2022年北京市房山初三（上）期中數(shù)學試卷及答案

第1頁/共1頁2022北京房山初三（上）期中數(shù)學一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.若，則下列比例式成立的是（）A. B. C. D.2.如圖，已知∥∥，，那么的值是（）A. B. C. D.23.如圖，F(xiàn)是的邊上一點，則下列條件不能判定與相似的是（）A. B. C. D.4.將拋物線先沿x軸向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到新的拋物線，那么新拋物線的表達式為（）A. B.C. D.5.地質(zhì)勘探人員為了估算某條河的寬度，在河對岸選定一個目標點O，再在他們所在的這一側選取點A，B，D，使得，然后找到和的交點C，如圖所示，測得，則可計算出河寬為（）A.16m B.15m C.14m D.13m6.，，三點都在二次函數(shù)的圖象上，則、、的大小關系為（）A. B. C. D.7.下列關于拋物線的說法正確的是（）A.此拋物線的開口比拋物線的開口大B.當時，此拋物線的對稱軸在y軸右側C.此拋物線與x軸沒有公共點D.對于任意的實數(shù)b，此拋物線與x軸總有兩個交點8.如圖，將矩形ABCD對折，使AD和BC邊重合，得到折痕EF，EF與對角線BD交于點P，連接DE和CE，CE與BD交于點O，有如下5個結論：①EF與BD互相平分；②OE：OC=1：2；③OP：OB：PD=1：2：3；④△BOE與△COD的面積之比是1：2；⑤△BOC與△DOE的面積相等．其中正確的有（）A.①②③ B.①②④ C.①②⑤ D.①②③⑤二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）9.已知，則_________．10.如圖，小剛在打網(wǎng)球時，球恰好能打過網(wǎng)，且落在離網(wǎng)5m的位置上，則他的球拍擊球的高度是___m．11.已知某二次函數(shù)圖像的最低點是坐標原點，請寫出一個符合要求的二次函數(shù)表達式___________．12.在二次函數(shù)中，y與x的部分對應值如下表：x……-101234……y……-7-2mn-2-7……則m、n的大小關系為m_________n．（填“>”，“=”或“<”）13.在設計“利用相似三角形的知識測量樹高”的綜合實踐方案時，曉君想到了素描課上老師教的方法，如圖，請一位同學右手握筆，手臂向前伸直保持筆桿與地面垂直，前后移動調(diào)整自己的位置，直到看見筆桿露出的部分剛好遮住樹的主干，這時測量同學眼睛到筆的距離、同學到樹干的距離，以及露出筆的長度，就可通過計算得到樹的高度，這種實踐方案主要應用了相似三角形的性質(zhì)定理：___________．（填寫定理內(nèi)容）14.給出定義：拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接、，若滿足，則稱這樣的拋物線稱為“相似拋物線”，如圖，二次函數(shù)的圖象是“相似拋物線”，且，則此拋物線的對稱軸為___________．15.在關于x的二次函數(shù)中，自變量x可以取任意實數(shù)，下表是自變量x與函數(shù)值y的幾組對應值：x…12345678……1.47.014.624.235.8…根據(jù)以上信息，關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根中，其中的一個實數(shù)根約等于___________（保留小數(shù)點后一位小數(shù)）．16.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，其對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為___________．三、解答題（本題共11道小題，共68分.17，22每題5分；18，20，21，23，25每題6分；19，24，26，27每題7分）17.如圖，AD與BC交于O點，，，，，求CD的長．18.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當x___________時，函數(shù)y隨x的增大而減?。?9.已知二次函數(shù)．（1）用配方法將其化為的形式；（2）該函數(shù)圖象的對稱軸為___________，頂點坐標為___________；（3）在所給的平面直角坐標系中，畫出該函數(shù)的圖象（列表，描點、連線）．20.已知：二次函數(shù)圖象如圖所示．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）當x___________時，；（3）當時，函數(shù)y的最大值為___________；最小值為___________．21.如圖，在中，平分，E是上一點，且．（1）求證：；（2）若，求的值．22.如圖，在正方形網(wǎng)格上有以及一條線段.請你以為一條邊.以正方形網(wǎng)格的格點為頂點畫一個，使得與相似，并求出這兩個三角形的相似比.23.在某場籃球比賽中，一位運動員在距籃下7m，三分線外跳起投籃，球運行的路線大致是拋物線，當球運行的水平距離為4m時，達到最大高度，然后準確落入籃圈，已知籃圈中心到地面的距離為．（1）建立如圖所示的平面直角坐標系，求拋物線的表達式；（2）該運動員身高，在這次跳投中，球在頭頂上方處出手，問：球出手時，她跳離地面的高度是多少？24.如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，二次函數(shù)的圖像與該一次函數(shù)圖像交于兩點，點C坐標為．（1）求一次函數(shù)及二次函數(shù)表達式；（2）直線與拋物線交于點、與直線交于點E，①當點E位于點D的上方時，結合函數(shù)的圖像直接寫出m的取值范圍；②當點E在線段上時，求線段長度的最大值及此時點E的橫坐標．25.