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渝東九校聯(lián)盟高2026屆(高二上)聯(lián)合診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間:120分鐘總分:150分預(yù)測(cè)難度系數(shù):0.5命審題學(xué)校:秀山一中涪陵高中梁平一中命審題人:唐虹韓樂(lè)榮曾春注意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息填寫(xiě)在答題卡上.2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線(xiàn)的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求.【詳解】化直線(xiàn)為,所以直線(xiàn)的斜率,令直線(xiàn)的傾斜角為,則,,.故選:C.2.已知向量,向量,若,則的值為()A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示列式求解即可.【詳解】因?yàn)?,,且,則,解得.故選:C.3.橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出、的值,即可求出該橢圓的離心率的值.【詳解】在橢圓中,,,則,因此,該橢圓的離心率為.故選:A.4.已知點(diǎn),點(diǎn),則以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)與圓的半徑,即可得出該圓的方程.【詳解】由題意可知,圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn),圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:B.5.已知是空間的一個(gè)基底,則可以和,構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基底向量的定義以及向量共面的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)基底,可知,,不為共面向量,對(duì)于A:因?yàn)?,可知,,為共面向量,不能作為基底,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:因?yàn)?,可知,,為共面向量,不能作為基底,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:因,可知,,為共面向量,不能作為基底,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:假設(shè),,共面,則,可得,方程組無(wú)解,可知,,不為共面向量,可以作為基底,故D正確;故選:D.6.已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn),線(xiàn)段MP的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一般方程得到圓心和半徑,再由幾何關(guān)系得到點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓即可;【詳解】由題意得,圓心,半徑,因?yàn)?,,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,其中,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為,故選:B.7.如圖,在平行六面體中,,,,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量平行六面體法則可得,利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由題意可得,,,所以,向量、、兩兩夾角為,由空間向量數(shù)量積的定義可得,同理可得,因?yàn)?,故,因此?故選:D.8.已知圓.若為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn),則的最小值()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得,由此即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則,解得,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線(xiàn)(點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間)時(shí),取等號(hào),所以的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:若點(diǎn)是半徑為的圓外的一點(diǎn),則點(diǎn)到圓的上一點(diǎn)的距離的取值范圍是.二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線(xiàn),直線(xiàn),,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,則 B.直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)C.若,則 D.當(dāng)時(shí),直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第二象限【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式,解之可判斷A選項(xiàng);解方程組可求出直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo),可判斷B選項(xiàng);利用兩直線(xiàn)垂直求出的值,可判斷C選項(xiàng);數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),若,則,解得,A對(duì);對(duì)于B選項(xiàng),由可得,即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng),若,則,解得,C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng)時(shí),直線(xiàn)交軸的負(fù)半軸于點(diǎn),作出直線(xiàn)的圖象如下圖所示:由圖可知,當(dāng)時(shí),直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第一象限,D錯(cuò).故選:AC.10.圓和圓的交點(diǎn)為、,則有()A.公共弦所在的直線(xiàn)方程為B.線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為C.公共弦的長(zhǎng)為D.為圓上一動(dòng)點(diǎn),則到直線(xiàn)距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】將兩圓作差,可得出公共弦所在直線(xiàn)的方程,可判斷A選項(xiàng);分析可知,垂直平分線(xiàn)段,求出直線(xiàn)的方程,可判斷B選項(xiàng);利用幾何法求出公共弦的長(zhǎng),可判斷C選項(xiàng);利用圓的幾何性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為原點(diǎn),半徑為,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,對(duì)于A選項(xiàng),將兩圓方程作差可得,所以,公共弦所在的直線(xiàn)方程為,A對(duì);對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)?,,,所以,,則,又因?yàn)?,由等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)可知,垂直平分線(xiàn)段,,所以,直線(xiàn)的方程為,即,故線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),圓心到直線(xiàn)的距離為,所以,,C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng),為圓上一動(dòng)點(diǎn),則到直線(xiàn)距離的最大值為,D對(duì).故選:ABD.11.如圖,在正方體中,點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng),則下列結(jié)論正確的是()A.三棱錐的體積為定值B.異面直線(xiàn)AP與所成角的取值范圍是C.平面ADP與平面ABCD所成夾角的余弦值取值范圍是D.