【教無憂】高中數(shù)學同步講義（人教B版2019選擇性必修一）重難點11 雙曲線方程及性質(zhì)十三大題型

重難點11雙曲線方程及性質(zhì)十三大題型匯總技巧一.雙曲線定義的應用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是不是雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程．(2)在“焦點三角形”中，當∠F1PF2＝90°時，S△PF1F2＝b2，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．注意：在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．技巧二.求雙曲線標準方程的常用方法(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置，求出雙曲線方程．(2)待定系數(shù)法：先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據(jù)條件求解．注意：待定系數(shù)法求雙曲線方程的5種類型類型一與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型二若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝－eq\f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型三與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)－eq\f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)類型四過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設(shè)為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)類型五與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)－eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)技巧三.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)求雙曲線的漸近線或離心率的方法：①求出a，b，c直接求離心率e，寫漸近線方程．②列出a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．(2)雙曲線性質(zhì)的綜合應用要充分注意與平面幾何知識的聯(lián)系，善于發(fā)現(xiàn)條件中的相等或不等關(guān)系．技巧四.求雙曲線中焦點三角形面積的方法：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式S?PF1F2＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積④：S技巧五.和差最值問題：利用三角形：和最小問題，兩邊之和≥第三邊，三點共線，動點必須在中間。差的絕對值最大問題，兩邊之差的絕對值≤第三邊，三點共線，動點必須在兩邊。技巧六.1．求解與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題的方法(1)幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求解．(2)代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，將雙曲線的范圍(或最值)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍(或最值)問題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解．(3)不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解．2．解決與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題時的注意點(1)雙曲線上本身就存在最值問題，如異支雙曲線上兩點間的最短距離為2a(實軸長)．(2)雙曲線上的點到定點的距離最值，常用兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問題，有時也用雙曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．(3)雙曲線上的點到定直線的距離的最值解法同(2)所述，或用平行切線法．(4)點在雙曲線上，求相關(guān)式子(目標函數(shù))的取值范圍，常用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，或根據(jù)平面幾何知識，或引入一個參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決．(5)由直線和雙曲線的位置關(guān)系，求直線或雙曲線中某個參數(shù)的范圍，常把所求參數(shù)作為函數(shù)中的因變量來求解．(6)所構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系式中變量的取值范圍往往受到雙曲線自變量范圍的影響．技巧七.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標x,y，根據(jù)題意列出關(guān)于x,y的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x,y分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將x0=gx技巧八.直線與方程的位置關(guān)系將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程x若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若即，①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個交點；②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個公共點；③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點．技巧九.雙曲線中點弦的斜率公式：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因為是弦的中點，所以：，所以題型1雙曲線的定義【例題1】（2022上·上海黃浦·高三上海市大同中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系xOy中，已知點M2,?1，N?2,1，動點P滿足PM2?PN（I）曲線C上所有的點到點1,a（II）曲線C上有兩點到點?5,0與（III）曲線C上有兩點到點?5,0與（IV）曲線C上有兩點到點a,0的距離與到直線x=?a的距離相等A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)已知可得出點P的軌跡方程為直線：?8x+4y=a.根據(jù)點到直線的距離，即可判斷（I）；根據(jù)橢圓、雙曲線以及拋物線的定義，可求出（II）（III）（IV）的點的軌跡方程，結(jié)合各個圖象的性質(zhì)，即可判斷（II）（III）（IV）.【詳解】設(shè)Px,yPM2?PN2所以，點P的軌跡方程為直線：?8x+4y=a.對于（I），點1,a4到直線?8x+4y=a的距離對于（II），根據(jù)橢圓的定義可知，到點?5,0與5,0則2a1=6，c1=所以，橢圓方程為x2當a=0時，直線方程為y=2x，顯然與橢圓有兩個交點，即曲線C上有兩點到點?5,0與對于（III），根據(jù)雙曲線的定義可知，到點?5,0與設(shè)雙曲線的方程為x2則2a2=2，c2=所以，雙曲線的方程為x2因為雙曲線的漸近線方程為y=±2x，直線?8x+4y=a的斜率為2，所以直線與雙曲線的一條漸近線平行或重合，所以，直線與雙曲線最多有一個交點，故（III）錯誤；對于（IV），當a≠0時，根據(jù)拋物線的定義可知，到點a,0的距離與到直線x=?a的距離相等的點的軌跡為拋物線.由已知可設(shè)拋物線的方程為y2聯(lián)立y2=4ax?8x+4y=aΔ=所以，當a≠0時，直線與拋物線有兩個交點，即曲線C上有兩點到點a,0的距離與到直線x=?a的距離相等，故（IV）正確.綜上所述，可能成立的為（II）（IV）.故選：B.【變式1-1】1.（2023下·上海浦東新·高二上海南匯中學?？计谥校┮阎▓AM:x?12+y2=16，點A是圓M所在平面內(nèi)一定點，點P是圓M上的動點，若線段PA的中垂線交直線PM于點Q，則點Q的軌跡可能是：①橢圓；②雙曲線；③拋物線；A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】首先分四種情況,點A在圓內(nèi),圓上,圓外,以及點A與點M重合,四種情況討論點Q的軌跡.【詳解】當點A在圓M內(nèi)且不與點M重合,∵則點Q的軌跡是以A、M為焦點的橢圓，

當點A在圓上時,由于MP=MA,線段PA的中垂線交直線PM于M,點點A在圓外時,QA?QM=4，∵4<|AM|.則點

當點A與M重合時,Q為半徑PM的中點,點Q的軌跡是以M為圓心，2為半徑的圓,所以其中正確的命題序號為①②④⑥共4個.故選：C.【點睛】動點軌跡問題的關(guān)鍵是情況分類.【變式1-1】2.（2023下·江蘇南京·高二南京航空航天大學附屬高級中學校考期中）已知圓x2+y2?43y=0的圓心為S，過點T0,?23的直線m交圓S于C、D兩點，過點TA．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】B【分析】確定圓心和半徑，計算得到MT=MD，則【詳解】x2+y2?43y=0因為SC平行與TM，SD=SC，所以MT=故點M的軌跡為雙曲線.故選：B【變式1-1】3.（多選）（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知P是圓心為A，半徑為2的圓上一動點，B是圓A所在平面上一定點，設(shè)|AB|=t（t>0）．若線段BP的垂直平分線與直線AP交于點M，記動點M的軌跡為E，則（

）A．當0<t<2時，E為橢圓 B．當t>2時，E為雙曲線C．當t>2時，E為雙曲線一支 D．當t≠2且t越大時，E的離心率越大【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得MP=【詳解】A：由題意知，點A、B為定點，AP=2，當0<t<2由線段垂直平分線的性質(zhì)知，MP=所以AP=由橢圓的定義知，點M的軌跡為橢圓，故A正確；B：當t>2時，點B在圓外，不妨設(shè)點B在點A的右邊，由線段垂直平分線的性質(zhì)知，MP=所以AP=同理，若點B在點A的左邊，有MA?所以MA?C：由選項B的分析，可知C錯誤；D：由選項A知，當0<t<2時，點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且a=1，焦距為t，若t增大，則半焦距c增大，所以離心率e=c由選項B知，當t>2時，點M的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線，且a=1，焦距為t，若t增大，則半焦距c增大，所以離心率e=c所以當t≠2且越大時，E的離心率越大，故D正確.故選：ABD.【變式1-1】4.（多選）（2023上·河南·高二校聯(lián)考期中）0°≤α≤180°變化時，方程x2A．兩條平行直線 B．圓C．焦點在x軸上的橢圓 D．焦點在x軸上的雙曲線【答案】ABD【分析】根據(jù)cosα符號,對角α分五類進行討論,由圓、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應曲線的具體形狀即可.【詳解】當α=90°時,cos90°=0,方程x當α=0°時,cos0當90°>a>0°時,1>cos當180°>a>90°時,cosα<0當α=180°時,cos180°=?1故選：ABD.【變式1-1】5.（多選）（2023下·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校?？计谥校┮韵玛P(guān)于圓錐曲線的說法，不正確的是（

