2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）1．3 集合的基本運算（六大題型）

1．3集合的基本運算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：集合的交集運算 2題型二：并集運算 3題型三：補(bǔ)集運算 3題型四：集合的交集、并集與補(bǔ)集的混合運算 4題型五：已知集合的交集、并集、補(bǔ)集求參數(shù) 5題型六：韋恩圖在集合運算中的應(yīng)用 6【重難點集訓(xùn)】 9【高考真題】 15【題型歸納】題型一：集合的交集運算1．（2024·高三·四川達(dá)州·開學(xué)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題易得．故選:B．2．（2024·高一·廣東梅州·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，，得．故選：A3．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知，，則中的元素個數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為函數(shù)過點，過點，結(jié)合二次函數(shù)，絕對值函數(shù)和反比例函數(shù)圖象畫法，故A，B對應(yīng)的函數(shù)圖象如下圖所示:顯然，兩個圖象有3個交點，所以中有3個元素．

故選：C.4．（2024·浙江杭州·三模）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知集合，，則中前面的系數(shù)應(yīng)為的最小公倍數(shù)，故排除A，B，對于C，當(dāng)時，集合為，而令，可得不為整數(shù)，故不含有7，可得中不含有7，故C錯誤，故選：D題型二：并集運算5．（2024·高一·湖北十堰·期末）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，所以.故選：D6．（2024·高二·新疆·學(xué)業(yè)考試）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得.故選：D.7．（2024·高二·浙江·期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以．故選：A．題型三：補(bǔ)集運算8．（2024·高一·全國·課堂例題）已知集合，，則.【答案】【解析】因為集合，，所以.故答案為：.9．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知全集，集合或，則.【答案】或【解析】在數(shù)軸上表示出全集,集合,根據(jù)補(bǔ)集的概念可知或.故答案為：或.10．（2024·高一·廣東佛山·期中）已知集合，設(shè)全集，則．【答案】【解析】因為集合，全集，所以.故答案為：.題型四：集合的交集、并集與補(bǔ)集的混合運算11．（2024·高三·甘肅定西·開學(xué)考試）設(shè)集合.求：(1)；(2).【解析】（1）因為，所以.（2）因為，則，所以或.12．（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知全集，且，，求集合．【解析】∵全集，滿足，，有元素，沒有，有，∴．13．（2024·高一·廣西河池·期末）集合.(1)求；(2)求.【解析】（1），所以；（2）或，所以.題型五：已知集合的交集、并集、補(bǔ)集求參數(shù)14．（2024·高二·江西南昌·期中）設(shè)集合，，(1)若，求，；(2)若中只有一個整數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，又，所以或，所以，．（2）由（1）知或，又中只有一個整數(shù)，由圖知，，且，+解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．15．（2024·高一·北京·期中）已知集合，.(1)當(dāng)時，求和；(2)若，求m的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，因為，所以；；（2）因為，所以或，因為，所以，因為，所以或，得或，所以m的取值范圍為或.16．（2024·高一·廣東珠?！て谥校┮阎?，.(1)若，求的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）集合，，，則由交集的定義可知，且，解得.（2）當(dāng)，即時，，符合題意；當(dāng)，即時，，符合題意；當(dāng)，即時，或，若，則，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.17．（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集．(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，或x>5，所以（2）若，則，①當(dāng)時，；②，則，.綜上所述，或．題型六：韋恩圖在集合運算中的應(yīng)用18．（2024·高一·陜西西安·期中）我校召開秋季運動會，高一某班有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加集體項目，有8人參加田賽，有14人參加徑賽，同時參加集體項目和田賽的有3人，同時參加集體項目和徑賽的有3人，沒有人同時參加三個項目的比賽，則只參加徑賽的有人．【答案】8【解析】假設(shè)只參加徑賽的有人，又沒有人同時參加三個項目的比賽，所以同時參加田賽和徑賽人數(shù)為，只參加田賽人數(shù)為，綜上，，可得.故答案為：819．（2024·高一·上海浦東新·期中）某學(xué)校舉辦秋季運動會時，高一某班共有名同學(xué)參加比賽，有人參加游泳比賽，有人參加田賽，有人參加徑賽，同時參加游泳比賽和田賽的有人，同時參加游泳比賽和徑賽的有人，沒有人同時參加三項比賽，借助文氏圖（Venndiagram），可知同時參加田賽和徑賽的有人．