2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 單元綜合測試卷

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單元綜合測試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知?jiǎng)t等于（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，得，所以.故選：.2．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，，又函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)在12,1存在零點(diǎn).故選：B.3．（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.4．你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩，已知某種煙花距地面的高度h（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花爆裂的高度是（

）A．56.6米 B．57.6米C．58.6米 D．59.6米【答案】B【解析】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以煙花爆裂的高度是57.6米.故選：B5．已知，若，則（

）A．-2 B． C． D．【答案】B【解析】由題可得：，即，所以，解得：.所以.故選：B.6．若關(guān)于的方程，有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，設(shè)關(guān)于的方程有一個(gè)正實(shí)數(shù)根和一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，故有兩個(gè)根，其中，，令，則，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A7．若二次函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由題意可得方程在上存在一個(gè)根，，由函數(shù)，則其對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，可得，解得；當(dāng)時(shí)，，可得，顯然無解.綜上所述，.故選：A.8．已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【解析】令，則，令；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，且在定義域上單調(diào)遞減，要使在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，則，解得；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，且在定義域上單調(diào)遞增，要使在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，則，；綜上可得.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列各式正確的是（

）A．設(shè)，則B．已知，則C．若D．，則【答案】BD【解析】對于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，由，兩邊平方得，兩邊再平方可得，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的值域?yàn)镃．D．函數(shù)為減函數(shù)【答案】ABC【解析】對于A，因?yàn)?，所以恒成立，則函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；對于B，，由，得，則，所以，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；對于C，函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以，故C正確；對于D，由B知，，函數(shù)是增函數(shù)，且，所以函數(shù)是減函數(shù)，則函數(shù)是增函數(shù)，故是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．定義域和值域均為-a,a的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（

A．方程有且僅有3個(gè)解 B．方程有且僅有3個(gè)解C．方程有且僅有5個(gè)解 D．方程有且僅有1個(gè)解【答案】ABD【解析】對于選項(xiàng)A：由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,因?yàn)椋?，由?shù)形結(jié)合可知：,都有一個(gè)根，故方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0,;令，因?yàn)?，由?shù)形結(jié)合可知：都有3個(gè)根，方程有且僅有3個(gè)解，故選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C:由數(shù)形結(jié)合可知：令,或或;令,,由題可知：，，由數(shù)形結(jié)合可知，,各有三解，故方程有且僅有9個(gè)解,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：由數(shù)形結(jié)合可知：令gx=0,;令，因?yàn)?，所以只?解，故方程有且僅有1個(gè)解,故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn).【答案】【解析】由函數(shù)解析式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)值與無關(guān)且為，故函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，故答案為：13．甲、乙兩人同時(shí)解關(guān)于的方程：.甲寫錯(cuò)了常數(shù)，得兩根為及；乙寫錯(cuò)了常數(shù)，得兩根及，則這個(gè)方程的真正的根為【答案】或【解析】原方程可變形為：甲寫錯(cuò)了，得到根為及，；又乙寫錯(cuò)了常數(shù)，得到根為及，；原方程為，即，或，或.故答案為：或.14．函數(shù)，定義使為整數(shù)的數(shù)叫做“企盼數(shù)”，則在區(qū)間上這樣的“企盼數(shù)”共有個(gè)．【答案】9【解析】令，利用對數(shù)的換底公式可得,得到．要使成為“企盼數(shù)”，則，．由于，即，因?yàn)?，，，可取．因此在區(qū)間上這樣的“企盼數(shù)”共有9個(gè)．故答案為：9四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）計(jì)算:(1)(2)(3).【解析】（1）；（2）；（3）.16．（15分）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：時(shí)間月123浮萍的面積359其函數(shù)解析式為，其中，，，均為常數(shù)，且.(1)求出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到，，所經(jīng)過的時(shí)間分別為，，，計(jì)算+-的值.【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，時(shí)間每增加1個(gè)月，浮萍的面積增加量逐漸變大，，當(dāng)依次取1，2，3得，解得，即；（2）由（1）知，，則有，理出如下：依題意，得，，，即，，，于是，則，所以，則+-=117．（15分）已知函數(shù)，記集合為的定義域．(1)求集合；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【解析】（1）由真數(shù)大于0可知，，.（2）可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，故為奇函數(shù)．（3）令，對稱軸，在上，，又在上遞減，故的值域是：．18．（17分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，(1)求的表達(dá)式；(2)若函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時(shí)，，，為奇函數(shù)，則，所以；（2）作出的大致圖象，如圖，要滿足題意，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）由得，，同理，因?yàn)?，所以，所以，恒成立，則．19．（17分）對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”(1)已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”，并說明理由；(2)若冪函數(shù)使得在上是“偽奇函數(shù)”，是“偽偶函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求m的取值集合．【解析】（1）因?yàn)椋涠x域?yàn)?，則，，因?yàn)楹愠闪?，從而，故在函?shù)定義域內(nèi)不存在使得，即不存在使得f-x=-fx，所以不是“偽奇函數(shù)”．若，則，則，且，解得，故在函數(shù)定義域內(nèi)不存在非零實(shí)數(shù)滿足，所以不是“偽偶函數(shù)”．（2）因是冪函數(shù)，則，所以，，所以，，因?yàn)樵谏鲜恰皞纹婧瘮?shù)”，所以在上存在非零實(shí)數(shù)解，所以在上存在非零實(shí)數(shù)解，則，且，令，則，且，令，且，，當(dāng)且時(shí)，，則，當(dāng)且時(shí)，，則，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，當(dāng)且時(shí)，，即，故，因?yàn)槭恰皞闻己瘮?shù)