）A．設(shè)A,B為兩個定點，k為非零常數(shù)，PA?PB=kB．過點0,1作直線，使它與拋物線y2C．若曲線C:x24?k+D．過定圓O上一定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點，若OP=12【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷A；結(jié)合圖象可判斷B；根據(jù)雙曲線的標準方程的結(jié)構(gòu)特征列不等式求解可判斷C；利用相關(guān)點法求點P的軌跡，可判斷D.【詳解】由雙曲線定義可知，只有當0<k<AB時，動點P由圖可知，直線x=0,y=1與拋物線都只有一個交點，設(shè)過點0,1的直線方程為y=kx+1，代入y2=4x由(2k?4)2?4k2=0若曲線C:x24?k+y2k?1設(shè)圓O的方程為x2+y因為OP=12OA+代入x2+y2=所以點P的軌跡為圓，D錯誤.故選：AD【變式1-1】6.（多選）（2023下·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）已知圓O的半徑為定長R,A是圓O所在平面內(nèi)一個定點，P是圓O上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，關(guān)于點Q的軌跡，下列命題正確的是（

）A．若A是圓O內(nèi)的一個定點（非點O）時，點Q的軌跡是橢圓B．若A是圓O外的一個定點時，點Q的軌跡是雙曲線的一支C．若A與點O重合時，點Q的軌跡是圓D．若A是圓O上的一個定點時，點Q的軌跡不存在【答案】AC【分析】根據(jù)橢圓定義可判斷A；根據(jù)雙曲線定義可判斷B；根據(jù)圓的定義可判斷C；垂直平分線的定義可判斷D.【詳解】如下圖，若A是圓O內(nèi)的一個定點（非點O）時，QA=QP，QA+QO=如下圖，若A是圓O外的一個定點時，QA=QP，QA?QO=QP?如下圖，若A與點O重合時，∴Q的軌跡是以O(shè)為圓心，以R2為半徑的圓，所以C如下圖，若A是圓O上的一個定點時，點Q的軌跡為點O構(gòu)成的集合，所以D項錯誤.故選：AC.題型2雙曲線定義的應用【例題2】（2023上·上海·高二上海師大附中?？计谥校┤魴E圓x2m+y2n=1m>n>0和雙曲線x2A．m?s B．12m?s C．m2【答案】A【分析】利用橢圓與雙曲線的定義得出PF1與【詳解】由題意知不妨設(shè)點P是兩曲線在第一象限內(nèi)的交點，可得：PF1+則PF故選：A.【變式2-1】1.（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2?y2=1的左，右焦點分別為F1,FA．12 B．32 C．52【答案】C【分析】利用已知條件求出過F1且與雙曲線僅有一個交點的直線方程，將該直線與雙曲線聯(lián)立求得點P的坐標，最后利用雙曲線的定義求出P【詳解】由已知得c2=a2+b2∵過F1的直線與雙曲線C僅有一個公共點P∴該直線與雙曲線的漸近線y=x或y=-x平行，∴不妨設(shè)該直線方程為y=x+2將直線與雙曲線聯(lián)立x2?y2=1∴PF又∵PF2?P故選：C.【變式2-1】2.（2023上·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C的中心為O，離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，M為C上一點，MFA．22 B．3 C．4 【答案】A【分析】由離心率為2得c=2a，設(shè)M(x,y)，利用雙曲線的定義和MF【詳解】由離心率得，ca=2，即c=不妨設(shè)M(x,y)為C的右支上一點，如下圖：由雙曲線的定義MF1?MF12坐標代入計算可得，(x+22x2+2所以，OM=故選：A.【變式2-1】3.（2022上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二呼市二中?？计谥校┮阎p曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．a(chǎn) B．2a C．4a D．8a【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義建立方程關(guān)系進行求解即可．【詳解】解：如圖，由雙曲線的定義得：|AF2|BF2①+②可得：|AF即|AF∵|AF∴2|AB|?|AB|=4a，即|AB|=4a.故選：C【變式2-1】4.（多選）（2023上·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x24?y25=1A．若PF2=8，則PF1C．PF1的最小值為1 D．若【答案】BC【分析】由雙曲線的定義可判斷A；設(shè)Px,y，由兩點間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，C；當PF1或PF2與x軸垂直時，直角三角形F1P【詳解】因為雙曲線C：x24?y25=1因為PF1?PF2=2a=4設(shè)Px,y，A6,0=94x由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當x=83時，PA2故PA的最小值為15，故B正確；設(shè)Px,y，F(xiàn)1=94x由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當x=?2時，PF12故PF當PF1或PF2與x軸垂直時，直角三角形以F1F2為直徑的圓與雙曲線有4個交點，直角三角形F則若△F1PF2故選：BC.【變式2-1】5.（2023下·上海嘉定·高二統(tǒng)考期末）已知圓錐曲線Ck的方程：x29?k+y24?k=1.當m、n為正整數(shù)，且m<n時，存在兩條曲線Cm、C【答案】3【分析】本題主要考查圓錐曲線的定義，易得到C1，C2，C3是橢圓，C5，C6，C7，C8是雙曲線，從而根據(jù)題意可得m∈【詳解】由題意得C1，C2，C3是橢圓，C5，C6結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)可知本題中的任意兩橢圓與兩雙曲線均無公共點，從而m<n時，存在兩條曲線Cm、Cn有交點必然有m∈1,2,3，n∈設(shè)PF1=d1+d且PF1⊥PF2即d1所以存在兩條曲線Cm、Cn，且m=1n=7，m=2故答案為：3.【變式2-1】6.（2022上·四川達州·高二統(tǒng)考期末）已知F是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點，C的離心率為【答案】x【分析】利用對稱性，結(jié)合雙曲線的定義，得2a=6，再結(jié)合離心率，求得雙曲線的方程.【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)左焦點F，右焦點F'如圖，點M在右支，點N在左支，線段FF'和所以四邊形FNF'M所以FM?FN=MF?MF'=6所以雙曲線方程是x2故答案為：x題型3雙曲線的標準方程【例題3】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）若雙曲線C：x2a2A．x22?y28=1 B．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線一條漸近線的斜率可得b=2a，將點3,2的坐標代入方程x【詳解】由題意可得ba=2，所以把點3,2的坐標代入方程x2a所以b2則C的標準方程為x2故選：A【變式3-1】1.（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線C1與雙曲線C2:x27?A．x26?C．x26?y22=1【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法，分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況，分別設(shè)出雙曲線的標準方程，再利用條件建立方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為C1和C2有相同的焦距，又雙曲線C2:x27?y2=1當C1的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線C1的方程為若將點3,1代入x2a2?又a2+b2=c2=8②，聯(lián)立①②兩式得當C1的焦點在y軸上，設(shè)雙曲線C1的方程為y2a2?x2b2=1聯(lián)立③④兩式得a2=9?73，b2=綜上所述，雙曲線C1的標準方程為x26故選：C.【變式3-1】2.（2022·全國·模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．x220?C．x24?【答案】C【分析】利用中位線的性質(zhì)得到ON∥MF2，且ON=12MF2，根據(jù)【詳解】因為MF1⊥MF2，ON⊥NF1，且O因為NF1?ON=2直線l的方程為y=?bax，所以NF1=bca2+b故選：C.【變式3-1】3.（2022上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線C的焦點為F1?5,0，F(xiàn)25,0，點P在雙曲線CA．x24?y2=1 B．x【答案】B【分析】由題意可知c=5【詳解】由題意可知雙曲線方程為x2a2解得c=5所以雙曲線C的標準方程為x2故選：B【變式3-1】4.（2022·湖南岳陽·岳陽一中?？家荒＃┤鐖D，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分，若C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=2，且點P(6,3)在雙曲線C上，則雙曲線A．x2?yC．x23?【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法可求雙曲線C的標準方程.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：x2因為離心率e=2，故半焦距c=2a，故b=3而雙曲線過P(6,3)，故6a故雙曲線的方程為：x2故選：C.【變式3-1】5.（2022·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知中心在原點的雙曲線E的離心率為2，右頂點為A，過E的左焦點F作x軸的垂線l，且l與E交于M，N兩點，若△AMN的面積為9，則E的標準方程為（

