【教無憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）4.3 對數(shù)（九大題型）

4.3對數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：對數(shù)的定義 4題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用 6題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值 8題型四：積、商、冪的對數(shù) 9題型五：一類與對數(shù)有關(guān)方程的求解問題 10題型六：對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用 12題型七：換底公式的運(yùn)用 15題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式 17題型九：證明常見的對數(shù)恒等式 19

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一、對數(shù)概念1、對數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：．其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識點詮釋：對數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即；（2）1的對數(shù)為0，即；（3）底的對數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，．以e（e是一個無理數(shù)，）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，簡記為．4、對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識點二、對數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和；推廣：（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)；知識點詮釋：（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：，，．知識點三、對數(shù)公式1、對數(shù)恒等式：2、換底公式同底對數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個重要的結(jié)論：．【典型例題】題型一：對數(shù)的定義【典例1-1】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）在對數(shù)式中，實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使對數(shù)式有意義，需滿足，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．故選:D.【典例1-2】（2024·高一·江蘇南通·階段練習(xí)）已知對數(shù)式有意義，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意義可知，解得且，所以a的取值范圍為.故選：B【方法技巧與總結(jié)】對數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．【變式1-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）使有意義的實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．故選：C.【變式1-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）對數(shù)式M＝log(a－3)(10－2a)中，實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－∞，5) B．(3，5)C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5)【答案】D【解析】由題意得，解得3<a<4或4<a<5，即a的取值范圍是(3，4)∪(4，5)．故選：D.【變式1-3】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）下列說法中錯誤的是（

