2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第五章三角函數(shù)解三角形解三角形理

PAGEPAGE1解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．3．測(cè)量中的有關(guān)幾個(gè)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ概念方法微思索1．若角α，β在第一象限，α>β能否推出sinα>sinβ？在△ABC中，A>B是否可推出sinA>sinB?提示第一象限的角α>β不能推出sinα>sinβ.在△ABC中，由A>B可推出sinA>sinB.2．在△ABC中，已知a，b和銳角A，探討a，b，sinA滿意什么條件時(shí)，三角形無解，有一解，有兩解．提示圖形關(guān)系式a<bsinAbsinA<a<ba＝bsinA或a≥b解的個(gè)數(shù)無解兩解一解1．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在中，，，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理可得；故；，故選．2．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）在中，，，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，可得，，則．故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，則A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，解得，．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）在中，，，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，，則．故選．5．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若的面積為，則A． B． C． D．【答案】C【解析】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．的面積為，，，，．故選．6．（2024?山東）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若為銳角三角形，且滿意，則下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，滿意，可得：，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，由正弦定理可得：．故選．7．（2024?浙江）在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則___________，___________．【答案】，【解析】在直角三角形中，，，，，在中，可得，可得；，，即有，故答案為：，．8．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則的面積為___________．【答案】【解析】由余弦定理有，，，，，，，故答案為：．9．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，則___________．【答案】【解析】，由正弦定理可得：，，，可得：，可得：，，．故答案為：．10．（2024?上海）在中，，，且，則___________．【答案】【解析】，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案為：．11．（2024?江蘇）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為___________．【答案】9【解析】由題意得，即，得，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故答案為：9．12．（2024?浙江）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，，，則___________，___________．【答案】，3【解析】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．，，，由正弦定理得：，即，解得．由余弦定理得：，解得或（舍，，．故答案為：，3．13．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，則的面積為___________．【答案】【解析】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．，利用正弦定理可得，由于，，所以，所以，則由于，則：，①當(dāng)時(shí)，，解得，所以．②當(dāng)時(shí)，，解得（不合題意），舍去．故：．故答案為：．14．（2024?北京）若的面積為，且為鈍角，則___________；的取值范圍是___________．【答案】；【解析】的面積為，可得：，，可得：，所以，為鈍角，，，，．．故答案為：；．15．（2024?天津）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ）由余弦定理以及，，，則，，；（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；（Ⅲ）由，及，可得，則，，．16．（2024?北京）在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和的面積．條件①：，；條件②：，．注：假如選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】選擇條件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，，，，即，聯(lián)立，解得，，故．（Ⅱ）在中，，，由正弦定理可得，，．選擇條件②（Ⅰ）在中，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，故；（Ⅱ）在中，，，17．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．（1）若，，求的面積；（2）若，求．【解析】（1）中，，，，，（負(fù)值舍去），，．（2），即，化簡(jiǎn)得，，，，，．18．（2024?山東）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，_______？注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】①．中，，即，，，，，，．②．中，，．，即，．，．③．，即，又，，與已知條件相沖突，所以問題中的三角形不存在．19．（2024?江蘇）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．已知，，．（1）求的值；（2）在邊上取一點(diǎn)，使得，求的值．【解析】（1）因?yàn)?，，．，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，在三角形中，易知為銳角，由（1）可得，所以在三角形中，，因?yàn)?，所以，所以?0．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，證明：是直角三角形．【解析】（1），，解得，，；（2）證明：，，由正弦定理可得，，，，，，可得，可得是直角三角形，得證．21．