）A．x2?y23=1 B．x【答案】A【分析】設(shè)出雙曲線的方程，根據(jù)離心率可得c=2a，根據(jù)題意求出點M、N的坐標，進而求得MN，結(jié)合三角形的面積公式化簡計算即可求出a，b.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為x2a2由離心率為2，得ca=2，則因為直線l過點F(?c,0)且垂直于x軸交E于點M、N，所以點M、N的橫坐標都為-c，有(?c)2a2所以M(?c,b2a又AF=a+c，S△AMN所以a=1，故c=2a=2，得b=c所以雙曲線的方程為：x2故選：A【變式3-1】6.（2023上·廣東清遠·高三統(tǒng)考期末）已知P為雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0上異于頂點A1，A【答案】x2【分析】首先設(shè)點Px0,y0，A【詳解】設(shè)Px0,y0k1所以3<b2a2<40<2c<8a所以滿足條件的雙曲線的標準方程是x2故答案為：x2題型4雙曲線的幾何性質(zhì)【例題4】（2023上·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x24?b2?y2b2=1(0<b<2)A．1 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】求出雙曲線C的焦點，結(jié)合已知求出點P的坐標，進而求出b2，再求出F【詳解】雙曲線C的半焦距c=2，則焦點F1?2,0,F22,0，由OP=由PF1=3PF2，得3而點P在雙曲線C上，于是14?b2雙曲線C的漸近線為bx±4?b2y=0，點所以該雙曲線的右焦點F2到漸近線的距離的平方為b故選：D

【變式4-1】1.（2023下·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）如圖，這是一個落地青花瓷，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C：x2a2

A．162cm B．24cm C．32cm D．82【答案】D【分析】求出a=4，設(shè)出Mr,b，代入雙曲線方程，求出r=4【詳解】因為該花瓶橫截面圓的最小直徑為8cm，所以a=4.設(shè)M是雙曲線C與瓶口截面的一個交點，該花瓶的瓶口半徑為r，則Mr,b

所以r242?b故選：D【變式4-1】2.（2023下·河北·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線x225?A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通過k的范圍，結(jié)合曲線，求解焦距，實半軸長，虛半軸長，判斷選項即可．【詳解】x2實數(shù)k滿足0<k<9，曲線x2實半軸的長為25+k，虛半軸的長為9?k，顯然兩條曲線的實軸的長與虛軸的長不相等，所以A、B均不正確；焦距為：234離心率為：345和34故選：D．【變式4-1】3.（2023上·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．3 B．23 C．25 【答案】C【分析】由雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，所以ba=2.再結(jié)合題意可得到PF1?【詳解】由題意，雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，所以ba因為PF1⊥P所以PF1?PF所以c2=a2+故選：C.【變式4-1】4.（2022上·浙江臺州·高二校聯(lián)考期末）坐標系建立的方式不同，會導致曲線方程形式上的不同，如初中學過的反比例函數(shù)y=1x的圖象也是雙曲線．已知形如y=ax+b【答案】(305【分析】根據(jù)題意確定對應漸近線分別為x=0,y=43x，進而求得兩條對稱軸分別為y=3x、y=?13x，求出曲線與y=?13x的交點確定雙曲線參數(shù)a【詳解】由y=43x?

所以，雙曲線y=43x?令y=43x傾斜角為θ∈(0,π2而tanθ=2tanθ2所以tan(π4+θ顯然y=?13x與y=43則焦點在直線y=?13x而x=0與y=?13x夾角正切值為3，即b由c2=a2+b2所以焦點坐標為(305,?故答案為：(305【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先確定y=43x?15x【變式4-1】5.（2023下·上海松江·高二上海市松江一中?？计谀┮阎猘>b>0，雙曲線x2a2?y2b2=1【答案】y=±【分析】由已知條件求出a與b的關(guān)系，即可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的焦距是橢圓焦距的3倍，則有a2+b2=3所以該雙曲線的漸近線方程為y=±2故答案為：y=±【變式4-1】6.（2023上·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線x23?y2=1的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點【答案】23【分析】根據(jù)雙曲線的方程及定義可求出?|PF1【詳解】由x23?故?|PF1|?|PF設(shè)P(x0,因為∠F所以F1因為x0所以3y解得y0=?故答案為：23；±題型5雙曲線的離心率【例題5】（2023上·天津北辰·高二校考期末）若雙曲線C:y2a2?x2A．2 B．233 C．22【答案】B【分析】利用勾股定理求出圓心到雙曲線C的漸近線的距離，再利用點到直線的距離公式求出a2b2【詳解】雙曲線C的漸近線方程為y=±abx，直線y=±ab

則圓心0,2到直線y=±abx由點到直線的距離公式可得d=21+ab2因此，雙曲線C的離心率為e=c故選：B.【變式5-1】1.（2022上·浙江臺州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點為A，過A的直線l與C的右支交于點A．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)線段AB的中點為E，雙曲線的右頂點為D，連接DE,DB，則可得AD=BD=2a，然后在△ODB中利用余弦定理求得∠ODB=2π【詳解】設(shè)線段AB的中點為E，雙曲線的右頂點為D，左右焦點為F1,F因為線段AB的中點E在圓O:x2+所以△ADE≌△BDE，所以AD=因為OB=7OA在△ODB中，由余弦定理得cos∠ODB=因為∠ODB∈0,π，所以所以∠BDF2=π3，過B作BF⊥x所以B2a,所以4a2a所以a2=c2?所以離心率e=c故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查求雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由題意求得AD=BD=2a，然后在△ODB中利用余弦定理求出∠ODB【變式5-1】2.（2021上·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2?y2b2=1b>0的左、右焦點分別為F1A．3 B．23 C．2 【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線得OM//NF1，又M是線段F2N的中點，又可得OM⊥NF2，則可得漸近線【詳解】雙曲線C：x2?y