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A,利用線(xiàn)面平行的判定定理,得出平面,再根據(jù)三棱錐的體積的計(jì)算方法,即可進(jìn)行判斷;對(duì)于B,利用異面直線(xiàn)所成角的計(jì)算方法,即可進(jìn)行判斷;對(duì)于CD,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求出平面與平面所成角的余弦值和直線(xiàn)與平面所成角的正弦值,然后借助二次函數(shù),即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A,,平面,平面,所以平面,因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)到平面的距離為定值,又的面積為定值,故三棱錐的體積為定值,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)椋援惷嬷本€(xiàn)與所成的角即為與所成的角,當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí),與所成的角為,當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí),因?yàn)槠矫妫?,所以,此時(shí),與所成的角為,所以異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是,故B正確;對(duì)于C,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,,,則,,設(shè)平面的法向量,設(shè)平面的法向量,,則,即,令,則,則得,面與平面所成夾角為,所以,因?yàn)?,,所以,,所以平面與平面所成夾角的余弦值取值范圍是,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,則,,,,,,設(shè)平面的法向量n=x,y,z,則,即,令,則,得,所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為:,當(dāng)時(shí),直線(xiàn)與平面所成角的正弦值取得最大值,最大值為,故D正確.故選:ACD.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】2,3【解析】【分析】聯(lián)立兩直線(xiàn)的方程,可求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】聯(lián)立,解得,因此,直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為:.13.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)在橢圓上且在軸上方,若線(xiàn)段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,則的面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可知,,再結(jié)合等腰三角形求高和面積.【詳解】由橢圓方程可知:,因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),則,可得,因?yàn)?,則,且,所以的面積為.故答案為:.14.在棱長(zhǎng)為的正方體中,、、分別為、、中點(diǎn),、分別為直線(xiàn)、上的動(dòng)點(diǎn),若、、共面,則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)、,其中、,利用空間向量共面可得出,然后二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的最小值.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)、,其中、,易知、,則,,,因?yàn)?、、共面,則存在、,使得,即,解得,所以,,即,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中,、、,線(xiàn)段的中點(diǎn)為,且.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)求邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出點(diǎn)的坐標(biāo),由題意可得出,利用斜率公式可求出實(shí)數(shù)的值;(2)求出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo),可求出直線(xiàn)的方程,再利用點(diǎn)斜式可得出所求直線(xiàn)的方程.【小問(wèn)1詳解】由題意,直線(xiàn)的中點(diǎn)為,則,因?yàn)椋瑒t,即,解得.【小問(wèn)2詳解】由(1)知點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為,所以,,所以,邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為,即.16.如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為直角梯形,,,,,點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求平面與平面夾角余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得出,由已知條件得出,再利用線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?,則,因?yàn)椋矗驗(yàn)?,、平面,故平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?,,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,,則、、、、,設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則,取,可得,設(shè)平面的法向量為n=x2,y2則,取,可得,所以,,因此,平面與平面夾角的余弦值為.17.已知橢圓的左焦點(diǎn)為,且點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若斜率為直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn),且,求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由題意可知:,進(jìn)而可得和方程;(2)設(shè)直線(xiàn):,聯(lián)立方程,利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知:,則,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn):,聯(lián)立方程,消去y可得,則,解得,可得,則,解得,所以直線(xiàn)的方程為,即.18.已知矩形ABCD,,,為CD中點(diǎn),沿AE折成直二面角,為BC為中點(diǎn).(1)求證:;(2)在棱DE上是否存在點(diǎn)N,使得平面ADM?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在;【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn),連接,由面面垂直的性質(zhì)得到,再由中位線(xiàn)的性質(zhì)得到,然后由線(xiàn)面垂直的判定定理證明即可;(2)建立如圖所示坐標(biāo)系,平面的法向量,利用解出即可;【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn),連接,因?yàn)榫匦蜛BCD,,,所以,由為CD中點(diǎn),所以,因?yàn)?,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,由為的中點(diǎn),為四邊形的中位線(xiàn),,所以,又平面,,所以平面,由平面,所以.【小問(wèn)2詳解】作,以為原點(diǎn),以所在直線(xiàn)為建立空間直角坐標(biāo)系,由(1)得為四邊形的中位線(xiàn),所以,由得,,,所以,設(shè)平面的法向量為,則,取,則,設(shè)點(diǎn)存在,,,所以,所以,由平面得,所以,解得,即,所以所以存在點(diǎn)N,使得平面ADM,.19.“曼哈頓幾何”也叫“出租車(chē)幾何”,是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出的(如圖是抽象的城市路網(wǎng),其中線(xiàn)段AB是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離,但在城市路網(wǎng)中,我們只能走有路的地方,不能“穿墻”而過(guò)),所以在“曼哈頓幾何中”,這兩點(diǎn)最短距離用表示,又稱(chēng)“曼哈頓距離”;即,因此:“曼哈頓兩點(diǎn)間距離”:若Ax1,y1,Bx2,y2,則,在平面直角坐標(biāo)系中,我們把到兩定點(diǎn)F1?c,0,的“曼哈頓距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“新橢圓”,(1)已知,,求的值;(2)分別求,的取值范圍;(3)若,,求“新橢圓”圍成的面積.【答案】(1)(2)取值范圍為;的取值范圍為(3)6【解析】【分析】(1)根據(jù)定義直接運(yùn)算求解即可;(2)設(shè)“新橢圓”上任意一點(diǎn)為,可得,分類(lèi)討論去絕對(duì)值,作出圖象,即可得,的范圍;(3)根據(jù)(2)中圖象,代入,即可得面積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,,所?【小問(wèn)2詳解】設(shè)“新橢圓”上任意一點(diǎn)為,根據(jù)“新橢圓”的定義,可得,即,當(dāng)時(shí),可得,即;當(dāng)
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