專題01 特殊平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末好題分類匯編（河南專用）

PAGE1PAGE2專題01特殊平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用題型一利用菱形的性質(zhì)求角度1．（22-23九年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，過點C作CE⊥BC交BD于點E，若∠BAD＝118°，則∠CEB＝（

）A．59° B．62° C．60° D．72°【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，∠ABD=∠CBD，從而得到∠CBD=31°，再由CE⊥BC，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∠ABD=∠CBD，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD＝118°，∴∠ABC=62°，∴∠CBD=31°，∵CE⊥BC，即∠BCE=90°，∴∠CEB=59°．故選：A2．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖，菱形中，，，且，連接交對角線于．則的度數(shù)是（

）

A．100° B．105° C．120° D．135°【答案】B【分析】由菱形及菱形一個內(nèi)角為60°，易得△ABC與△ACD為等邊三角形．由三線合一的性質(zhì)求得∠ACE的度數(shù)．證得△BCE是等腰直角三角形，可求出∠CBE度數(shù)，用三角形外角的性質(zhì)即可求得∠AFB．【詳解】∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD是等邊三角形，∵CE⊥AD，∴∠ACE=∠ACD=30°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°∵CE=BC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠E=∠CBE=45°∴∠AFB=∠CBE+∠ACB=45°+60°=105°，故選：B．3．（2023·河南·模擬預(yù)測）在菱形中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用菱形的性質(zhì)求出∠ABD=40°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAE=70°即可．【詳解】在菱形ABCD∵∠ABC=80°，∴∠ABD=40°．∵BA=BE，∴∠BAE==70°．故選：A．4．（22-23九年級上·河南濮陽·期末）如下圖，在菱形紙片中，是邊上一點，將沿直線翻折，使點落在上，連接．已知，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由翻折的性質(zhì)知，，再由菱形的性質(zhì)得，，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∵沿直線翻折，使點B落在上，∴，，∴，，∴，，故選：B．5．（23-24九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CF⊥AD于點E，且BC＝CF，連接BF交對角線AC于點M，則∠FMC＝．【答案】105°【分析】利用菱形的性質(zhì)得出∠BCA＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∠CBD＝∠ABD＝30°，AC⊥BD，再利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CF⊥AD于點E，∴∠BCA＝60°，∠ACE＝∠DCE＝30°，∠CBD＝∠ABD＝30°，AC⊥BD，∴∠BCF＝90°，∵BC＝CF，∴∠CBF＝∠BFC＝45°，∴∠FBD＝45°－30°＝15°，∴∠FMC＝90°＋15°＝105°故答案為：105°．6．（23-24九年級上·河南滎陽·期末）如圖，四邊形是菱形，延長到點E，使．連接，若，則的度數(shù)為．【答案】/70度【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．7．（23-24九年級上·河南開封·期末）如圖，在菱形中，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧相交于M，N兩點，過M，N兩點的直線交邊于點E（作圖痕跡如圖所示），連接，．則的度數(shù)為．

【答案】/80度【分析】本題考查了作圖—垂直平分線，菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意得，點E在的垂直平分線上，則，即可得，根據(jù)四邊形為菱形得，，可得，即可得；掌握作圖—垂直平分線，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得，點E在的垂直平分線上，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∴，故答案為：．8．（22-23九年級上·河南周口·期末）已知，菱形中，，對角線、相交于點O，點E在菱形的邊上，且與頂點不重合，若，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】①當(dāng)點E在上時，此時可求出的度數(shù)，及的度數(shù)，結(jié)合，可求出的度數(shù)，再由可求出的度數(shù)；②當(dāng)點E在上時，由①的結(jié)果可求出的度數(shù)．【詳解】解：①當(dāng)點E在上時，，菱形鄰角和為，，菱形對角線即角平分線，，，，菱形對角線互相垂直，，；②當(dāng)點E在上時，；綜上可得的度數(shù)為或．故答案為：或．題型二利用菱形的性質(zhì)求線段長9．（20-21九年級上·河南洛陽·期末）如圖，菱形的對角線相交于點，過點作于點，連接，若，，則菱形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的斜邊上的中線性質(zhì)和菱形的面積公式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得，根據(jù)題意得，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出的長度，然后由菱形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴，∴菱形的面積，故選：．10．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在菱形中，對角線和相交于點，若，則菱形的周長為（

