2024-2025學年新教材高中數(shù)學第一章集合與常用邏輯用語學案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE章末整合學問結構·理脈絡要點梳理·晰精華1．集合中元素的三個特性特征含義示例確定性作為一個集合的元素，必需是確定的，不能確定的對象就不能構成集合，也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了集合A＝{1,2,3}，則1∈A,4?A互異性對于一個給定的集合，集合中的元素肯定是不同的(或者說是互異的)，這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入同一集合時只能算集合的一個元素集合{x，x2－x}中的x應滿意x≠x2－x，即x≠0且x≠2無序性構成集合的元素間無先后依次之分集合{1,0}和{0,1}是同一個集合2．集合描述法的兩種形式(1)符號描述法：用符號把元素的共同屬性描述出來，其一般形式為{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同屬性，豎線不行省略，如大于1且小于4的實數(shù)構成的集合可以表示為{x∈R|1<x<4}．在不會產生誤會的狀況下，x的取值集合可以省略不寫，如在實數(shù)集R中取值，“∈R”常省略不寫，于是上述集合可表示為{x|1<x<4}．(2)文字描述法：用文字把元素的共同屬性敘述出來，并寫在花括號內，如{參與平昌冬奧會的運動員}，但花括號內不能出現(xiàn)“全部”“全體”“全部”等字樣．3．全稱量詞命題和存在量詞命題的否定對含有全稱(存在)量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將全稱(存在)量詞改寫成存在(全稱)量詞；其次步，將結論加以否定．含有全稱量詞的命題的否定是含有存在量詞的命題，含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題．如：①“全部的正方形都是矩形”的否定為“至少存在一個正方形不是矩形”，其中，把全稱量詞“全部的”變?yōu)榇嬖诹吭~“至少存在一個”．②“存在一個實數(shù)x，使得|x|≤0”的否定為“對全部的實數(shù)x，都有|x|>0”，其中，把存在量詞“存在一個”變?yōu)槿Q量詞“全部的”．4．條件關系判定的常用結論條件p與結論q的關系結論p?q，且qpp是q的充分不必要條件q?p，且pqp是q的必要不充分條件p?q，且q?p，即p?qp是q的充要條件pq，且qpp是q的既不充分也不必要條件素養(yǎng)突破·提技能專題集合與方程、不等式的聯(lián)系┃┃典例剖析__■1．集合與方程的聯(lián)系典例1已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，求實數(shù)a，m的值或取值范圍．思路探究：在C?A中含有C＝?這種狀況，所以在解題時要考慮集合C為空集的狀況，避開漏解．解析：由題意可知A＝{1,3}．∵A∪B＝A，∴B?A，∴a－1＝3或a－1＝1，∴a＝4或a＝2.又A∩C＝C，∴C?A，若C＝?，則Δ＝m2－4<0，即－2<m<2；若1∈C，則12－m＋1＝0，即m＝2，此時C＝{1}，A∩C＝C，符合題意；若3∈C，則9－3m＋1＝0，即m＝eq\f(10,3)，此時方程為x2－eq\f(10,3)x＋1＝0，∴x＝3或x＝eq\f(1,3)，即C＝{3，eq\f(1,3)}eq\o(?,/)A，∴m≠eq\f(10,3).綜上可知，a＝4或a＝2，－2<m≤2.2．集合與不等式的聯(lián)系典例2已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．(1)求圖中陰影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D?(A∪B)，求實數(shù)a的取值范圍．解析：(1)因為A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，所以B＝{x|2≤x≤4}，由圖可得，C＝A∩(?UB)，因為B＝{x|2≤x≤4}，則?UB＝{x|x>4或x<2}，而A＝{x|1≤x≤3}，則C＝A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}．(2)因為集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}．若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D?(A∪B)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－a<a，,4－a≥1，,a≤4，))解得2<a≤3，即實數(shù)a的取值范圍為2<a≤3.歸納提升：解決集合與方程、不等式綜合的參數(shù)問題時，要特殊留意兩點：(1)不要忽視集合中元素的互異性，即求出參數(shù)后應滿意集合中的元素是互異的，尤其要留意含參數(shù)的方程的解的集合．(2)空集是一個特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，當題設中隱含有空集參與的集合關系與運算時，其特殊性簡潔被忽視，如解決有關A?B，A∩B＝?，A∪B＝B等集合問題時，應先考慮空集的狀況．專題與集合有關的新定義問題┃┃典例剖析__■1．類比集合定義型典例3在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的全部整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個結論．①2019∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的條件是“a－b∈[0]”．其中，正確結論的序號是__③④__.思路探究：由整數(shù)集Z中“類”的定義可得出，[0]表示5的倍數(shù)組成的集合，[1]＝{5n＋1|n∈Z}，[2]＝{5n＋2|n∈Z}等，然后結合題目逐一推斷．解析：因為2019＝5×403＋4，所以2019?[1]，故結論①不正確；因為－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故結論②不正確；因為全部的整數(shù)被5除所得余數(shù)只能為0,1,2,3,4，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故結論③正確；設a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，若a－b∈[0]，則a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]，所以k1＝k2，則整數(shù)a，b屬于同一“類”，故結論④正確．2．類比集合間運算型典例4定義集合A與B的運算：A⊙B＝{x|x∈A或x∈B，且x?A∩B}，已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7}，則(A⊙B)⊙B為(B)A．{1,2,3,4,5,6,7} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{3,4,5,6,7}解析：方法一：利用維恩圖，如圖，由題意可知(A⊙B)⊙B為陰影部分所示，即{1,2,3,4}．