【答案】【解析】設(shè)同時參加田賽和徑賽的學(xué)生人數(shù)為，如下圖所示：由韋恩圖可的，解得.因此，同時參加田賽和徑賽的有人.故答案為：.20．（2024·高一·云南楚雄·期中）某商場為了了解顧客對該商場產(chǎn)品質(zhì)量和商場服務(wù)人員的服務(wù)態(tài)度的滿意情況，隨機(jī)采訪了50名顧客，其中對商場產(chǎn)品質(zhì)量滿意的顧客有42名，對商場服務(wù)人員的服務(wù)態(tài)度滿意的顧客有38名，對該商場產(chǎn)品質(zhì)量和商場服務(wù)人員的服務(wù)態(tài)度都不滿意的顧客有6名，則對該商場產(chǎn)品質(zhì)量和商場服務(wù)人員的服務(wù)態(tài)度都滿意的顧客有名.【答案】36【解析】設(shè)對該商場產(chǎn)品質(zhì)量和商場服務(wù)人員的服務(wù)態(tài)度都滿意的顧客有名，則，解得.故答案為：21．（2024·高一·云南昆明·期中）某年級舉行數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三項競賽，共有88名學(xué)生參賽，其中參加數(shù)學(xué)競賽有48人，參加物理競賽有48人，參加化學(xué)競賽有38人，同時參加物理、化學(xué)競賽有18人，同時參加數(shù)學(xué)、物理競賽有28人，同時參加數(shù)學(xué)、化學(xué)競賽有18人，這個年級三個學(xué)科競賽都參加的學(xué)生共有名．【答案】18【解析】設(shè)這個年級三個學(xué)科競賽都參加的學(xué)生有人，只參加數(shù)學(xué)，化學(xué)競賽的有人，只參加物理，化學(xué)競賽的有人，只參加數(shù)學(xué)，物理競賽的有人，只參加數(shù)學(xué)競賽的有，只參加物理競賽的有，只參加化學(xué)競賽的有，故參加競賽的總?cè)藬?shù)為：，解得，這個年級三個學(xué)科競賽都參加的學(xué)生有人.故答案為：18.22．（2024·高一·四川成都·階段練習(xí)）中國健兒在杭州亞運會上取得傲人佳績，獲獎多多，為豐富學(xué)生課余生活，拓寬學(xué)生視野，石室成飛中學(xué)積極開展社團(tuán)活動，每人都至少報名參加一個社團(tuán)，高一（1）班參加社團(tuán)的學(xué)生有人，參加社團(tuán)的學(xué)生有人，參加社團(tuán)的學(xué)生有人，同時參加社團(tuán)的學(xué)生有人，同時參加社團(tuán)的學(xué)生有人，同時參加社團(tuán)的學(xué)生有人，三個社團(tuán)同時參加的學(xué)生有人，那么高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù)為．【答案】【解析】由題意，用分別表示參加杜團(tuán)、參加杜團(tuán)和參加杜團(tuán)的學(xué)生形成的集合，則,,因此.所以高一（1）班總共有學(xué)生人數(shù)為人.故答案為：.【重難點集訓(xùn)】1．（2024·高一·安徽蕪湖·開學(xué)考試）若集合，，則滿足的實數(shù)a的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因為，所以，即或者，解之可得或或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，根據(jù)集合元素互異性可判斷不成立。所以實數(shù)a的個數(shù)為2個.故選：B2．（2024·高一·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解得或，故，又，，所以.故選：A.3．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若、、為三個集合，，則一定有（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，，所以,所以，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，滿足，故D錯誤.故選：A.4．（2024·高二·遼寧大連·階段練習(xí)）若集合，，則（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】因為集合，，則或，所以或．故選：B．5．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知全集，集合，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】全集，集合，滿足，繪制Venn圖，如下：對于A：，A錯誤；對于B：，B錯誤；對于C：，C正確；對于D：；D錯誤；故選：C.6．（2024·高一·安徽·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，因為，所以，所以，故選：A.7．（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂講座，其中有人聽了數(shù)學(xué)講座，人聽了歷史講座，人聽了音樂講座，記是聽了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生，是聽了歷史講座的學(xué)生，是聽了音樂講座的學(xué)生.用來表示有限集合中元素的個數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】將已知條件用Venn圖表示出來如下圖，對A：，故A錯誤；對B：，故B正確；對C：，故C錯誤；對D：，故D錯誤；故選：B.8．（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）已知集合，，在求時，甲同學(xué)因?qū)⒖闯?，求得，乙同學(xué)因?qū)⒖闯?，求?若甲、乙同學(xué)求解過程正確，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意：且，解得，即，由，解得，故.故選：A.9．（多選題）（2024·高一·廣東梅州·開學(xué)考試）設(shè)U為全集，下面三個命題中為真命題的是（