）

A．24 B．8 C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得，再由勾股定理求出的長，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形為菱形，，在中，由勾股定理得：，∴菱形的周長，故選：D．11．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖①，在菱形中，垂直于的直線（直線與菱形的兩邊分別交于E、F兩點，且點在點的上方）沿方向從點出發(fā)到點停止運(yùn)動，設(shè)直線平移距離為，的面積為，若與之間的函數(shù)圖象如圖②所示，則的值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】本題主要考查對動點問題的函數(shù)圖象，三角形的面積，一次函數(shù)的圖象，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握．作，，由圖②知，利用三角形面積公式求得，即，再利用待定系數(shù)法求得圖②中線段的解析式，據(jù)此求解即可．【詳解】解：作，，垂足分別為，，由圖②知，當(dāng)F點與重合時，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，當(dāng)F點與重合時，，∴，∴，即，設(shè)圖②中線段的解析式為，∴，解得，∴圖②中線段的解析式為，當(dāng)時，，∴．故選：A．12．（23-24九年級上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是菱形的對角線BD的中點，AD軸且，，點C的坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出是等邊三角形，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而得出點的坐標(biāo)，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)與軸交于點，∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴是等邊三角形，則，∵是菱形的對角線BD的中點，∴∵AD軸，則，∴∴，，∴∵關(guān)于對稱，∴,故選：D．13．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，在菱形中，，，交于點，為的中點，連接并延長，交于點，點為的中點，連接，則．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線，由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理計算出，由三角形中位線定理可得，，證明可得，再由，即可得到答案，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴，，，在中，由勾股定理，得，∵點為的中點，∴是的中位線，∴，，∴，，∵為的中點，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．14．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖，菱形中，對角線，相交于點O，點E為的中點，連接，若，則菱形的周長為．【答案】28【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理即可得的長，由此即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，即O是的中點，點是邊的中點，，是的中位線，，∴菱形的周長：，故答案為：28．15．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，中，，，點是射線上一動點，連接，作點關(guān)于直線的對稱點，當(dāng)四邊形是菱形時，線段的長為．【答案】或/或【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，角所對直角邊是斜邊的一半和勾股定理，分當(dāng)點在上時和當(dāng)點在延長線上時兩種情況即可，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】當(dāng)點在上時，如圖，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴；當(dāng)點在延長線上時，如圖，連接，∵四邊形是菱形，∴，，，，，∴，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故答案為：或．16．（22-23九年級上·河南開封·期末）如圖，在菱形中，，，M為邊的中點，N為邊上一動點（不與點B重合），將沿直線折疊，使點B落在點E處，連接，，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．

【答案】4或【分析】分兩種情況①當(dāng)時，連接，作于，由菱形的性質(zhì)得出，，，得出，，，求出，，由折疊的性質(zhì)得，，，證明，得出，證出、、三點共線，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)時，，此時點與重合，與點重合，，是等邊三角形，（含這種情況）．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)時，連接，作于，如圖1所示：

四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，為的中點，，由折疊的性質(zhì)得：，，，在和中，，，，，、、三點共線，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得：，即；當(dāng)時，，此時點與重合，與點重合，如圖2所示：

，是等邊三角形，（含這種情況）；綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時，線段的長為或4；故答案為：或4．17．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）中國結(jié)，象征著中華民族的歷史文化與精神．利用所學(xué)知識抽象出如圖所示的菱形，測得，，直線交兩對邊于E、F，則的長為cm．【答案】9.6【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∵∴∴，故的長為,故答案為：9.6．題型三利用菱形的性質(zhì)求面積18．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，四邊形是周長為的菱形，其中對角線長為，則菱形的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了菱形的面積公式，勾股定理，利用勾股定理先求出對角線的長度，再根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線的積的一半，即可求解，掌握菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)對角線相交于點，則，，∵菱形的周長為，∴，∴∴，∴菱形的面積，故選：．19．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）已知在菱形中，，，則菱形的面積為（

