備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第9節(jié)-函數(shù)模型及其應(yīng)用

第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.在實(shí)際情境中,會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題,利用計(jì)算工具,比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異,理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí)意義.1.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0)二次函數(shù)型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)函數(shù)型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)對數(shù)函數(shù)型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),a>0且a≠1,b≠0)冪函數(shù)型f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a≠0)2.三種函數(shù)模型性質(zhì)的比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調(diào)

單調(diào)

單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與平行

隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與平行

隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xn<ax1.“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數(shù)增長”先慢后快,其增長量成倍增加,常用“指數(shù)爆炸”來形容;“對數(shù)增長”先快后慢,其增長速度緩慢.2.函數(shù)f(x)=x+ax(1)該函數(shù)在(-∞,-a)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在[-a,0)和(0,a]上單調(diào)遞減.(2)當(dāng)x>0時(shí),x=a時(shí)取最小值2a,當(dāng)x<0時(shí),x=-a時(shí)取最大值-2a.1.(必修第一冊P156習(xí)題T14改編)在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中,某同學(xué)運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到如下一組數(shù)據(jù):x-2-1123y0.240.512.023.988.02在以下四個(gè)函數(shù)模型(a,b為待定系數(shù))中,最能反映x,y函數(shù)關(guān)系的是()A.y=a+bx B.y=a+bC.y=a+logbx D.y=a+bx2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34A.3 B.4 C.5 D.63.人們通常以分貝(符號dB)為單位來表示聲音強(qiáng)度的等級,其中0dB是人能聽到的等級最低的聲音.一般地,如果強(qiáng)度為x的聲音對應(yīng)的等級為f(x)dB,則有f(x)=10lgx1×1A.100 B.1000 C.1100 D.4.某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水,作出了以下規(guī)定:每位職工每月用水不超過10m3的,按每立方米m元收費(fèi);用水超過10m3的,超過部分加倍收費(fèi).某職工某月繳水費(fèi)16m元,則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為m3.5.某桶裝水經(jīng)營部每天的固定成本為420元,每桶水的進(jìn)價(jià)為5元,日均銷售量y(桶)與銷售單價(jià)x(元)的關(guān)系式為y=-30x+450,則該桶裝水經(jīng)營部要使利潤最大,銷售單價(jià)應(yīng)定為元.

利用圖象刻畫變化過程1.設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0),某人騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘,在乙地休息10分鐘后,他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘,則此人從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()2.某部門為盡快穩(wěn)定菜價(jià),提出四種綠色運(yùn)輸方案.據(jù)預(yù)測,這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測的運(yùn)輸任務(wù)Q0,各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,在這四種方案中,運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的路程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述正確的是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5kmB.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80km/h的速度行駛1h,消耗10L汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢,驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案.已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動(dòng),排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物,降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度,送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn),教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應(yīng)小于等于0.1%.經(jīng)測定,剛下課時(shí),空氣中含有0.2%的二氧化碳,若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為y%,且y隨時(shí)間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=0.05+λe-tA.10分鐘 B.14分鐘C.15分鐘 D.20分鐘已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,明確哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實(shí)際問題.[針對訓(xùn)練](2021·山東濰坊三模)某地區(qū)為落實(shí)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,幫助農(nóng)民脫貧致富,引入一種特色農(nóng)產(chǎn)品種植,該農(nóng)產(chǎn)品上市時(shí)間僅能維持5個(gè)月,預(yù)測上市初期和后期會因產(chǎn)品供應(yīng)不足使價(jià)格持續(xù)上漲,而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌.經(jīng)研究其價(jià)格模擬函數(shù)為f(t)=t(t-3)2+n(0≤t≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此類推),若f(2)=6,為保護(hù)農(nóng)戶的經(jīng)濟(jì)效益,當(dāng)?shù)卣?jì)劃在價(jià)格下跌時(shí)積極拓寬外銷,請你預(yù)測該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格下跌的月份為()A.5月和6月 B.6月和7月C.7月和8月 D.8月和9月構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題角度一構(gòu)建二次函數(shù)、分段函數(shù)模型某農(nóng)業(yè)合作社生產(chǎn)了一種綠色蔬菜共14噸,如果在市場上直接銷售,每噸可獲利0.2萬元;如果進(jìn)行精加工后銷售,每噸可獲利0.6萬元,但需另外支付一定的加工費(fèi),總的加工費(fèi)P(萬元)與精加工的蔬菜量x(噸)有如下關(guān)系:P=120(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)精加工蔬菜多少噸時(shí),總利潤最大,并求出最大利潤.1.實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出,而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成,因此需要構(gòu)建分段函數(shù)模型.2.分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).3.二次函數(shù)是常用的函數(shù)模型,建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的值域或最值.解決實(shí)際中的優(yōu)化問題時(shí),一定要分析自變量的取值范圍.利用配方法求最值時(shí),一定要注意對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系:若對稱軸在給定的區(qū)間內(nèi),可在對稱軸處取最值,在離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取另一最值;若對稱軸不在給定的區(qū)間內(nèi),最值都在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.角度二構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模型(2021·河北“五個(gè)一”名校高三聯(lián)考)某大學(xué)2013年在校本科生有4500人,研究生有500人,預(yù)計(jì)在今后若干年內(nèi),該學(xué)校本科生每年比上一年增長12.5%,研究生每年比上一年增長50%,則從年開始該校研究生的人數(shù)占該校本科生和研究生總?cè)藬?shù)的比例首次達(dá)到50%以上.(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)

增長率問題,在實(shí)際問題中?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型y=N(1+p)x(其中N是基礎(chǔ)數(shù),p為增長率,x為時(shí)間)或冪函數(shù)模型y=a(1+x)n(其中a為基礎(chǔ)數(shù),x為增長率,n為時(shí)間)的形式表示.求解時(shí)要注意指數(shù)、對數(shù)式的互化以及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用.角度三構(gòu)建對數(shù)函數(shù)模型(2021·廣東高三聯(lián)考)核酸檢測分析是用熒光定量PCR法,通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號,對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)檢測,在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期,熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閾值時(shí),DNA的數(shù)量Xn與擴(kuò)增次數(shù)n滿足:lgXn=nlg(1+p)+lgX0,其中p為擴(kuò)增效率,X0為DNA的初始數(shù)量.已知某被測標(biāo)本DNA擴(kuò)增5次后,數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0倍,那么該標(biāo)本的擴(kuò)增效率p約為(參考數(shù)據(jù):100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)()A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631涉及與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型問題,應(yīng)結(jié)合函數(shù)解析式以及對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.求解時(shí)注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化,以及實(shí)際問題中的條件限制.角度四構(gòu)建y=x+ax運(yùn)貨卡車以xkm/h的速度勻速行駛300km,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:km/h),假設(shè)汽油價(jià)格是每升6元,汽車每小時(shí)耗油(4+x2420)L,司機(jī)的工資是每小時(shí)46元.則這次行車的總費(fèi)用的最低值是1.解決實(shí)際問題時(shí)一般可以直接建立f(x)=ax+bx的模型,有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)=ax+b2.利用模型f(x)=ax+bx[針對訓(xùn)練]1.(2021·百校聯(lián)盟高三聯(lián)考)大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q.科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)v與log3Q100①v與log3Q100的正比例系數(shù)為k=1②當(dāng)v=2m/s時(shí),鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為2700;③當(dāng)鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為100時(shí),游速v=1e則正確說法的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.