曉寧同學在學習中遇到了以下一個幾何問題：已知：如圖，中，是角平分線．求證：．喜歡鉆研的他想到了兩種解決問題的思路，作出了輔助線，請你選擇其中一種，在此基礎上完成證明（若自己有其它證法，可利用備用圖完成證明）．方法一證明：如圖，過點D作于M，過點D作于N．方法二證明：如圖，過點D作交于點E．26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-2mx-2(m≠0)）與軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B．（1）求點A，B的坐標；（2）設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l的解析式；（3）若該拋物線在-2<x<-1這一段位于直線的上方，并且在2<x<3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式．27.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于點A，B（A在B的左側）．（1）拋物線的對稱軸為直線x=-3，AB=4．求拋物線的表達式；（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點O，且與x正半軸交于點C，記平移后的拋物線頂點為P，若△OCP是等腰直角三角形，求點P的坐標；（3）當m=4時，拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，試判斷y1與y2的大小，并說明理由．

參考答案一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、由得，2x=3y，故本選項不符合題意；B、由得，3x=2y，故本選項符合題意；C、由得，2x=3y，故本選項不符合題意；D、由得，xy=6，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．2.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AC：CE=BD：DF=1：2，然后利用比例性質(zhì)即可得出答案進行選擇．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE=BD：DF，∵，∴AC：CE=BD：DF=1：2，即CE=2AC，∴AC：AE=1：3=.故選A.【點睛】本題考查平行線分線段成比例即三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．3.【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解．【詳解】解：A、若，且，則，故選項A不合題意；B、若，且，則，故選項B不合題意；C、若，且，不能證明與相似，故選項C符合題意；D、若，則，且，則，故選項D不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．4.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解．【詳解】解：拋物線先向右平移2個單位長度，得：；再向上平移3個單位長度，得：．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，解題關鍵是熟練掌握平移規(guī)律“左加右減，上加下減”的運用．5.【答案】C【解析】【分析】在和中，由得到，又根據(jù)對頂角相等得到兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，再代入數(shù)據(jù)，即可求出河寬的長．【詳解】解：∵，∴．∴，即，∴．故選C．【點睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)．掌握三角形相似的判定定理是解題關鍵．6.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的對稱性，增減性，即可得出的大小關系．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，∴關于對稱軸的對稱點為，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關鍵．7.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，所以拋物線與的開口方向相反，但開口大小相同，故A選項錯誤，不符合題意；當時，與二次項的系數(shù)的符號相同，則拋物線的對稱軸位于y軸的左側，故B選項錯誤，不符合題意；由于，所以該拋物線與x軸有兩個公共點，故C選項錯誤，D選項正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．8.【答案】D【解析】【分析】①由折疊性質(zhì)知，，，結合矩形性質(zhì)得，連接，證明四邊形是平行四邊形，便可判斷①的正誤；②證明，得，便可判斷正誤；③證明四邊形為平行四邊形，得，得，求得，進而求得，便可判斷正誤；⑤根據(jù)平行線的性質(zhì)得，由得出結果，便可判斷正誤．【詳解】解：①∵四邊形是矩形，∴，由折疊性質(zhì)知，，，∴，連接，∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分，故①正確，選項符合題意；②∵，∴，∴，故②正確，選項符合題意；③∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確，選項符合題意；④∵，∴，故④錯誤，選項不符合題意；⑤∵AB∥CD，∴，∴，∴，故⑤正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，數(shù)形結合思想的運用和幾何推理是解題的關鍵．二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）9.【答案】【解析】【分析】直接利用比例的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的相關性質(zhì)是解題的關鍵．10.【答案】2.4【解析】【分析】根據(jù)球網(wǎng)和擊球時球拍的垂直線段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根據(jù)其相似比即可求解．【詳解】∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，即，