）A．160 B．80 C．40 D．96【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求得的長，從而得到的長，再根據(jù)菱形的面積公式即可求得其面積．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∵在中，，∴，∴，∴．故選D．20．（21-22九年級上·河南開封·期末）如圖，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于點H．則AH＝（）A．24 B．10 C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)對角線求得邊長，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，也等于底邊乘以高即可求得【詳解】如圖設(shè)交于點，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，，解得故選C21．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）如圖，菱形的對角線、相交于點O，過點D作于點H，若，則菱形的面積是（

）

A． B．1 C． D．4【答案】C【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)，得到，根據(jù)菱形得到，即可得到是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出，即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，，∵四邊形是菱形，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，故選：C．22．（18-19九年級·河南焦作·期末）已知菱形的周長是，一條對角線長是，則它的面積是．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，，，利用勾股定理求出，得到的長，再根據(jù)菱形的面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，四邊形是菱形，，，，，菱形周長為，，在直角三角形中，，，菱形的面積，故答案為:．23．（23-24九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，四邊形是邊長為4的菱形，為其對稱中心，過點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．若，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，利用割補(bǔ)法求解陰影部分的面積，如圖，過作于，先求解菱形的高與面積，再利用菱形的性質(zhì)可得陰影部分的面積是菱形面積的一半即可得到答案．【詳解】解：如圖，過作于，∵四邊形是邊長為4的菱形，，∴，，∴，，∴菱形面積為：；∵O是菱形兩條對角線的交點，菱形是中心對稱圖形，∴，∴陰影部分的面積為．故答案為：24．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）如圖，四邊形是菱形，點和分別是邊和上的動點，線段的最大值是，最小值是，則這個菱形的邊長是．

【答案】【分析】當(dāng)點與重合，點與點重合時，線段的最大值是，當(dāng)時，最小值是，如圖所示（見詳解），過點作延長線于，在，中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，點和分別是邊和上的動點，當(dāng)點與重合，點與點重合時，線段的最大值是，當(dāng)時，最小值是，如圖所示，過點作延長線于，∵四邊形是菱形，∴，當(dāng)點與重合，點與點重合時，線段的最大值是，即，當(dāng)時，最小值是，∴（是邊上的高），且，∴在中，，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，∴，故答案為：．25．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，在菱形中，，，是對角線的交點，在邊上任取一點E，連接，在邊上取一點F，使，則，四邊形的面積為．【答案】8【分析】本題主要考查菱形性質(zhì)、含角的直角三角形性質(zhì)和割補(bǔ)法求面積的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)菱形性質(zhì)和得為等邊三角形即可求得答案；根據(jù)菱形性質(zhì)得到點G到的距離相等，由已知得可證明≌則有面積相等，再利用直角三角形性質(zhì)可以求得邊長，根據(jù)割補(bǔ)法有即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴；過點G作交于點K，作交于點H，如圖，

∵，，∴，∵，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴≌，則，∵，∴在中，，得，，∴，，則，故答案為：8；．26．（22-23九年級上·河南安陽·期末）如圖，在菱形中，與，將沿所在直線翻折得，若，，則與菱形重疊部分（陰影部分）的面積為．【答案】【分析】先證是等腰直角三角形，通過解直角三角形求出的面積，再利用折疊的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)證明是等腰直角三角形，則重疊部分的面積．【詳解】解：，，，是等腰直角三角形，，．由折疊的性質(zhì)可知，，即．菱形中，，，，，，即是等腰直角三角形．，，，．，，重疊部分的面積．故答案為：．題型四矩形性質(zhì)的理解及利用矩形的性質(zhì)求角度27．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（

