2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 單元綜合測試卷

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)單元綜合測試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A2．下列函數(shù)圖象中，可以表示偶函數(shù)的有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)圖象可知符合題意是A選項(xiàng)，B，C，D不合題意.故選：A.3．下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】A【解析】對(duì)于A，易知兩函數(shù)定義域均為R，且，故A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)椋瑑珊瘮?shù)定義域不同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋瑑珊瘮?shù)定義域不同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知兩函數(shù)定義域均為R，但，故D錯(cuò)誤.故選：A4．若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【解析】依題意，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，A選項(xiàng)，，所以是偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C5．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，故在上單調(diào)遞增.函數(shù)在處連續(xù)，又是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閒-x=-fx，由，可得又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：D6．已知函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則若函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，解得或故的取值范圍是故選：C．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．-1,0 C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，也需要單調(diào)遞增，所以，解得，故B正確.故選：B.8．一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則稱為的“k倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論不正確的是（）A．函數(shù)存在跟隨區(qū)間B．若為的跟隨區(qū)間，則C．函數(shù)存在跟隨區(qū)間D．二次函數(shù)存在“2倍跟隨區(qū)間”【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以對(duì)于，其值域?yàn)?，由“跟隨區(qū)間”的定義可知函數(shù)存在無數(shù)個(gè)跟隨區(qū)間，故A正確；對(duì)于B，若為的跟隨區(qū)間，且的對(duì)稱軸為，所以，解得或（舍），故B正確；對(duì)于C，假設(shè)存在“跟隨區(qū)間”，因?yàn)樵趩握{(diào)區(qū)間上均單調(diào)遞減，則有，解得，此時(shí)在內(nèi)包含0，時(shí)函數(shù)無意義，故不存在跟隨區(qū)間，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若函數(shù)存在2倍跟隨區(qū)間，設(shè)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則，則是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得或，故存在定義域?yàn)槭沟弥涤驗(yàn)?，D正確.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)D．函數(shù)滿足【答案】AD【解析】對(duì)于A，函數(shù)有意義，即，即，故A正確；對(duì)于B，因當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A分析知，函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可得D正確.故選：AD.10．已知函數(shù)，若，則x的取值可以是（

）A．3 B．20 C． D．5【答案】CD【解析】當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，，解得，符合，綜上，或5.故選：CD.11．已知函數(shù)，若，記，則（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為5 D．的最小值為3【答案】ABD【解析】依題意，函數(shù)在上遞減，在上遞減，其圖象如圖：當(dāng)，時(shí)，，由，得，且，因此，，對(duì)于AB，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，AB正確；對(duì)于CD，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，無最大值，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥坑桑?，所以函?shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3．若函數(shù)在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，解得．故答案為：.14．定義在上的函數(shù)，，對(duì)，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以；綜上可得；因?yàn)閷?duì)，，使得，所以函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集，又，，當(dāng)時(shí)，，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則有，解得．綜上所述，可得的取值范圍為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知，．(1)求，的值；(2)求的值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，．?）因?yàn)?，所以，所以?6．（15分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解不等式.【解析】（1））函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得：，∴，而，解得，∴，.（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：任意且，則，因?yàn)?，所以，，所以，即，所以函?shù)在上為減函數(shù).（3）由題意，不等式可化為，所以，解得，所以該不等式的解集為.17．（15分）近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒年（為正整數(shù)）所用的各種費(fèi)用總計(jì)為萬元.(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？(2)該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？【解析】（1）設(shè)利潤為，則，由整理得，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利.（2）首先，由（1）得平均利潤萬元，當(dāng)且僅當(dāng)，萬元時(shí)等號(hào)成立，綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元.18．（17分）高斯，著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.函數(shù)成為高斯函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，.(1)求的解集和的解集.(2)若，恒成立，求取值范圍.(3)若的解集為，求的范圍.【解析】（1）由題意得，且，由，即，所以，故的解集為；由，即，，則，所以.所以的解集為.（2），恒成立，即，恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為，所以要使恒成立，則.故的取值范圍為.（3）不等式，即，由方程可得或.①若，不等式為，即，所以，顯然不符合題意；②若，，由，解得，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?，解得③若，，由，解得，因?yàn)椴坏仁浇饧癁?，所以，解?綜上所述，或.故的范圍為.19．（17分）“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”．若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)．（?。┳C明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ⅱ）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，令，可得．（2）（?。┳C明：由，得，所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱．（ⅱ），則在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)?，設(shè)在上的值域?yàn)锳，對(duì)任意，總存在，使得成立，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸為，且，當(dāng)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增