則，

∴h=2.4m．

故答案為：2.4．，【點睛】本題考查了相似三角形在測量高度時的應用，解題時關鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解決問題．11.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點是坐標原點，設函數(shù)的解析式為：，根據(jù)頂點是二次函數(shù)圖像的最低點，結合二次函數(shù)的性質(zhì)得到，任取負數(shù)a代入原解析式，即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的頂點是：，∴可設函數(shù)的解析式為：，又∵點是二次函數(shù)圖像的最低點，∴拋物線開口方向向上，∴，令，二次函數(shù)的解析式為：（答案不唯一）．【點睛】此題考查了寫二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答此題的關鍵．12.【答案】=【解析】【分析】根據(jù)表格信息，找出一對自變量不同，函數(shù)值相同的點，求出對稱軸，然后求出x=1與x=2到對稱軸的距離，判定點（2，n）與（1，m）關于拋物線對稱軸對稱，利用對稱軸確定即可．【詳解】解：根據(jù)表格信息，x=-1,與x=4時函數(shù)值都是-7，∴拋物線的對稱軸為∵，∴點（2，n）與（1，m）關于拋物線對稱軸對稱，∴．故答案為：=．【點睛】本題考查表格信息的獲取與應用，求拋物線的對稱軸，利用對稱性質(zhì)確定函數(shù)值的大小是解題關鍵．13.【答案】相似三角形對應高的比等于相似比【解析】【分析】根據(jù)題意推知，且是的高，是的高，結合相似三角形對應邊上高的比等于相似比解答．【詳解】解：如圖，設樹高為，根據(jù)題意推知，且，，所以,所以，故答案為：相似三角形對應高的比等于相似比．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對應高的比等于相似比是解本題的關鍵．14.【答案】直線【解析】【分析】利用“相似拋物線”的定義結合相似三角形的性質(zhì)列式求得線段，的長度，得到兩點的坐標，即可求解．【詳解】解：在中，令，則，∴，∴，∵，，∴，即，設，則，∵，∴，即，解得，∴，∴，∴，，∴此拋物線的對稱軸為．故答案為：直線．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確理解“相似拋物線”的定義，掌握相似三角形的性質(zhì)，列出比例式是解題的關鍵．15.【答案】3.7（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以寫出一個符合題意的值，注意本題答案不唯一，但要接近．【詳解】解：由表格可知，當時，，當時，，則關于的一元二次方程的兩個實數(shù)根中，其中的一個實數(shù)根約等于3.7，故答案為：3.7（答案不唯一）．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，寫出一個符合要求的即可，本題答案不唯一．16.【答案】8【解析】【分析】確定出拋物線的頂點坐標，然后求出拋物線的對稱軸與原拋物線的交點坐標，從而判斷出陰影部分的面積等于矩形的面積，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，設拋物線的對稱軸交x軸于點A，交拋物線于點B，過點B作軸于點C，則四邊形為矩形，∵，∴平移后拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，當時，，∴平移后陰影部分的面積等于如圖矩形的面積，即．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．三、解答題（本題共11道小題，共68分.17，22每題5分；18，20，21，23，25每題6分；19，24，26，27每題7分）17.【答案】1.5【解析】【分析】由，可得出，利用相似三角形的性質(zhì)可得出，代入，，，即可求出CD的長．【詳解】解：∵AD與BC交于O點，∴．∵，∴．∴．∵，，，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例列式．18.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式即可；（2）利用二次函數(shù)增減性分析得出答案．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，∴，解得二次函數(shù)的表達式為【小問2詳解】∵，對稱軸為，當時，隨的增大而減小故答案為：【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．19.【答案】（1）（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）用配方法配方成頂點式即可；（2）由（1）寫出拋物線頂點坐標，對稱軸方程；（3）根據(jù)拋物線對稱軸找出x，y的對應值，用列表、描點，連線即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】∵，∴頂點坐標為，對稱軸直線為．