）A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線互相平分 D．對角線相等【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵矩形的對邊平行且相等，對角線互相平分且相等，對角相等；平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分，對角相等．∴矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是對角線相等．故選：D．28．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）下列說法中正確的是（

）A．矩形的對角線互相垂直平分 B．菱形的對角線相等C．有三個角是直角的四邊形是矩形 D．有三邊相等的四邊形是菱形【答案】C【分析】本題主要考查了矩形、菱形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．利用矩形、菱形的性質(zhì)和判定解答即可．【詳解】解：A．矩形的對角線相等且互相平分，但不一定垂直，故本選項不合題意；B．菱形的對角線互相垂直平分，但不相等，故本選項不符合題意；C．有三個角是直角的四邊形是矩形，故本選項合題意；D．四條邊都相等的四邊形是菱形，故本選項不合題意．故選：C．29．（21-22九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）關(guān)于矩形的性質(zhì)，以下說法不正確的是（

）A．四個角都是直角 B．對角線相等C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：矩形是軸對稱圖形，四個角都是直角，對角線相等，故A，B，D都對，不符合題意，而菱形是對角線互相垂直，矩形不具有這個性質(zhì)，故C錯誤，符合題意，故選：C．30．（22-23九年級上·河南焦作·期末）如圖，分別在長方形ABCD的邊DC，BC上取兩點E，F(xiàn)，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，則∠DAE＝()A．45° B．30° C．15° D．60°【答案】C【分析】長方形內(nèi)角為90°，已知∠BAF=60°，所以可以得到∠DAF，又因為AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．【詳解】在長方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠BAF＝60°∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°又AE平分∠DAF所以∠DAE＝∠DAF＝15°故選C．31．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖，將含有的直角三角尺（）直角頂點A放到矩形的邊上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，對頂角相等．設(shè)與的交點為點，由角的和差可求得，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，從而，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)對頂角相等即可得．【詳解】設(shè)與的交點為點，∵，，∴，∵在矩形中，，∴∵，∴，∴．故選：D32．（22-23九年級上·河南信陽·期末）如圖，在長方形中，連接，以為圓心適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點，畫射線交于點．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用矩形的性質(zhì)得到，則利用平行線的性質(zhì)可計算出，再由作法得平分，所以，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到的度數(shù)．【詳解】解：在長方形中，∵，，∴，由作法得：平分，∴，∵，∴，故選：B．33．（23-24九年級上·河南濟(jì)源·期末）如圖將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，若旋轉(zhuǎn)角為，為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與交于點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，分別求出的度數(shù)，利用四邊形的內(nèi)角和為，求出的度數(shù)，利用對頂角相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)與交于點，∵將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，旋轉(zhuǎn)角為，∴，∴，∵，∴，∴；故選A．34．（22-23九年級上·河南洛陽·期末）如圖，把矩形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點落在對角線上，連接，若，則°．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，即可求出的度數(shù)，再根據(jù)角度和差即可求解．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．題型五利用矩形的性質(zhì)求線段長35．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，已知直線，相鄰兩條平行線間的距離都等于1，若矩形的四個頂點分別在三條直線上，且，則矩形的面積等于（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識．根據(jù)題意設(shè)，則，，利用等面積法建立等式求出的值，即可求得矩形的面積．【詳解】解：四邊形是矩形，，，設(shè)，則，，直線，相鄰兩條平行線間的距離都等于1，，解得或（不合題意，舍去），，則，矩形的面積．故選：D．36．（23-24九年級上·河南商丘·期中）如圖，在矩形中，點的坐標(biāo)是，則的長是（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，矩形的性質(zhì)，先根據(jù)兩點距離計算公式得到，再由矩形對角線相等即可得到．【詳解】解；如圖所示，連接，∵點的坐標(biāo)是，∴，∵四邊形是矩形，∴，故選：C．37．（23-24九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，矩形的頂點為坐標(biāo)原點，，對角線在第一象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開始繞點，以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)?shù)?024秒時，矩形的對角線交點的坐標(biāo)為（