因為O是線段F1F2的中點，M是線段又NF1⊥NF2所以∠NO所以漸近線y=bx的傾斜角為60°，則b=tan60°=3所以c=a2+故選：C.【變式5-1】3.（2023下·浙江·高二校聯(lián)考期末）雙曲線x2a2?y2b2=1,(a>0,b>0)右焦點為F，離心率為eA．?9 B．?7 C．?5 D．?3【答案】A【分析】先求出圓的方程，聯(lián)立方程組，由Δ≥0得出k【詳解】由題意，右焦點Fc,0又PO=kFO,(k>1)，則P以P為圓心，|PF|為半徑的圓的方程為，x?kc2聯(lián)立方程組x?kc2得c2由圓與雙曲線有公共點，所以Δ≥0即4k2c化簡為k?1k+1由方程k?1k+1k1=1，所以不等式的解為k≤1，或k≥2e由已知，得k≥2所以k?8e≥2e當e=2時，取得最小值?9.故選：A【點睛】解決本題關(guān)鍵是曲線與曲線的位置關(guān)系，用聯(lián)立方程組的方法，其中化簡是個難點.【變式5-1】4.（多選）（2023下·浙江·高二校聯(lián)考期末）已知F1?c,0，F(xiàn)2c,0c>0是橢圓C1:x2a12+A．△F1B．若∠F1C．若∠F1MFD．若∠F1MF【答案】ABD【分析】由橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式可判斷A；由m+n=2a1和mn=2【詳解】設(shè)MF1=m，M不妨設(shè)點M是C1，C2在第一象限內(nèi)的交點，則m+n=2a1，m?n=2a2，所以在△F1M即4c一方面4c所以mn=2a1S=1另一方面，4c所以mn=2c2S=1對于A，因為S2=b對于B，因為m>n且m+n=2a1，所以所以2b所以e12>1?cos2所以e1當∠F由4c2=即3a12+a22對于C，令1<t=1則1e所以(e1e對于D，e1記m=e22函數(shù)y=3m+1m是對勾函數(shù)，在所以e1即e12+故選：ABD【變式5-1】5.（2022上·上海閔行·高二上海市七寶中學?？计谀┤鐖D，F(xiàn)1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C【答案】3【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義和對稱性，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理、基本不等式進行求解即可.【詳解】設(shè)橢圓方程為x2雙曲線方程為x2如下圖，連接AF2、由∠AF1B=2π在橢圓中，由定義可知：s+t=2a，由余弦定理可知：4cS△在雙曲線中，由定義可知中：：t?s=2m，由余弦定理可知：4cS△所以S△a2?c所以c2所以C1與C2的離心率之積的最小值為故答案為：3【點睛】關(guān)鍵點睛：在橢圓和雙曲線中利用焦點三角形的面積建立等式是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】6.（2021下·四川成都·高二石室中學?？计谥校┰O(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：x2a12+y2b12=1a【答案】2【分析】由題意，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，表示出焦半徑，整理齊次方程，根據(jù)離心率定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由橢圓及雙曲線定義得MF1+MF因為∠F1MF2=90°，所以因為e1∈34,223，因為a2>b2，b2a2故答案為：214題型6雙曲線的弦長【例題6】（多選）（2023上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2?y23=1,F1A．雙曲線C的離心率為3B．若l的斜率為2，則MN的中點為8,12C．△MNFD．△MNF【答案】BD【分析】對A直接計算離心率即可判斷，對B，直接得到直線方程，并聯(lián)立曲線方程，利用韋達定理即可求出MN的中點坐標即可判斷，對C和D，利用雙曲線定義將三角形周長用弦長MN，則題目轉(zhuǎn)化為求MN的最值，設(shè)線聯(lián)立方程，再利用弦長公式即可得到答案.【詳解】對A，由雙曲線方程得a=1,b=3，故c=2，則離心率e=2對B，由方程知F1?2,0,F2聯(lián)立雙曲線方程化簡得x2?16x+19=0，設(shè)則x1+x2=16則y1+y22對C和D，根據(jù)雙曲線定義得MF兩式相加得MF設(shè)△MNF1的周長為C=4+2M則題目求△MNF1周長的最小值轉(zhuǎn)化為求弦長設(shè)直線l的方程為x?2=my，聯(lián)立雙曲線方程3x3m2?1y2則3m2?1≠0，即m≠±當直線l與漸近線平行時，此時m=±1若要直線l與雙曲線交點在右支上，則0≤mMN=6×m設(shè)m2+1=t∈令n=1t∈則當n=1，即m=0時，MNmin=6，此時直線l方程為故△MNF故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題對C,D選項的判斷，首先要靈活運用雙曲線定義從而得到C△MNF1=4+2MN，然后題目即轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的弦長最值問題，常用的方法是設(shè)線法，聯(lián)立雙曲線方程，得到韋達定理式，再利用弦長公式表示出MN【變式6-1】1.（多選）（2022上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xoy中，動點P與兩個定點M?2,0、N2,0連線的斜率之積等于14，記點P的軌跡為曲線E，直線l：y=kx?5與EA．E的方程為：x24?y2C．E的漸近線與圓x?52+y2=1相交 D．滿足【答案】AB【分析】設(shè)P的坐標，注意由題意可得P的縱坐標不為0，求出斜率之積，整理可得P的軌跡方程，可得判斷A；進而求出雙曲線的離心率及漸近線的方程，可得判斷B；求出圓心到漸近線的距離，可判斷C；直線l與曲線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長|AB|，由弦長的值求出k有兩個值，可判斷D．【詳解】解：設(shè)P（x，y），由題意可得kPM所以kPM×k又a2=4,b2=1漸近線的方程為：y=±12x圓心(5,0)到漸近線的距離所以直線與圓相切，故C不正確；聯(lián)立方程組y=k(x?5)x所以x1所以弦長|AB|=1+由題意可得1+k整理可得：4(k解得：k＝0（與雙曲線無交點）或k=±6所以有兩條直線滿足條件，所以D不正確．故選：AB．【變式6-1】2.（多選）（2022下·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2t?7?y2t=1的一條漸近線方程為4x?3y=0，過點A．該雙曲線的焦點在哪個軸不能確定B．該雙曲線的離心率為5C．若A和B在雙曲線的同一支上，則ABD．若A和B分別在雙曲線的兩支上，則AB【答案】BC【分析】求出t的值，可得出雙曲線C的方程，可判斷A選項；求出雙曲線C的離心率，可判斷B選項；利用弦長公式可判斷CD選項.【詳解】對于A選項，若雙曲線C的焦點在x軸上，則t?7>0t>0，可得t>7且有ba=tt?7=43，解得t=16若雙曲線C的焦點在y軸上，則雙曲線C的標準方程為y2則?t>07?t>0，可得t<0，且有a對于B選項，a=3，b=4，c=a所以，雙曲線C的離心率為e=c對于CD選項，當直線l不與x軸重合時，設(shè)直線l的方程為x=my+5，設(shè)點Ax1,聯(lián)立x=my+516x2則16m2?9≠0由韋達定理可得y1+yx1x1AB=若A和B在雙曲線的同一支上，則x1x2則AB=若A和B分別在雙曲線的兩支上且直線l不與x軸重合時，x1x2=?144若直線l與x軸重合，則A、B分別為雙曲線C的兩個頂點，則AB=2a=6故當A和B分別在雙曲線的兩支上時，AB≥6故選：BC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題CD選項中求弦長的最值，解題的關(guān)鍵在于建立弦長與某參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)的基本性質(zhì)求解.【變式6-1】3.（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2(1)求C的方程；(2)過點M的直線l交C左支于一點N，且l的斜率是12，求MN【答案】(1)x(2)MN【分析】（1）根據(jù)焦點到漸近線的距離可得b的值，再將M2,3代入雙曲線方程可得a（2）由題意得直線l的方程，代入雙曲線方程可求得N點橫坐標，在根據(jù)弦長公式即可求得MN長．【詳解】（1）雙曲線的左焦點為F1?c,0，漸近線方程為y=±則F1到漸近線的距離為?bc+0又將M2,3代入雙曲線方程得：22a故雙曲線方程為x2（2）由題意可得直線l的方程為：y?3=12x?2則y=12x+2x2?y23=1，所以所以MN=【變式6-1】4.（2023上·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）已知A1(?1,0)，A2(1,0)，動點P(x,y)滿足直線(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過原點O作直線l，直線l被曲線C截得的弦長為|AB|，將直線l向左、右分別平移2個單位長度得到直線l1，l2，且直線l1，l2被曲線C截得的弦長分別為|EF|，【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)kP（2）首先設(shè)直線l:y=kx，再求直線l1的方程，再與軌跡C【詳解】（1）因為A1(?1,0)，A2(1,0)，P(x,y)，所以所以kP所以y2=3x（2）證明：易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx，聯(lián)立方程組y=kxx2?所以x2=33?k因為|AB|=2x2+設(shè)Ex1,y1，F(xiàn)聯(lián)立方程組y=kx+2x2則x1+x所以|EF|=1+由對稱性可知|MN|=|EF|，所以|EF|+|MN|=121+k【變式6-1】5.（2023上·浙江寧波·高二期末）已知焦點在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，(1)求雙曲線C的離心率e(2)若直線y=x+2與C相交于不同的兩點A，B，且|AB|=2【答案】(1)5(2)4【分析】（1）由雙曲線C的漸近線方程結(jié)合c2=a（2）聯(lián)立直線與雙曲線C的方程，由弦長公式代入求解即可.【詳解】（1）可設(shè)雙曲線C的方程為x2a2所以ba所以離心率e=c（2）設(shè)Ax1,y1所以x1因為|AB|=1+所以2169+16×故雙曲線C的方程為4x題型7雙曲線的中點弦【例題7】（2022上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知點A，B在雙曲線x2?y2=3A．25 B．45 C．210【答案】C【分析】首先結(jié)合已知條件，利用點差法求出直線AB的斜率，進而得到直線AB的方程，然后聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理和弦長公式求解即可.【詳解】不妨設(shè)A(x1,從而x12?由兩式相減可得，(x又因為線段AB的中點為M1,2，從而x1+故y1?y直線AB的方程為：y?2=12(x?1)將y=12x+32從而x1+x故AB=故選：C.【變式7-1】1.（2023下·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知A,B為雙曲線x2?y29=1上兩點，且線段A．32 B．94 C．?9【答案】B【分析】設(shè)出A(x【詳解】設(shè)A(x1,y1兩式相減得到(x又線段AB的中點坐標為?1,?4，所以(x1?所以AB的斜率為94故選：B.【變式7-1】2.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線x2A．1,1 B．?1,2 C．1,3 D．?1,?4【答案】D【分析】根據(jù)點差法分析可得kAB【詳解】設(shè)Ax1,y1可得kAB因為A,B在雙曲線上，則x12?所以kAB對于選項A：可得k=1,kAB=9聯(lián)立方程y=9x?8x2?此時Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得k=?2,kAB=?聯(lián)立方程y=?92x?此時Δ=所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得k=3,kAB由雙曲線方程可得a=1,b=3，則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：k=4,kAB=聯(lián)立方程y=94x?此時Δ=故選：D.【變式7-1】3.（2023上·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過雙曲線C:x2?y23=1的左焦點F，且與C的左?右兩支分別交于A,B兩點，設(shè)O為坐標原點，P為ABA．±102 B．±132 C．【答案】D【分析】由點差法得kOP?kAB=3，由條件知直線OP的傾斜角為AB【詳解】設(shè)Ax由A,B均在C:x2?y2得3x12∴3=y∴kOP設(shè)直線AB的傾斜角為α，則kAB=tan∵△OFP是以FP為底邊的等腰三角形，∴直線OP的傾斜角為2α，則kOP∴tanα?∴tanα?2tan∴由對稱性知直線l的斜率為±15故選：D【點睛】中點弦定理：直線與橢圓（雙曲線）交于A，B兩點，中點為P，則有kAB此題解答過程中中點弦定理起了核心作用，通過中點弦定理建立了kAB與kOP的關(guān)系，另一方面通過△OFP是以【變式7-1】4.（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的實軸長為4，離心率為2，直線l與C交于A,B兩點，M【答案】2【分析】先求出雙曲線方程，然后聯(lián)立直線和雙曲線方程表示出M，然后判斷出直線和雙曲線一定交于兩支后進行計算.【詳解】由題知2a=4e=ca=2直線的斜率若不存在，則垂直于x軸，由于雙曲線頂點為(±2,0)，斜率不存在的直線和雙曲線有交點，則兩個交點橫坐標相等且均大于2，與點M的橫坐標為1矛盾；直線的斜率也不會為0，否則根據(jù)對稱性可知，M的橫坐標為0，矛盾.故直線斜率存在且非零.設(shè)直線方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+mx24?y設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2根據(jù)雙曲線的范圍可知，若直線和雙曲線交于同一支，則交點橫坐標均大于2或小于?2，與M的橫坐標為1矛盾，故直線和雙曲線交于兩支.由x1x2=?由0<k2故答案為：2【變式7-1】5.（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F，下頂點為A，若存在直線l【答案】0,【分析】設(shè)BC的中點為Mx0,y0,Bx1,y1【詳解】設(shè)BC的中點為MxA0,?b因為△ABC的重心為F，所以AF=即?c,b=23x0則x1又B,C在橢圓上，則有x1兩式相減得x1所以y1即kBC因為點M?所以9c24a2kBC當e2=0時，kBC2=0所以0<kBC2即直線BC斜率的取值范圍為0,2故答案為：0,2【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于對三角形重心的理解，即中線的交點，由此求出中點坐標，再運用點差法結(jié)合中點在橢圓內(nèi)計算即可.【變式7-1】6.（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖1、2，已知圓A方程為(x+2)2+y2=12，點B2,0．M是圓A上動點，線段