）A．若，則； B．若，則；C．若，則； D．若，則.【答案】ABD【解析】對于A，若，則成立，即A正確；對于B，若，則成立，即B正確；對于C，不妨設(shè)，有，但不成立，即C錯誤；對于D，若，則集合A、集合B中均沒有元素，即D正確.故選：ABD10．（多選題）（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知，如果實數(shù)滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點”，則下列集合中以0為“開點”的集合有（

）A．， B．，C． D．【答案】AC【解析】對于，對任意的，存在，使得，故正確；對于，假設(shè)集合，以0為“開點“，則對任意的，存在，，使得，當(dāng)時，該式不成立，故錯誤；對于，假設(shè)集合以0為“開點“，則對任意的，存在，使得，故正確；對于，集合，，，當(dāng)時，，時，使得不成立，故錯誤．故選：．11．（多選題）（2024·高一·河南開封·期中）當(dāng)兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合成“偏食”.對于集合，，若與B構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實數(shù)的取值可以是（

）A．-2 B． C．0 D．1【答案】BCD【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，對選項A：若，，此時，不滿足；對選項B：若，，此時，滿足；對選項C：若，，此時，滿足；對選項D：若，，此時，滿足；故選：BCD.12．（2024·高一·上?！て谥校┰O(shè)全集U=Z，定義A?B=，若，則?=.【答案】【解析】因為U=Z,所以A?B=，所以?=故答案為：.13．（2024·高一·江蘇·階段練習(xí)）已知集合，，，若，，則．【答案】4【解析】，，因為，，所以，，由得，即，解得或，當(dāng)時，解得，此時，不滿足題意；當(dāng)時，解得，滿足題意.所以.故答案為：414．（2024·高一·北京·期中）設(shè)，，若，則實數(shù)的值可以為．（將你認(rèn)為正確的序號都填上，若填寫有一個錯誤選項，此題得零分）

①

②

③

④【答案】①②④【解析】集合，由可得，則分和或或，當(dāng)時，滿足即可；當(dāng)時，滿足，解得：；當(dāng)時，滿足，解得：；當(dāng)時，顯然不符合條件，所以的值可以為.故答案為：①②④.15．（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)，，且.(1)求的值及集合，；(2)設(shè)全集，求；(3)寫出的所有子集.【解析】（1）根據(jù)題意得：，，將代入中的方程得：，即，則，；（2）全集，，；（3）的所有子集為，，，．16．（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）設(shè)全集，集合，.(1)若集合恰有一個元素，求實數(shù)的值；(2)若，，求.【解析】（1）集合A恰有一個元素，，解得：；（2），；又，；即，17．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知集合或x>2，．(1)求，；(2)若集合是集合的真子集，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1），則，，或，∴或；（2）∵集合是集合的真子集，∴或，解得或．18．（2024·高一·上?！ふn堂例題）對于非負(fù)整數(shù)集合（非空），若對任意，都有，或者，則稱為一個好集合，以下記為的元素個數(shù)．(1)寫出兩個所有的元素均小于3的好集合；（給出結(jié)論即可）(2)設(shè)集合，，若集合為好集合，求出、、，所滿足的條件．（需說明理由）【解析】（1），（2）由題意：，故，即，考慮、，可知，∴或．若，則考慮，，∵，∴，則，∴，但此時，不滿足題意；若，此時，滿足題意，∴，其中、為相異正整數(shù)．【高考真題】1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得.故選：C.2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)真題）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：C3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，則，故選：D4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為集合，，所以，故選：B5．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，，，根據(jù)交集的運算可知，.故選：A6．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，則.故選：A.7．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為