）

A．2,0 B．0,2 C． D．【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)點G的變化特點，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．每秒旋轉(zhuǎn)，8次一個循環(huán)，，第2024秒時，矩形的對角線交點G與原位置的點G的坐標(biāo)相同，由此可得到點G的坐標(biāo)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，∵每秒旋轉(zhuǎn)，，∴8次一個循環(huán)，∵，∴點G與原位置的點G的坐標(biāo)相同，∴原位置的點G在第一象限的角平分線上，設(shè)，∴，解得：，∴點G的坐標(biāo)為．故選：C．38．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸上，為線段的中點，矩形的頂點，，連接按照下列方法作圖：以點為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧分別交CA、CD于點、；分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧交于點；(3)作射線交AD于，則線段的長為(

)

A． B．1 C． D．【答案】C【分析】由作圖可知，是的平分線，如圖，過作于，由角平分線的性質(zhì)可知，，由題意得，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，計算求解即可．【詳解】解：由作圖可知，是的平分線，如圖，過作于，

由角平分線的性質(zhì)可知，由勾股定理得：，∵矩形的頂點D，O為線段的中點，∴，，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，故選：C．39．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）如圖，矩形中，，交于點O，M，N分別為，的中點．若，，則的長為（）A．8 B．10 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)求出長度，再依據(jù)矩形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵M(jìn)，N分別為，的中點，∴．∵四邊形是矩形，∴，，∴，故D正確．故選：D．40．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）在矩形中，．點是邊上一動點（不與點重合），以點為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點，若，則的長為．【答案】2或【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，分兩種情況：點E在弧與的交點左側(cè)和右側(cè)，設(shè)，則，，所以，或，在中由勾股定理列方程，求出的值即可．【詳解】解：在矩形中，∵，∴；設(shè)，則，∵，∴，①當(dāng)點E在弧與的交點左側(cè)時，則，在中，，∴，解得，或（不合題意，舍去）,∴；②當(dāng)點E在弧與的交點右側(cè)時，則，在中，，∴，解得，或（不合題意，舍去）；∴；綜上，的長為2或．故答案為：2或．41．（23-24九年級上·河南漯河·期末）矩形中，，是的中點，點在直線上，且，若與關(guān)于直線對稱，則的長為．【答案】或【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．分兩種情況，如圖①，由軸對稱的性質(zhì)得到，由勾股定理求出，得到，如圖②，由軸對稱的性質(zhì)得到，由勾股定理求出，得到，即可得到的長為或．【詳解】解：如圖①，

與關(guān)于直線對稱，，四邊形是矩形，，，；如圖②，

與關(guān)于直線對稱，，四邊形是矩形，，，，，，則的長為或．故答案為：或．42．（22-23九年級上·河南·期末）如圖，在矩形中，，，把矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，當(dāng)點落在射線上時，線段的長度為．

【答案】或【分析】根據(jù)正方形的邊角性質(zhì)得到，，，得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理得到，當(dāng)點落在線段上，，根據(jù)勾股定理得到，當(dāng)點落在射線上，，根據(jù)勾股定理得到．【詳解】∵矩形中，，，，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∴當(dāng)點落在線段上，，∴；