(1)求點N的軌跡方程；(2)記點N的軌跡為曲線Γ，過點P32,12是否存在一條直線l，使得直線l與曲線Γ交于兩點C、D【答案】(1)x(2)不存在這樣的直線l【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得點N的軌跡方程.（2）利用點差法求得直線CD的方程，聯(lián)立直線CD的方程和點N的軌跡方程聯(lián)立，根據(jù)方程組無解求得正確答案.【詳解】（1）由中垂線性質(zhì)知，NB所以|NB|?|NA|所以點N的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為23設(shè)此雙曲線方程為x2a所以點N的軌跡方程為x2（2）設(shè)Cx1兩式相減得1由題意x1+直線CD方程為y?1由y=x?1x2∵Δ=?3<0．∴不存在這樣的直線l【變式7-1】7.（2022上·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.在一次以“圓錐曲線的阿基米德三角形”為主題的數(shù)學探究活動中，甲同學以如圖示的拋物線C：y2=2px(p>0)的阿基米德三角形PAB為例，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：若AB為過焦點的弦，則：①點P在定直線上；②PF⊥AB；③PA⊥PB.已知△PAB為等軸雙曲線(1)試探究甲同學得出的結(jié)論，類比到此雙曲線情境中，是否仍然成立？（選擇一個結(jié)論進行探究即可）(2)若λ=2，弦AB的中點為Q，ABFP（注：雙曲線x2a2?【答案】(1)條件選擇，答案見解析；(2)(1,±22)【分析】（1）選①②③，設(shè)出點A，B，P的坐標，借助切線方程求出直線AB的方程，代入焦點坐標，求出點P的橫坐標，再利用斜率計算判斷作答.（2）設(shè)出直線AB的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助弦長公式及已知等式求解作答.【詳解】（1）選①，設(shè)點A(x1,y1依題意，過點A的切線方程為x1x?y而兩切線交于點P(x0,y0因此(x1,y1),(x則直線AB的方程為x0x?y0y=λ，又直線AB過點F(所以點P在定直線x=2λ選②，設(shè)點A(x1,y1依題意，過點A的切線方程為x1x?y而兩切線交于點P(x0,y0因此(x1,y1),(x則直線AB的方程為x0x?y0y=λ，又直線AB過點F(當y0=0時，點P(2λ當y0≠0時，直線AB的斜率kAB則有kAB?k所以PF⊥AB成立.選③，設(shè)點A(x1,y1依題意，過點A的切線方程為x1x?y而兩切線交于點P(x0,y0因此(x1,y1),(x則直線AB的方程為x0x?y0y=λ，又直線AB過點F(當y0=0時，點P(2λ由x=2λx2?y直線PA的斜率kPA=λ有kPA?kPB=?2所以PA⊥PB不成立.（2）當λ=2時，雙曲線Γ:x2?y2=2由x?y0y=2x2y1+y|AB|=1+|FQ|=1+y02|即22(1+y02)|所以點P的坐標是(1,±22)【點睛】結(jié)論點睛：直線l：y=kx+b上兩點A(x1,直線l：x=my+t上兩點A(x1,題型8焦三角問題【例題8】（2023下·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線C:x2?y23=1的左、右焦點分別為F1,F2，設(shè)點P為C右支上一點，PA．d+PF1的最小值為2C．直線l的斜率的取值范圍是3,+∞ D．△PF【答案】D【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合雙曲線的焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程，可得答案.【詳解】由題意，a=1，c=1+3