（2024?浙江）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范圍．【解析】（Ⅰ），，，，為銳角三角形，，（Ⅱ）為銳角三角形，，，，為銳角三角形，，，解得，，，，的取值范圍為，．22．（2024?上海）如圖，為海岸線，為線段，為四分之一圓弧，，，，．（1）求的長(zhǎng)度；（2）若，求到海岸線的最短距離．（精確到【解析】（1）由題意可得，，弧所在的圓的半徑，弧的長(zhǎng)度為；（2）依據(jù)正弦定理可得，，，，，到海岸線的最短距離為23．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，．已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【解析】（1），即為，可得，，，若，可得，不成立，，由，可得；（2）若為銳角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形為銳角三角形，可得且，且，解得，可得面積，．24．（2024?天津）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在三角形中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因?yàn)?，得，，由余弦定理可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，從而，，故?5．（2024?北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ），，．由余弦定理，得，，；（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，，，，為銳角，，．26．（2024?江蘇）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．（1）若，，，求的值；（2）若，求的值．【解析】（1）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．，，，由余弦定理得：，解得．（2），由正弦定理得：，，，，，．27．（2024?北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（1），，．由余弦定理，得，，；（2）在中，，，由正弦定理有：，，．28．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．設(shè)．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．．，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．29．（2024?全國(guó)）在中，角、、對(duì)應(yīng)邊、、，外接圓半徑為1，已知．（1）證明；（2）求角和邊．【解析】（1）在中，角、、對(duì)應(yīng)邊、、，外接圓半徑為1，由正弦定理得：，，，，，，化簡(jiǎn)，得：，故．解：（2），，解得，．30．（2024?天津）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┰O(shè)，，求和的值．【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，得，又．，即，，又，．（Ⅱ）在中，，，，由余弦定理得，由，得，，，，，．31．（2024?北京）在中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求邊上的高．【解析】（Ⅰ），，即是銳角，，，由正弦定理得得，則．（Ⅱ）由余弦定理得，即，即，得，得或（舍，則邊上的高．32．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）在平面四邊形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】（1），，，．由正弦定理得：，即，，，，．（2），，，．1．（2024?武昌區(qū)校級(jí)模擬）珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐亞板塊碰撞擠壓形成的．這種擠壓始終在進(jìn)行，珠穆朗瑪峰的高度也始終在改變．由于地勢(shì)險(xiǎn)峻，氣候惡劣，通常采納人工攀登的方式為珠峰“量身高”．攀登者們肩負(fù)高精度測(cè)量?jī)x器，采納了分段測(cè)量的方法，從山腳起先，直到到達(dá)山頂，再把全部的高度差累加，就會(huì)得到珠峰的高度年5月，中國(guó)珠峰高程測(cè)量登山隊(duì)8名隊(duì)員起先新一輪的珠峰測(cè)量工作．在測(cè)量過程中，已知直立在點(diǎn)處的測(cè)量覘標(biāo)高10米，攀登者們?cè)谔帨y(cè)得到覘標(biāo)底點(diǎn)和頂點(diǎn)的仰角分別為，，則、的高度差約為A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米【答案】C【解析】依據(jù)題意畫出如圖的模型，則，，，所以，，所以，所以在中，（米．故選．2．（2024?廬陽區(qū)校級(jí)模擬）如圖，為測(cè)得河對(duì)岸鐵塔的高，先在河岸上選一點(diǎn)，使在鐵塔底的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)的仰角為，再由點(diǎn)沿北偏東方向走到位置，測(cè)得，則鐵塔的高為A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，．，解得．在中，．故選．3．（2024?平陽縣模擬）在中，，點(diǎn)在線段上，且滿意，則的最小值為A．0 B． C． D．【答案】D【解析】如圖：令，且．所以，．，易知．可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，．又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可知．故選．4．（2024?焦作四模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，的面積為4，是方程的一個(gè)根，則的最小值為A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由得或．因?yàn)椋?，所以．由余弦定理得（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．因?yàn)榈拿娣e為4，所以，所以，所以，所以的最小值為．故選．5．（2024?長(zhǎng)春四模）如圖，為測(cè)量某公園內(nèi)湖岸邊，兩處的距離，一無人機(jī)在空中點(diǎn)處測(cè)得，的俯角分別為，，此時(shí)無人機(jī)的高度為，則的距離為A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，由題意作，可得，，，則，，在中，，在中，，，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以．故選．6．（2024?邯鄲二模）如圖，在中，．是邊上的高，若，則的面積為A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】．故選．7．（2024?武昌區(qū)模擬）一艘海輪從處動(dòng)身，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)處，在處有一座燈塔，海輪在處視察燈塔，其方向是南偏東，在處視察燈塔，其方向是北偏東，那么，兩點(diǎn)間的距離是A．