當(dāng)點落在射線上，，∴．

故答案為：或．43．（22-23九年級上·河南開封·期末）已知如圖，在矩形中，，對角線和相交于點，過點作于點，．求的長．【答案】3【分析】已知四邊形是矩形，得到，，根據(jù)對角線和相交于點，得到．，結(jié)合，推出，進(jìn)而得到，推出是等邊三角形，即可求出的長．【詳解】∵為矩形，∴，，∴．，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴即的長為3．44．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖1，在矩形中，，相交于點O，點E為上的一個動點，連接并延長到點F，使，連接．(1)若點E與點B重合（如圖2），判斷AF與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若以A，F(xiàn)，B，E為頂點的四邊形是平行四邊形，，請直接寫出線段的長度．【答案】(1)且；(2)1或3【分析】（1）若點E與點B重合根據(jù)矩形得到，，結(jié)合，即可得到四邊形為平行四邊形；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，，當(dāng)為對角線時，如圖1根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則，即可得到一個答案；當(dāng)為邊時，如圖，此時E點與D點重合，即可得到答案．【詳解】（1）解：且，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴,∴四邊形是平行四邊形，∴，；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，，當(dāng)為對角線時，如下圖∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴；當(dāng)為邊時，如下圖∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴此時點E與點D重合，∴；綜上所述的長度為1或3．題型六利用矩形的性質(zhì)求面積45．（21-22九年級上·河南平頂山·期末）如圖，過矩形對角線上一點作，分別交和于點和，連接，已知，則和的面積和等于（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】作于，交于，根據(jù)矩形的對角線平分矩形面積的性質(zhì)得到的面積等于，然后求解即可．【詳解】解：作于，交于．則有四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是矩形，，，，，，∴和的面積和，故選：B．46．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于E、F，連接PB、PD．若AE=2，PF=8．則圖中陰影部分的面積為（）A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】首先根據(jù)矩形的特點，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最終得到S矩形EBNP=S矩形MPFD,即可得S△PEB=S△PFD，從而得到陰影的面積．【詳解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．則有四邊形AEPM，四邊形DFPM，四邊形CFPN，四邊形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP=S矩形MPFD,又∵S△PBE=S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8，∴S陰=8+8=16，故選：C．47．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）如圖,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足為E,∠BAE=30°,那么△ECD的面積是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，先求Rt△AED的面積，再證明△ECD的面積與它相等．【詳解】如圖：過點C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=EDAE,S△ECD=EDCF.∴S△AED=S△CDE∵AE=1,DE=，∴△ECD的面積是.故答案選:D.48．（23-24九年級上·河南南陽·期末）矩形中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形，根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中空白部分的面積，其面積是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別求出兩個陰影部分的面積和矩形的面積，即可求出答案．【詳解】解：圖中空白部分的面積，故選：B．49．（22-23九年級上·河南信陽·期末）如圖，四邊形和四邊形都是矩形，且點A在上，設(shè)矩形和矩形的面積分別為，，則與的大小關(guān)系為（