對于A，由題意以及圖象可知：當P與右頂點重合時，d+PF1對于B，令Px,y且x≥12對于C，由漸近線方程為y=±3x，過F2結(jié)合圖象可知：直線l的斜率的取值范圍為?∞對于D，若內(nèi)切圓與△PF1F則PD=PE，F(xiàn)1D=即F1由F1F=a+c=3，F(xiàn)2F=c?a=1，即F與右頂點重合，易知故選：D.【變式8-1】1.（2023下·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別是F1A．y=±x B．y=±C．y=±2x D．y=±【答案】B【分析】先根據(jù)圓的直徑得出垂直關(guān)系，再根據(jù)正弦值得出邊長，結(jié)合雙曲線定義可得2a，計算漸近線即可.【詳解】

因為線段F1F2為直徑的圓在第一象限交雙曲線所以AF則AF1=故選:B．【變式8-1】2.（2023上·安徽滁州·高二?？计谀┮阎p曲線x2a2?y2=1(a>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2【答案】25+4【分析】由離心率求出a、c，再由雙曲線定義結(jié)合已知可得PF1+【詳解】由題意可得b=1，c=a∵e=a∴a=3，c=2∵P為雙曲線右支上一點，∴P又∵PF∴P則△PF1F故答案為：25

【變式8-1】3.（2023下·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線x24?y23=1的左、右焦點分別為F1，【答案】π3/【分析】根據(jù)雙曲線方程求出a、b、c，再由雙曲線的定義求出|PF1|【詳解】因為雙曲線x24?y23=1因為P為雙曲線右支上一點，所以|PF1|?|P所以|PF1|=6，|P由余弦定理F1即272=62所以∠F故答案為：π【變式8-1】4.（2023上·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1、【答案】?14【分析】結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和余弦定理，即可求解.【詳解】由雙曲線的定義知，AF1?AF1?所以BF在△BF1F所以cos因為e=ca=故答案為：?1【變式8-1】5.（2022上·山西朔州·高二?？计谀┮阎p曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的虛軸長為2，離心率為52【答案】3【分析】利用雙曲線的離心率，以及虛軸長，求解a,b，得到雙曲線的方程，利用雙曲線的簡單性質(zhì)以及定義，結(jié)合余弦定理和三角形的面積公式求解即可.【詳解】由題意雙曲線x2a2故2b=2,∴b=1，又e=c則a2=4，故雙曲線的方程為由雙曲線方程可知c=5所以|F由雙曲線定義有PF兩邊平方得|PF1由余弦定理有|F即|PF1由①②可得PF故S△故答案為：3【變式8-1】6.（多選）（2022上·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┮阎p曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，左焦點為F，左右頂點分別為A1、A2，B(0,b)，PA．Γ的離心率為2 B．PC．sin∠QPA1【答案】BCD【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合雙曲線定義及三角形兩邊之和大于第三邊列式求解可判斷A；得kA1Q?kPA2=?1可判斷B；sin∠QPA【詳解】由題意，F(xiàn)(?c,0)，B(0,b)，設(shè)右焦點為F1由雙曲線定義知，|PF|?|PF1|=2a∵BP+P∴b2即b2+c