）A．零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù) B．任何一個指數(shù)式都可化為對數(shù)式C．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù) D．以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)【答案】B【解析】由對數(shù)的概念知，指數(shù)式中，只有，且的指數(shù)式才可以化為對數(shù)式，因此零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，把以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，故選：B【變式1-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在b＝log3a－1(3－2a)中，實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意義，則，解得或.故選：B.題型二：指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用【典例2-1】將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1），運(yùn)用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（2），運(yùn)用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（3），運(yùn)用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（4），運(yùn)用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（5），運(yùn)用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（6），運(yùn)用指數(shù)對數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.【典例2-2】求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得．（2）∵，∴，∴．（3）∵，∴，∴．（4）∵，∴，∴．【方法技巧與總結(jié)】對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.【變式2-1】將下列指數(shù)式與對數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，可知可化為.（2）根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，可知可化為.（3）根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系，可化為（4）根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系，可化為【變式2-2】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【變式2-3】（2024·高一·全國·課前預(yù)習(xí)）將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）因為，所以有：.（2）因為，所以有：.（3）因為，所以有：.（4）因為，所以有：.（5）因為，所以有：.（6）因為，所以有：.題型三：利用對數(shù)恒等式化簡求值【典例3-1】（2024·河南·高三階段練習(xí)）計算：___________．（可保留根式）【答案】【解析】．故答案為：【典例3-2】（2024·上海市楊浦高級中學(xué)高一期中）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C【方法技巧與總結(jié)】對數(shù)恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對數(shù)形式；③其值為真數(shù).【變式3-1】（2024·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡：＝________．【答案】2【解析】．故答案為：2．題型四：積、商、冪的對數(shù)【典例4-1】（2024·高一·浙江嘉興·期中）計算：．【答案】1【解析】故答案為：【典例4-2】（2024·高一·北京·期中）計算：.【答案】2【解析】.故答案為：2.【方法技巧與總結(jié)】利用對數(shù)恒等式、對數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡是化簡對數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們．在運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對數(shù)運(yùn)算對應(yīng)著對數(shù)的和、差、積得運(yùn)算．【變式4-1】（2024·高一·湖南·期中）.【答案】6【解析】.故答案為：6.【變式4-2】（2024·高一·河南·期末）.【答案】/0.5【解析】.故答案為：.【變式4-3】（2024·高一·江蘇南京·期中）=．【答案】【解析】故答案為：題型五：一類與對數(shù)有關(guān)方程的求解問題【典例5-1】（2024·高一·上?！て谥校╆P(guān)于的方程的解集為．【答案】【解析】因為，可得，所以方程的解集為.故答案為：.【典例5-2】（2024·高一·上海浦東新·期中）若方程的兩個解為，，求的值為．【答案】【解析】由題意：，又．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】直接利用定義法或者換元法【變式5-1】（2024·高一·上?！卧獪y試）已知方程的兩個實數(shù)根為、，則的值是．【答案】36【解析】、是方程的兩個實數(shù)根所以，則．故答案為：36【變式5-2】（2024·高一·上?！て谥校┘住⒁覂扇送瑫r解關(guān)于的方程：.甲寫錯了常數(shù)，得兩根為及；乙寫錯了常數(shù)，得兩根及，則這個方程的真正的根為【答案】或【解析】原方程可變形為：甲寫錯了，得到根為及，；又乙寫錯了常數(shù)，得到根為及，；原方程為，即，或，或.故答案為：或.【變式5-3】（2024·高一·上海·階段練習(xí)）設(shè)方程，的兩個實數(shù)根為a和b，則【答案】【解析】令，則，解得或，即或，解得或，所以，或，，所以.同理可求時，結(jié)果也為，故答案為：【變式5-4】（2024·高一·廣東惠州·期中）記，則關(guān)于的方程的解集為.【答案】【解析】因為，所以方程可化為，令，則可化為，解得或（舍去），所以，故，所以方程的解集為.故答案為：.題型六：對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【典例6-1】（2024·高一·浙江寧波·期中）求值(1)(2)【解析】（1）原式.（2）原式.【典例6-2】（2024·高一·浙江寧波·期中）計算下列各式的值.(1)(2)【解析】（1）.（2）.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來.【變式6-1】（2024·高一·江蘇南京·期中）求下列各式的值．(1)(2)【解析】（1）原式.（2）原式.【變式6-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）計算下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）由對數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)的換底公式，可得：；（2）由對數(shù)的運(yùn)算法則，可得【變式6-3】化簡下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.題型七：換底公式的運(yùn)用【典例7-1】（2024·高三·山東泰安·階段練習(xí)）已知，則=【答案】1【解析】由于，故，故，則.故答案為：1【典例7-2】（2024·高一·上海·期中）若實數(shù)，且，則.【答案】1【解析】因為，所以，由，解得或（舍去），所以，即，所以，故答案為：1【方法技巧與總結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．（2）題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時，要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用．【變式7-1】（2024·寧夏·模擬預(yù)測）若，則.【答案】【解析】若，則.故答案為：.【變式7-2】（2024·高二·上?！ら_學(xué)考試）已知，則.【答案】1【解析】因為，所以，，所以.故答案為：.【變式7-3】（2024·高三·天津·階段練習(xí)）已知，且，則的值為．【答案】【解析】由，則，，則，因此可得，故答案為：.【變式7-4】（2024·高二·寧夏石嘴山·期末）設(shè)，若，則．【答案】3【解析】由整理得：，解得或，即（舍去）或.故答案為：3【變式7-5】（2024·高一·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知，則．【答案】1【解析】，則，，．故答案為：．【變式7-6】（2024·高一·北京·開學(xué)考試）已知，且，，則．【答案】4【解析】，且，即，設(shè)，則，，解得或（舍去），即，，，，，解得或（舍去），所以．故答案為：．題型八：由已知對數(shù)求解未知對數(shù)式【典例8-1】（2024·高一·江蘇徐州·期中）已知，，則（用、表示）【答案】/【解析】因為，則，又因為，所以，.故答案為：.【典例8-2】（2024·高一·上?！て谥校┮阎?，，則（結(jié)果用、表示）.【答案】【解析】由，則，又，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換.【變式8-1】（2024·高一·浙江嘉興·期中）已知，，則（用，表示）等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，則故選：D【變式8-2】（2024·高一·北京通州·期中）已知，，那么用含a、b的代數(shù)式表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由換底公式，.故選：B.【變式8-3】（2024·高一·江蘇南通·期中）已知，，則（

）（結(jié)果用，表示）A． B． C． D．【答案】A【解析】將已知代入得：．故選：A．【變式8-4】（2024·高一·湖北武漢·期中）已知，，則可以用、表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴．故選：B．【變式8-5】（2024·高一·陜西渭南·期末）已知，，則用，表示【答案】【解析】由，，可得，又由.故答案為：.題型九：證明常見的對數(shù)恒等式【典例9-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)，其中，，均大于，且都不為，，求證：．【解析】依題意、、均不為，令，且，則，，．因為，所以，即，所以，即．【典例9-2】（2024·高一·上?！卧獪y試）已知a、b、c為正實數(shù)，且a、b、c均不等