方法二：由新定義的運算，得A⊙B＝{1,2,5,6,7}，則(A⊙B)⊙B＝{1,2,5,6,7}⊙{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．歸納提升：在集合的新定義問題中，出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎上定義一種新的運算．解題時，要抓住兩點：(1)分析新定義的特點，把新定義中所敘述的問題的本質弄清晰，并且能夠應用到詳細的解題過程中．(2)集合中元素的特性及集合的基本運算是解題的突破口，要嫻熟駕馭．專題充分條件與必要條件的推斷與探求┃┃典例剖析__■典例5對于實數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，那么p是q的__充分不必要__條件．解析：設U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．命題p：x＋y≠8，對應集合為A＝{(x，y)|x＋y≠8}，命題q：x≠2或y≠6，對應集合為B＝{(x，y)|x≠2或x≠6}，命題?p：x＋y＝8，對應集合為?UA＝{(x，y)|x＋y＝8}，命題?q：x＝2且y＝6，對應集合為?UB＝{(x，y)|x＝2且y＝6}＝{(2,6)}，明顯?UB?UA，所以AB，即p是q的充分不必要條件．典例6已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}．(1)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件；(3)求一個實數(shù)a的取值集合，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個必要但不充分條件．思路探究：由M∩P＝{x|5<x≤8}，求得－3≤a≤5.(1)充要條件即－3≤a≤5.(2)找尋充分但不必要條件，a可取滿意－3≤a≤5的隨意一個值．(3)找尋必要但不充分條件，此時a的取值集合應真包含{a|－3≤a≤5}．解析：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件是－3≤a≤5，即a的取值范圍為{a|－3≤a≤5}．(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一個值，如取a＝0，此時必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故a＝0是所求的一個充分但不必要條件．(答案不唯一)(3)求實數(shù)a的取值范圍，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個必要但不充分條件就是另求一個集合Q，使{a|－3≤a≤5}是集合Q的一個真子集．易知當a≤5時，未必有M∩P＝{x|5<x≤8}，但是M∩P＝{x|5<x≤8}時，必有a≤5，故{a|a≤5}是所求的一個a的取值集合．(答案不唯一)歸納提升：已知條件p，結論q對應的集合分別為A，B.用集合觀點來理解充要條件，有如下三類：一是兩個集合相等，那么p，q互為充要條件；二是兩個集合有包含關系，若AB，則p是q的必要不充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件；三是兩個集合沒有包含關系，那么p是q的既不充分也不必要條件．專題思想方法歸納┃┃典例剖析__■1．數(shù)形結合思想典例7已知集合A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，C＝{x|m－1<x<m＋1，m∈R}．(1)若A∩C＝?，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若(A∩B)?C，求實數(shù)m的取值范圍．思路探究：借助于數(shù)軸把集合表示出來，找出滿意條件的m的取值范圍．解析：(1)如圖1所示．∵A∩C＝?，且A＝{x|－4<x<2}，C＝{x|m－1<x<m＋1}，∴m＋1≤－4或m－1≥2，解得m≤－5或m≥3.故實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－5或m≥3}．(2)∵A＝{x|－4<x<2}，B＝{x|x<－5或x>1}，∴A∩B＝{x|1<x<2}．又(A∩B)?C，如圖2所示，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1，,m＋1≥2，))解得1≤m≤2.故實數(shù)m的取值范圍是{m|1≤m≤2}．歸納提升：數(shù)形結合的思想是充分運用“數(shù)”的嚴謹和“形”的直觀，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過代數(shù)的論證、圖形的描述來探討和解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法．數(shù)形結合的思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使困難問題簡潔化，抽象問題詳細化，有助于把握數(shù)學問題的性質，有利于達到優(yōu)化解題的目的．在解答有關集合的交、并、補運算以及抽象集合問題時，一般要借助數(shù)軸或Venn圖求解，這都體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．2．分類探討思想典例8已知集合A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}，C＝{x|2x－3a－1>0}，試求C∩(A∪B)．思路探究：對集合C的端點值分類探討，探討時做到不重不漏．解析：∵A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|－4≤x≤3}，∴A∪B＝{x|－4≤x<5}．∵2x－3a－1>0，∴x>eq\f(3a＋1,2).當eq\f(3a＋1,2)<－4，即a<－3時，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；當－4≤eq\f(3a＋1,2)<5，即－3≤a<3時，C∩(A∪B)＝{x|eq\f(3a＋1,2)<x<5}；當eq\f(3a＋1,2)≥5，即a≥3時，C∩(A∪B)＝?.綜上可知，當a<－3時，C∩(A∪B)＝{x|－4≤x<5}；當－3≤a<3時，C∩(A∪B)＝{x|eq\f(3a＋1,2)<x<5}；當a≥3時，C∩(A∪B)＝?.歸納提升：分類探討就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一探討時，就須要對探討對象按某個標準分類，然后對每一類分別探討得出每一類的結論，最終綜合各類問題的結論得到整個問題的解答．分類與整合就是化整為零，各個擊破，再積零為整的數(shù)學思想．求解此類問題的步驟：(1)確定分類探討的對象，即對哪個參數(shù)進行探討；(2)對所探討的對象進行合理的分類(分類時要做到不重不漏，標準要統(tǒng)一，分層不越級)；(3)逐類探討，即對各類問題逐類探討，逐步解決；(4)歸納總結，即對各類狀況總結歸納，得出結論．3．化歸與轉化思想典例9設p：實數(shù)x滿意a<x<3a(a>0)，q：2<x≤3，若?p是?q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．思路探究：?p是?q的充分不必要條件可轉化為q是p的充分不必要條件．解析：∵?p是?q的充分不必要條件，∴q是p的充分不必要條件，∴q?p，pq.令A＝{x|a<