∴c2=2設(shè)P(x,y)，Q(?x,?y)，A1(?a,0)，∴kPA2=由A可得雙曲線方程為x2?y2=記PQ交x軸于點N，sin∠QPsin∠Q∴sin假設(shè)4PB≥6兩邊平方得，16[x∴2x2+2∴(y?2b)2≥0故選：BCD．【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬難題．【變式8-1】7.（多選）（2023下·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C:x2a2?y2=1(a>0)的左?右焦點分別是A．雙曲線C的離心率e=B．雙曲線C與雙曲線y2C．若點P的橫坐標為3，則直線PF1的斜率與直線PD．若∠F1PF【答案】AC【分析】根據(jù)題意，求得雙曲線的方程為C:x23【詳解】由題意，可得2c=F1F2=4所以雙曲線C:x23對于A中，由雙曲線C的離心率e=c對于B中，由雙曲線C:x23又由雙曲線y23?對于C中，由點P的橫坐標為3，不妨記P在第一象限，則P3,因為F1?2,0,對于D中，設(shè)PF2=x在△PF1F即x2+23x?4=0，解得所以△PF1F又由△PF1F所以△PF1F故選：AC.題型9和差最值問題【例題9】（2022上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知A0,4，雙曲線x24?y25=1的左、右焦點分別為A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點坐標，由雙曲線的性質(zhì)，整理PA+【詳解】由雙曲線x24?y25=1由題意，PPA+當且僅當A,P,F故選：C.【變式9-1】1.（2023上·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）已知P是雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0右支上一點，記P到雙曲線左焦點A．y=±43x B．y=±34x【答案】A【分析】由雙曲線定義得到d1=PF2+2a，故d1+d【詳解】由雙曲線定義可知：PF故d1=P過點F2作漸近線l1:y=當點P為線段F2M與雙曲線的交點時，此時最小值即為F2則bca1+b兩邊平方得：b2又a2所以4a=3b，漸近線方程為y=±b故選：A【變式9-1】2.（2022下·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)與雙曲線y23?x2=1有相同的漸近線，過雙曲線C右焦點F的直線l與雙曲線C相交于M，N兩點，弦MN的中點為G(A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由已知可得b=3a，設(shè)Mx1，y1，Nx2，y2，由點差法可得kMN【詳解】由雙曲線y23?又雙曲線C：x2∴ba=3，∴b=3設(shè)Mx1，∴3x12∴3(x又弦MN的中點為G(6，6)，∴36(x1?x2∴6?06?c=3，解得c=4，∴所以雙曲線的方程為x2由圓x2+y圓心為M(0，3)，半徑為2，(|PA|+|PB|)當且僅當M，F(xiàn)，P三點共線時取等號．故選：D．【變式9-1】3.（2022上·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知點A?2,0，B2,0，C2,2，D3,0，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是54A．29+4 B．29?4 C．5+4【答案】A【分析】設(shè)出P點坐標，求得AP、BP所在直線的斜率，由斜率之積是54列式整理即可得到點P的軌跡方程，設(shè)F?3,0，根據(jù)雙曲線的定義PD=【詳解】解：設(shè)點P坐標為(x,y)，則直線AP的斜率kPA直線BP的斜率kPB由已知有yx+2化簡得點P的軌跡方程為x2又PA<PB，所以點P的軌跡方程為x24?y25=1(x<?2)，即點P的軌跡為以A、B為頂點的雙曲線的左支（除A點），因為D3,0，設(shè)F?3,0，由雙曲線的定義可知PD=PF+4，所以PD+PC=PF+PC+4≥故選：A【變式9-1】4.（2022上·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線方程為x2m?y2m=1m>0，焦距為8，左?右焦點分別為【答案】4【分析】由焦距為8，求得m=8，即可得雙曲線方程，進而可得|PF1|+|PA|=42+PF2+|PA|【詳解】解：如圖所示，由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8，所以c=4，c2即2m=16，m=8，所以雙曲線的方程為：x2所以a=22，c=4，F(xiàn)由雙曲線定義得PF所以P|PF當P,A,F2三點共線時，P故PF故答案為：42【變式9-1】5.（2022上·廣東珠海·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x29?y27=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點.圓E：x2+【答案】5+25/【分析】利用雙曲線定義，將PF1+【詳解】由題設(shè)知，F(xiàn)1?4,0，F(xiàn)24,0，E由點P為雙曲線C右支上的動點知P∴P∴PF故答案為：5+2【變式9-1】6.（多選）（2022上·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考階段練習）已知點M(1,2)，點P是雙曲線C：x29?y216=1A．PF2C．|PM|?|PN|的最小值為5?25 D．若△DPF【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線焦半徑的結(jié)論可知A正確，由點和雙曲線的位置關(guān)系可以確定與雙曲線有一個公共點的直線條數(shù)不止2條，根據(jù)雙曲線定義和PM,PN的位置關(guān)系可判斷C，最后根據(jù)焦點三角形△DPF2的內(nèi)切圓圓心在左端點的正上方，即圓心橫坐標為【詳解】如下圖所示：由雙曲線方程和圓D方程可知，a=3,b=4,c=5，所以左焦點為D(?5,0)，右焦點F2對于A，由于P在雙曲線左支上，根據(jù)焦半徑公式可知PF對于B，由過點M的直線與雙曲線有一個公共點可知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y?2=k(x?1)，聯(lián)立直線l和雙曲線C的方程得：(16?9k①當16?9k2=0所以直線l和雙曲線C僅有一個公共點，此時直線l與雙曲線的漸近線y=±4即此時有兩條直線y?2=±4②當16?9k該方程僅有一個實數(shù)根，所以Δ=整理得2k2?k?5=0此時直線為雙曲線的切線，分別為y?2=1±414綜上可知，過點M可作與雙曲線有一個公共點的直線共有4條，所以B錯誤；對于C，由雙曲線定義可知，PFPM≥PFPN≤PD+所以，PM?對于D，如圖所示，分別設(shè)△DPF2的內(nèi)切圓與三邊切點為又因為PG=所以PF又因為A在x軸上，D(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨設(shè)由F2A?DA=6所以A(?3,0)即為雙曲線的左端點，又因為EA⊥DF所以圓心E在左端點A的正上方，即圓心橫坐標為?3，設(shè)E(?3,r)，則圓E的半徑為r，由于圓D與圓E外切，所以，(5?3)2+r故選：ACD.【變式9-1】7.（多選）（2022上·河北滄州·高二任丘市第一中學校考期末）已知點P為雙曲線x29?y216=1右支上一點，A、B分別為圓C1：A．2 B．6 C．9 D．12【答案】BC【分析】先由已知條件可知雙曲線的兩個焦點為兩個圓的圓心，再利用平面幾何知識把PA?PB轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點到兩焦點之間的距離，結(jié)合雙曲線的定義可求出【詳解】由雙曲線的方程可得a=3,b=4,c=a2+b圓C1：x+52+圓C2：x?52+所以PAmax=P所以PA?PA?所以3≤PA故選：BC題型10直線與雙曲線位置關(guān)系【例題10】（2021上·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)x，y滿足xx+yA．4?6,2 B．4?6,4 C．【答案】B【解析】將實數(shù)x，y滿足xx+yy3=1通過討論x，【詳解】解：因為實數(shù)x，y滿足xx所以當x≥0,y≥0時，y23+當x>0,y<0時，x2?y當x<0,y>0時，y23?當x<0,y<0時，?y作出圓錐曲線和雙曲線的圖像如下，其中xx任意一點(x,y)到直線3x+y?4=0的距離所以3結(jié)合圖像可得3x+y?4的范圍就是圖像上一點到直線3雙曲線x2?y23=1，通過圖形可得當曲線上一點位于P時，2d取得最小值當曲線上一點靠近雙曲線的漸近線3x+y=0時2d設(shè)3x+y+c=0(c<0)與y2由3因為Δ=23c所以直線3x+y?6=0與直線此時3直線3x+y=0與直線3x+y?4=0此時3所以3x+y?4的取值范圍是故選：B【點睛】三種距離公式：（1）兩點間的距離公式：平面上任意兩點P1(x（2）點到直線的距離公式：點P1(x1,（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+【變式10-1】1.（2023下·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的離心率e=2，A,B是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上異于A,B的動點，直線PA,PBA．?3,?32 B．32,3 C．【答案】B【分析】利用離心率求出a,b之間的關(guān)系，設(shè)出A,B,P坐標代入雙曲線方程，結(jié)合k1的范圍即可求出k【詳解】由題意，在雙曲線C:x2a2?y2∵c2=a∴C:xA,B是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上異于A,B的動點，設(shè)Px∴x12a∵直線PA,PB的斜率分別為k1，k2，且∴k1∴k故選：B.

【變式10-1】2.（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學?？计谀┮阎狥1,F2分別為雙曲線C:x24?y212=1的左?右焦點，E為雙曲線C的右頂點.過A．?∞,?4C．4，83【答案】C【分析】由題意可得|AH|=|AI|，|F1H|=|F1J|，|F2J|=|【詳解】由題意知，E(2,0)，設(shè)△AF1F2的內(nèi)切圓M分別與AF1、AF2、則|AH|=|AI|，|F1H|=|由雙曲線的定義知，|AF1|?|A所以|F所以|F設(shè)內(nèi)心M的橫坐標為x0，則點J的橫坐標為x則(c+x0)?(c?所以JM⊥x軸，則E為直線JM與x軸的交點，同理可得：△BF設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則∠EF2M=所以|ME|+|NE|=(c?a)tanπ?θ由題意知，a=2，b=23，所以c=所以|ME|+|NE|=4又因為雙曲線C的漸近線方程為y=±3x，過所以π3所以32所以4≤4故選：C.【變式10-1】3.（2022上·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于曲線C:xx①曲線C經(jīng)過第一、二、四象限；②曲線C與坐標軸圍成的面積為π2③直線x+y=m與曲線C最多有兩個公共點；④直線x?y=m與曲線C有且僅有一個公共點.其中所有真命題的序號是（填上所有正確命題的序號）.【答案】①③④【分析】分x≥0,y≥0，x<0,y>0，x>0,y<0，x<0,y<0四種情況討論，去絕對值符號，作出曲線的圖象，根據(jù)圖象逐一分析即可.【詳解】當x≥0,y≥0，可得曲線方程為x2當x<0,y>0，可得曲線方程為y2當x>0,y<0，可得曲線方程為x2當x<0,y<0，曲線方程為?x作出曲線得圖象，如圖所示，由圖可知，曲線C經(jīng)過第一、二、四象限，故①正確；②中，圍成的面積S＝S=14?③中，因為直線x+y=m的斜率與雙曲線的漸近線的斜率相等，圓心O到直線的距離d=|m|2=1則m=2當m∈0,當m>2或m≤0所以直線x+y=m與曲線C最多有兩個公共點，故③正確；④由圖象知直線x?y=m與曲線C有且僅有一個公共點，故④正確.故答案為：①③④.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：去絕對值符號，作出曲線的圖象，是解決本題的關(guān)鍵.【變式10-1】4.（多選）（2023下·江蘇南通·高二期末）雙曲線x2?yA．324 B．2 C．3【答案】AC【分析】設(shè)出切線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)過點能作該雙曲線的兩條切線，求得a的取值范圍，即可求得雙曲線的離心率的取值范圍，從而可得答案.【詳解】斜率不存在時不合題意，所以直線切線斜率一定存在，設(shè)切線方程是y?2=k(x?2)，由x2?y顯然a2?k由Δ=0得16k2由題意此方程有兩不等實根，所以Δ1=64?12(4+a則c2=1+a2<即1<e<21k=±a代入方程3k2?8k+4+a2綜上，e的范圍是1,故選：AC