）

A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)可得，，從而可得答案．【詳解】解：∵矩形的面積，，∴．故選：A．50．（22-23九年級上·河南焦作·期末）將矩形繞點旋轉(zhuǎn)至矩形位置，此時的中點恰好與點重合，交于點．若，則的面積為．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋轉(zhuǎn)后矩形與已知矩形全等及矩形的性質(zhì)得到∠DAE為30°，進(jìn)而得到∠EAC=∠ECA，利用等角對等邊得到AE=CE，設(shè)AE=CE=x，表示出AD與DE，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出EC的長，即可求出三角形AEC面積．【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)后AC的中點恰好與D點重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE，在Rt△ADE中，設(shè)AE=EC=x，則有DE=DC-EC=AB-EC=6-x，AD=，根據(jù)勾股定理得：x2=（6-x）2+（）2，解得：x=4，∴EC=4，則S△AEC=EC?AD=，故答案為：．51．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）如圖，矩形的對角線，相交于點O，過點O作于點E，連接，若，，則矩形的面積為．【答案】【分析】利用等腰三角形三線合一，以及三角形的中位線定理，求出，利用勾股定理，求出，進(jìn)而求出，利用即可得解．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴是的中位線，∴，在中，，∴，∴矩形的面積為；故答案為：．52．（20-21九年級上·河南登封·期末）為了迎接2021年春節(jié)，李師傅計劃改造一個長為6m，寬為4m的矩形花池ABCD，如圖，他將畫線工具固定在一根4m木棍EF的中點P處．畫線時，使點E，F(xiàn)都在花池邊的軌道上按逆時針方向滑動一周．若將點P所畫出的封閉圖形圍成的區(qū)域全部種植年花，則種植年花的區(qū)域的面積是m2．【答案】（24﹣4π）【分析】連接BP，則BP為Rt△BEF的斜邊中線，從而當(dāng)EF在從A滑向B的過程中，點P位于以B為圓心，2m為半徑的四分之一圓弧上，EF在BC線段上滑動時，點P有一段在BC上，然后會在以C為圓心，2m為半徑的四分之一圓弧上，同理可得點P在CD線段和DA線段上的運(yùn)動軌跡，則種植年花的區(qū)域的面積可用矩形的面積減去4個四分之一圓弧的面積計算．【詳解】解：連接BP，如圖，由題意可知BP為Rt△BEF的斜邊中線，∵EF＝4m，∴BP＝2m，∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，∴點P的運(yùn)動軌跡為四個圓心分別在點A，B，C，D，半徑為2m的四分之一圓，以及BC和AD上的一段線段．長為6m，寬為4m的矩形花池ABCD的面積為6×4＝24（m2）．∴種植年花的區(qū)域的面積是：24﹣π×22＝(24﹣4π)（m2）．故答案為：(24﹣4π)．題型七正方形性質(zhì)的理解及利用其性質(zhì)求角度53．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)是矩形時，B．當(dāng)是菱形時，C．當(dāng)是正方形時，D．當(dāng)是菱形時，【答案】C【分析】分別根據(jù)矩形、菱形、正方形、菱形的性質(zhì)逐項判斷即可求解．【詳解】解：A.當(dāng)是矩形時，，故原結(jié)論錯誤，不合題意；B.當(dāng)是菱形時，，故原結(jié)論錯誤，不合題意；C.當(dāng)是正方形時，，故原結(jié)論正確，符合題意；D.當(dāng)是菱形時，，故原結(jié)論錯誤，不合題意．故選：C54．（23-24九年級上·河南許昌·期末）如圖，在正方形中，為邊上的點，連接，，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形的外角性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，又四邊形是正方形，則，再由等邊對等角得，最后由三角形的外角性質(zhì)即可求解，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，故選：．55．（23-24九年級上·河南濮陽·期末）如圖，在正方形的邊上取一點E，連接并延長交的延長線于點F，將射線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后交的延長線于點G，連接，若，則的大小是（）A．α B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由“”可證，可得，由“”可證，可得，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．．【詳解】解：在上截取，連接，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵將射線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后交的延長線于點G，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．56．（23-24九年級上·河南周口·期末）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊，則的度數(shù)是．【答案】/45度【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、正方形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用等知識點，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形性質(zhì)得出，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．57．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）如圖，正方形的對角線，交于點O，P為邊上一點，且，則的度數(shù)為．【答案】/22.5度【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)四邊形是正方形，可得，，再根據(jù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，．故答案為：．58．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在正方形中，點F為上一點，交于點E．若，則等于°．【答案】65【分析】由三角形的外角性質(zhì)可知：要求，只要求，由正方形的軸對稱性質(zhì)可知：，即可求出．【詳解】四邊形是正方形，具有關(guān)于對角線所在直線對稱的對稱性，，，，又是的外角，，故答案為：65．59．（21-22九年級上·河南商丘·期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P，，，，求的度數(shù)．針對此問題，數(shù)學(xué)王老師給出了下面的思路：如圖2，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連結(jié)，得到等邊三角形，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及勾股定理……請根據(jù)王老師的思路提示，完成本題的解答；（2）類比延伸如圖3，在正方形ABCD內(nèi)部有一點P，若，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到∠APB的度數(shù)；（2）把△ADP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，然后求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出再求出，然后利用勾股定理得出等量代換得出．【詳解】解：（1）如圖2，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連結(jié)，則為等邊三角形．∴∴∴為直角三角形．∴∠APB的度數(shù)為90°+60°=150°．故答案為：直角；150°；（2）2PA2+PD2=PB2．理由如下：如圖3，把△ADP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP′，連結(jié)．則∴是等腰直角三角形，∴∵∠APD=135°，∴，∴，在Rt中，由勾股定理得，∴．60．（19-20九年級上·河南安陽·期末）如圖1，將邊長為2的正方形如圖放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)．(1)如圖2，若將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，直接寫出A點坐標(biāo)______．(2)如圖3，若將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，求點B的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）作軸于點，則，，求出和，即可得出點A的坐標(biāo)；（2）連接，過點作軸于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為，可得，求出，再利用勾股定理求出，然后在中，利用含直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，進(jìn)而可得點B的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖2，作軸于，則，，，，A點的坐標(biāo)為，故答案為：．（2）如圖3，連接，過點作軸于，則，，，在中，，在中，，，點的坐標(biāo)為．題型八根據(jù)正方形的性質(zhì)求長度61．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，，相交于點M，G為上一點，N為的中點．若，，則線段的長度為（）