故答案為：；；【小問3詳解】列表：畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：【點睛】此題考查了將一般式二次函數(shù)化為頂點式，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，描點法畫函數(shù)圖象，正確掌握及的圖象及性質(zhì)是解題的關鍵．20.【答案】（1）（2）或（3）3，【解析】【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象，直接可以得出結論；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象即可得出結論．【小問1詳解】解：設拋物線的解析式為，根據(jù)題意得：，解得：，二次函數(shù)的表達式為；【小問2詳解】二次函數(shù)圖象過，對稱軸為，二次函數(shù)圖象還過，由圖象得：當或時，，或時，；【小問3詳解】當時，，時，，時，，∴當時，函數(shù)y的最大值為3，最小值為．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關鍵是求出二次函數(shù)解析式．21.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，由等角的補角相等得到，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，化簡即可得到結論．【小問1詳解】證明：∵平分，∴，∵，∴．∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．22.【答案】圖見解析，與的相似比是.【解析】【分析】可先選定BC與DE為對應邊，對應邊之比為1:2，據(jù)此來選定點F的位置，相似比亦可得.【詳解】解：如圖，與相似.理由如下：由勾股定理可求得，,BC=2,;,DE=4,,∴,∴∽，相似比是.【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用網(wǎng)格得出三角形各邊長度是解題關鍵．23.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設拋物線的表達式為，依題意可知圖象經(jīng)過的坐標，由此可得a的值．（2）設球出手時，他跳離地面的高度為hm，則可得．【小問1詳解】解：由于球在半空中達到最大高度3.86m，則設：二次函數(shù)表達式為，代入可得，解得：．∴拋物線表達式為．【小問2詳解】設運動員跳離地面高度為hm，將以代入二次函數(shù)，得，解得．答：運動員跳離地面的高度是．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，建立合適的坐標系是解本題的關鍵．24.【答案】（1），（2）①或，②有最大值，此時E點的橫坐標為【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)及二次函數(shù)表達式；（2）①根據(jù)圖像即可求解；②設，則，根據(jù)題意得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得線段長度的最大值及此時點E的橫坐標．【小問1詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像過點，∴，解得，∴一次函數(shù)的表達式為，當時，，∴，將點的坐標代入得，解得，∴二次函數(shù)表達式為；【小問2詳解】①∵，,∴當點E位于點D的上方時，觀察圖像，則或；②設，則，當點E在線段AC上時，則，，∵，∴當時，有最大值，此時點的橫坐標為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵．25.【答案】見解析【解析】【分析】方法一：利用面積法解決問題；方法二：根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結論；方法三：過C作，交的延長線于E，利用兩直線平行內(nèi)錯角、同位角相等得到兩對角相等，再由AD為角平分線，得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到，由與相似，由相似得比例，等量代換即可得證．【詳解】證明：方法一：如圖，過點A作于P．∵AD平分，，，∴，∴.∵，∴；方法二：∵AD平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴；方法三：過C作，交的延長線于E，∴，.∵AD平分，∴，∴，∴，∴.∵∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義及性質(zhì)，求三角形的面積等，作出輔助線是選擇不同解法的前提條件．26.【答案】（1）A（0，-2），B（1，0）；（2）y=-2x+2；（3）y=2x2-4x-2【解析】【詳解】試題分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到點A的坐標，求出對稱軸解析式，即可得到點B的坐標；（2）求出點A關于對稱軸的對稱點（2，-2），然后設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性判斷在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，然后判斷出拋物線與直線l的交點的橫坐標為-1，代入直線l求出交點坐標，然后代入拋物線求出m的值即可得到拋物線解析式．試題解析：（1）當x=0時，y=-2，∴A（0，-2），拋物線的對稱軸為直線x=-=1，∴B（1，0）；（2）易得A點關于對稱軸直線x=1的對稱點A′（2，-2），則直線l經(jīng)過A′、B，設直