【變式10-1】5.（多選）（2023上·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x29+y25=1的焦點相同，雙曲線E的左右焦點分別為F1?F2A．雙曲線E的漸近線方程為y=±B．過點1，1存在兩條直線與雙曲線C．點P在變化過程中，△AF1D．若PF1⊥PF【答案】AC【分析】結(jié)合雙曲線的定義、圓的切線長定理求得a,b，從而求得雙曲線E的方程，結(jié)合雙曲線的漸近線、直線和雙曲線的交點、焦點三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓面積等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題可得F1因為△PAF2的內(nèi)切圓與邊AF2相切于點B，設(shè)△PAF由切線長定理可知PM=PN，所以PF1?PF∴a=1,c=2,b=4?1所以雙曲線E的方程為x2對A，由題可得雙曲線E的漸近線方程為y=±b對B，由雙曲線的性質(zhì)可知過點1，又過點1，1的直線斜率不存在時，即x=1與雙曲線故過點1，1的直線存在三條直線與雙曲線對C，因為△AF1F2面積為當AF1與漸近線平行時，不妨設(shè)AF1:y=當PF2與另一條漸近線平行時，不妨設(shè)PF解得x=54,y=334，即P5所以yA∈6對D，當PF1⊥PF2時，則P故△PAF2的內(nèi)切圓的周長為△PF1F由題可知Rt△PF1F2～Rt所以S△AF1F2=1則S△PAF2=47?7故選：AC.【點睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法有：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．【變式10-1】6.（2023上·河北·高三校聯(lián)考期末）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F?2,0，其一漸近線的傾斜角為π6(1)求雙曲線C的方程．(2)已知點A?1,0，點B32,0，直線BM、BN與y軸分別交于點P、Q，若四邊形【答案】(1)x(2)x±y?2=0【分析】（1）由雙曲線過焦點以及漸近線的傾斜角列出a,b的等量關(guān)系，求解a,b,c的值，從而求出雙曲線方程；（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，與雙曲線聯(lián)立，韋達定理表示M,N兩點坐標之間的關(guān)系，利用M,N兩點坐標表示BM,BN并計算P,Q兩點坐標，代入等式OP?OQ=OA?【詳解】（1）由題意知：c2=∴雙曲線C的方程為x（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2聯(lián)立方程x=my+2得m設(shè)Mx1則y1+直線BM為y=令x=0，得y=∴P點為0,同理，Q為0,∵四邊形APBQ存在外接圓需OP?即OP即?39得?644得43m2=3

∴直線l為x=±y+2即x±y?2=0題型11取值范圍問題【例題11】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點分別為F1,F2，離心率為2，焦點到漸近線的距離為6.過FA．22,4 B．3,2 C．2,【答案】D【分析】求出雙曲線的解析式，根據(jù)△AF1F2與△BF1F2的內(nèi)心求出F1【詳解】由題意，在C:x2a∴e=ca=∴c=∴雙曲線的方程為C:x

記△AF1F2的內(nèi)切圓在邊AF1，則H，E橫坐標相等AM=AN，F(xiàn)1由AF1?A得MF1?N記H的橫坐標為x0，則E于是x0+c?c?同理內(nèi)心G的橫坐標也為a，故HG⊥x軸.設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則∠OF2G=在△HFHG=由于直線l與C的右支交于兩點，且C的一條漸近線的斜率為ba=3∴60°<θ<120∴HG的范圍是22故選：D.【點睛】本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)、三角恒等變換，考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想，以及角度的取值范圍，具有極強的綜合性.【變式11-1】1.（2022上·江蘇揚州·高二江蘇省邗江中學?？计谥校┮阎狥1,F2分別為雙曲線C:x24?y212=1的左?右焦點，E為雙曲線C的右頂點.過A．?∞,?4C．?335【答案】B【分析】設(shè)AF1,??AF2設(shè)直線AB的傾斜角為θ，由A,B均在雙曲線右支結(jié)合漸近線斜率可得θ∈π3,【詳解】由題意，a=2,??b=23設(shè)AF1,??A由AF1?∴xJ=2，即J與E重合，又MJ⊥x軸，故xM設(shè)直線AB的傾斜角為θ，∵A,B均在雙曲線右支，則tanθ<?ba或tanθ>ba,∵∠EF2M=當θ=π2時，ME?NE=0綜上，ME?NE的取值范圍是故選：B【變式11-1】2.（2022上·江西宜春·高三?？奸_學考試）已知F1,F2分別為雙曲線C:x24?y212=1的左?右焦點，E為雙曲線C的右頂點.過F2A．?∞,?4C．?335【答案】B【分析】由內(nèi)心的性質(zhì)，可知M，N的橫坐標都是a，得到MN⊥x軸，設(shè)直線AB的傾斜角為θ，有∠EF2M=【詳解】設(shè)AF1,AF2則|AH|=|AI|,F由AF1?∴HF1?設(shè)內(nèi)心M的橫坐標為x0，由JM⊥x軸得點J的橫坐標也為x0，則得x0=a，則E為直線同理可得△BF1F設(shè)直線AB的領(lǐng)斜角為θ，則∠EF|ME|?|NE|=(c?a)=(c?a)?cos當θ=π2時，當θ≠π2時，由題知，因為A，B兩點在雙曲線的右支上，∴π3<θ<2π3，且θ≠π∴?33<∴|ME|?|NE|=4綜上所述，|ME|?|NE|=4故選：B.【變式11-1】3.（2019下·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）已知F1,F2為雙曲線x2A．33,+∞ B．43,+∞ C．【答案】A【分析】求出雙曲線的a、b、c的值及MF2，MF2，設(shè)M(x,y)，y＞0，可求出M(?52,332)，可得【詳解】解：由F1,F2為雙曲線x24?F1(?4,0),F2(4,0)，可得MF2?MF1=4設(shè)M(x,y)，且y＞0，由點M在曲線上，且MF可得：x24?y2可得：kMF1可得直線MF1的斜率與漸近線斜率相等，故在右支上不存在斜率與M則△MF1P面積最小時為xp→+∞且P點位于第一象限內(nèi)，此時點P到線段M易得MF1的直線方程為：y=3x+43，可得漸近線y=3x上(0,0)到直線M當xp→+∞且P點位于第四象限內(nèi)，SΔM故可得：ΔMF1P故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學生的解析求解能力，求出M坐標及直線MF1的斜率，利用【變式11-1】4.（2019下·安徽·高二校聯(lián)考期末）若實軸長為2的雙曲線C:y2a2?x2b2A．(677,+∞) B．(0,67【答案】C【分析】設(shè)點Px,y，由PB=2PA結(jié)合兩點間的距離公式得出點P的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為雙曲線C與點P的軌跡有4個公共點，并將雙曲線C的方程與動點P的軌跡方程聯(lián)立，由Δ>0【詳解】依題意可得a=1，設(shè)P(x,y)，則由|PB|=2|PA|，得(x?1)2+y由y2?x依題意可知Δ=1009?8(1+則雙曲線C的虛軸長2b>218【變式11-1】5.(多選)（2023上·河北唐山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：x2?y23A．若PF1B．存在點P，滿足PC．P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為3D．△PF1【答案】ACD【分析】利用數(shù)量積坐標運算表示PF1?PF【詳解】設(shè)雙曲線的實半軸為a，虛半軸為b，半焦距為c，則雙曲線x2?y23=1的焦點F1的坐標為?2,0，F(xiàn)設(shè)點P的坐標為m,n，則m≥1，m2對于A，因為PF所以P所以1+n所以?32≤n≤對于B，由已知PF1=4所以PF2=對于C，點P到兩漸近線的距離的積為3m+n對于D，因為P,F1,可設(shè)直線PF1的方程為y=kx+2聯(lián)立x2?y23方程3?kΔ=16由已知?4k2?33?k故?3<k<0或設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為E，△PF因為PF1?PF所以MF設(shè)∠PF1F又△PF1F2內(nèi)切圓半徑故選：ACD.【點睛】本題為雙曲線的綜合性問題，考查雙曲線的定義，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的性質(zhì)，難度較大.題型12最值問題【例題12】