A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)條件正方形邊長為4，由勾股定理求出線段長，利用中位線得到長即可．【詳解】解：連接，，

∵點E，F(xiàn)分別是，的中點，∴四邊形是矩形，∴M是的中點，在正方形中，，，∴，在中，由勾股定理得，，在中，M是的中點，N是的中點，∴是的中位線，∴．故選：B．62．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形繞O點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到正方形，以此方式，繞O點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到正方形，如果點C的坐標(biāo)為，那么點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：如圖∵四邊形是正方形，，，，，連接，，∵將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，，同理，∵每次旋轉(zhuǎn)，，∴8次一循環(huán)∵，點的坐標(biāo)與點重合即與關(guān)于O對稱，．故選B63．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，正方形中，，點E，F(xiàn)分別為上一點，且，連接交對角線于點G，點P，Q分別為的中點，則的長為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，利用三角形中位線定理可以求得和的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得的長．【詳解】取中點，連接，取中點，連接，作交于點，如圖所示，正方形的邊長為12，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵中點，點為的中點，∴，，，∴，∵中點，點為的中點，，，，∵，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，，故選：D．64．（22-23九年級上·河南平頂山·期末）如圖，正方形的對角線相交于點，點為上一動點．連接，作交于點，已知，則四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】A【分析】已知四邊形是正方形，，得到，，，，推出，結(jié)合，得到，可進(jìn)一步證明，得到，進(jìn)而得到，即可正確解答．【詳解】∵四邊形是正方形，，∴，，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴四邊形的面積為1．故選：A65．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，在正方形中，，是上一點，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段長的最小值為．【答案】2【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．利用證明，得，再說明，得，，求出的長，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案．【詳解】解：連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，，作于，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為2，故答案為：2．66．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，正方形的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在上，，連接與相交于點G，連接，取的中點H，連接，則的長為．【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等．先用勾股定理求出的長，證明，推出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵正方形的邊長為6，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵取的中點H，連接，∴；故答案為：．67．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，正方形的邊長為，分別是邊上的一點，將正方形沿折疊，使點恰好落在的中點處，點的對應(yīng)點為點，則折痕的長為．【答案】【分析】連接交于點，作，分別交、于點、點，由正方形的性質(zhì)得，，則，所以，由垂直平分，得，則，可證明四邊形是平行四邊形，得，再證明，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接交于點，作，分別交、于點、點，∵四邊形是邊長為的正方形，∴，，∵點為邊的中點，∴，∴，由折疊得點與點關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：．68．（23-24九年級上·河南許昌·期末）如圖，等邊三角形，邊長為6，點D為邊上一點，，以D為頂點作邊長為6的正方形，連接，．將正方形繞點D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)取最小值時，的長為．

【答案】8【分析】過點A作于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出，，得出，在中，由勾股定理得出，當(dāng)正方形繞點D旋轉(zhuǎn)到點E、A、D在同一條直線上時，，即此時取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的邊長及勾股定理即可得出．【詳解】解：過點A作于M，

是等邊三角形，邊長為6，，，，，，在中，，當(dāng)點E在DA延長線上時，，此時取最小值