6海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】由題意可知：．，，．又．在中，由正弦定理得，即，．故選．8．（2024?山東模擬）泉城廣場(chǎng)上聳立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)記和象征．為了測(cè)量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，沿點(diǎn)向北偏東前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，則“泉標(biāo)”的高度為A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意，畫出圖形為：所以，，，設(shè)，所以，，在中，利用余弦定理的應(yīng)用，，解得．故選．9．（2024?開封三模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則___________，的面積為___________．【答案】，【解析】由正弦定理得．將代入上式得：，故．所以．故答案為：，．10．（2024?昆明一模）在中，，，，在線段上，若與的面積之比為，則___________．【答案】1【解析】因?yàn)榕c的面積之比為，故；故；；；故答案為：1．11．（2024?貴州模擬）如圖所示，在山腳測(cè)得山頂?shù)难鼋菫椋貎A斜角為的斜坡向上走146.4米到達(dá)，在測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，則山高_(dá)__________米．，，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后1位）【答案】282.8【解析】，．，在中，由正弦定理得，即，（米．故答案為：282.8．12．（2024?香坊區(qū)校級(jí)二模）在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿意，，則___________；若，則的面積___________．【答案】1；【解析】依題意及正弦定理得，且，因此，，當(dāng)時(shí)，，．又，因此，，則的面積．故答案為：1；．13．（2024?海南模擬）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，．，分別為方程的兩根．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．【解析】（Ⅰ）方程可化為，解得，；因?yàn)?，，所以，，所以，；因?yàn)?，所以．（結(jié)果寫成也對(duì)）（Ⅱ）由正弦定理，所以，所以的面積為．（結(jié)果寫成也對(duì)）14．（2024?北京模擬）已知，，，分別為內(nèi)角，，，的對(duì)邊，若同時(shí)滿意下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④．（Ⅰ）滿意有解三角形的序號(hào)組合有哪些？（Ⅱ）在（Ⅰ）全部組合中任選一組，并求對(duì)應(yīng)的面積．【解析】由①可得，，由②可得，解可得，（舍或，由為三角形的內(nèi)角可得，①②不能同時(shí)成立，所以滿意有解三角形的序號(hào)組合有①③④或②③④，（Ⅱ）選擇①③④，由余弦定理可得，，所以，即，解可得，，，選②③④，由余弦定理可得，，，解可得，，．15．（2024?大興區(qū)一模）在中，，，且的面積為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若為上一點(diǎn)，且______，求的值．從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．【解析】（Ⅰ）由于，，，解得；由余弦定理得，解得；（Ⅱ）若選①，則當(dāng)時(shí)，在中，由正弦定理，即，所以；因?yàn)?，所以；所以，即．若選②，則當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理知，．因?yàn)椋?，所以，所以，即?6．（2024?楊浦區(qū)二模）已知三角形中，三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為，，，且，．（1）若，求；（2）設(shè)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，若，求三角形的面積．【解析】（1）中，，，，由余弦定理得，，即，整理得，解得或（不合題意，舍去），所以；（2）如圖所示，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，所以，即，解得，所以，的面積．故答案為：．17．（2024?福州模擬）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，設(shè)．（1）求；（2）若的面積等于，求的周長(zhǎng)的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫黠@，所以．所以，．所以，．（2）依題意，．所以時(shí)取等號(hào)．又由余弦定理得．．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的周長(zhǎng)最小值為．18．（2024?紹興一模）在中，已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的面積．【解析】（Ⅰ），；；所以：．（三角形內(nèi)角）（Ⅱ）因?yàn)?；（?fù)值舍）；．19．（2024?中衛(wèi)三模）設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且．（1）求角的大?。唬?）若向量與共線，求的周長(zhǎng)．【解析】（1），，，，，，又為的內(nèi)角，；（2）向量與共線，，由正弦定理可知，，由（1）結(jié)合余弦定理可知，，即，，的周長(zhǎng)為．20．（2024?丹東一模）已知同時(shí)滿意下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④．（Ⅰ）請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；（Ⅱ）求的面積．【解析】（Ⅰ）同時(shí)滿意①，③，④．理由如下：若同時(shí)滿意①，②．因?yàn)?，且，所以．所以，沖突．所以只能同時(shí)滿意③，④．因?yàn)?，所以，故不滿意②．故滿意①，③，④．（Ⅱ）解：因?yàn)?，所以．解得，或（舍．所以的面積．21．（2024?北辰區(qū)模擬）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理得：，又，，，，解得；（Ⅱ）由，所以，由正弦定理得：，得，又，所以，所以，，所以，故答案為：．22．（2024?江蘇模擬）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求的面積．【解析】（1）法一：由可得依據(jù)正弦定理可得，（法二）：由可得依據(jù)余弦定理可得，整理可得，（2）由（1）可知，的面積23．（2024?南通模擬）在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，且．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤?，求的面積．【解析】（Ⅰ），由正弦定理，得