和正弦定理，得到，化簡得到，根據(jù)為銳角三角形，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由，可得，即，根據(jù)正弦定理得，因為，所以，即又因為，所以，可得，所以，因，所以.【小問2詳解】解：在中，由正弦定理，可得，所以，，因為為銳角三角形，可得，解得，所以，所以，所以，即面積的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若在0,3上有兩個極值點.①求實數(shù)的取值范圍：②求證：.【答案】（1）答案見解析（2）①，②證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合判別式討論導數(shù)的正負情況，即可求解；（2）①由在0,3有兩個極值點，可得在0,3有兩個不等零點，結(jié)合二次函數(shù)的零點分布列出相應不等式，即可求得答案；②結(jié)合①可得根與系數(shù)的關(guān)系式，從而用參數(shù)a表示出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可證明不等式.【小問1詳解】由題意得當，即時，f′x≥0恒成立，則在上單調(diào)遞增；當，即或時，令f′x>0，得或，令f′x<0綜上所