2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)本章小結(jié)學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊(cè)

第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基本學(xué)問和性質(zhì).2.強(qiáng)化指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的運(yùn)算實(shí)力.3.提高指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的應(yīng)用實(shí)力,駕馭必備的數(shù)學(xué)思想方法.自主預(yù)習(xí)請(qǐng)大家畫出本章的學(xué)問結(jié)構(gòu)圖:課堂探究類型1指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算問題解決這類問題首先要嫻熟駕馭指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的積、商、冪、方根的運(yùn)算法則,嫻熟駕馭各種變形.如N1b=a,ab=N,logaN=b(其中N>0,a>0,a≠1)是同一數(shù)量關(guān)系的不同表示形式,因此在很多問題中要能嫻熟【例1】(1)若xlog23=1,則3x+9x的值為()A.6 B.3 C.52 D.(2)已知2a=5b=c,1a+1b=1,則c=規(guī)律方法:類型2函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的函數(shù),它們的圖像和性質(zhì)是考查的重點(diǎn),應(yīng)嫻熟駕馭圖像的畫法及形態(tài),熟記性質(zhì),特殊要留意指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)在取不同值時(shí),對(duì)圖像和性質(zhì)的影響.【例2】當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式(x-1)2<logax恒成立,則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.0規(guī)律方法:跟蹤訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=12(1)畫出函數(shù)f(x)的圖像;(2)依據(jù)圖像寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間,并寫出函數(shù)的值域.類型3數(shù)的大小比較問題比較幾個(gè)數(shù)的大小問題是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的重要應(yīng)用,最基本的方法是將須要比較大小的實(shí)數(shù)看成某類函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該類函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.【例3】(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,則a,b,c三者的大小關(guān)系是()A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a(2)設(shè)a=log132,b=log123,c=A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c規(guī)律方法:類型4分類探討思想所謂分類探討,實(shí)質(zhì)上是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的策略.分類探討時(shí)應(yīng)留意理解和駕馭分類的原則、方法與技巧,做到確定對(duì)象的全面,明確分類的標(biāo)準(zhǔn),不重不漏地分類探討.在初等函數(shù)中,分類探討的思想得到了重要的體現(xiàn),可依據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分類探討,使得求解得以實(shí)現(xiàn).【例4】已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3((1)求m的值,并確定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga(f(x)-ax)(a>0,且a≠1)在[2,3]上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.規(guī)律方法:類型5函數(shù)與方程思想【例5】若函數(shù)f(x)=10|lgx|-a有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1規(guī)律方法:核心素養(yǎng)專練1.求值:(1)21412-(-9.6)0-338-23+(1.5)-2;(2)log2512·log45-2.已知函數(shù):①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=x12.則下列函數(shù)圖像(第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號(hào)的對(duì)應(yīng)依次是(A.②①③④ B.②③①④ C.④①③② D.④③①②3.已知0<a<1,x=loga2+loga3,y=12loga5,z=loga21-loga3,則(A.x>y>z B.z>y>xC.y>x>z D.z>x>y4.設(shè)a>0且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),試比較P,Q的大小.5.若關(guān)于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

6.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定義域;(2)探討f(x)的單調(diào)性;(3)當(dāng)a取何值時(shí),圖像在y軸的左側(cè)?7.為減輕手術(shù)給病人帶來的苦痛,麻醉師要給病人注射肯定量的麻醉劑,某醫(yī)院確定在某小型手術(shù)中為病人采納一種新型的麻醉劑,已知這種麻醉劑釋放過程中血液中的含量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比,麻醉劑釋放完畢后,y與t的函數(shù)解析式為y=18t-a(1)試求從麻醉劑釋放起先,血液中的麻醉劑含量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的解析式;(2)依據(jù)麻醉師的統(tǒng)計(jì),當(dāng)人體內(nèi)血液中每升的麻醉劑含量降低到0.125毫克以下時(shí),病人才能醒悟過來,那么實(shí)施麻醉起先,至少須要經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,病人才能醒悟過來?參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究【例1】(1)A(2)10解析:(1)由xlog23=1,得x=log32,所以3x+9x=3log32+3log322(2)由2a=5b=c,得a=log2c,b=log5c,1a+1b=1log2c+1log5c=logc2+logc規(guī)律方法:略【例2】C解析:如圖所示,設(shè)f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的圖像在f2(x)=logax的下方即可,當(dāng)0<a<1時(shí)明顯不成立.當(dāng)a>1時(shí),如圖,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的圖像在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2.∴l(xiāng)oga2≥1,∴1<a≤2,故選C.規(guī)律方法:略跟蹤訓(xùn)練解:(1)先作出當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=12x的圖像,利用偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,再作出f(x)在x∈(-∞(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),值域?yàn)?0,1].【例3】(1)C(2)D解析:(1)∵a=log20.3<log21=0,b=20.3>20=1,0<c=0.30.2<0.30=1,∴b>c>a.故選C.(2)∵a=log132<0,b=log123<0,log132>log133,log133>規(guī)律方法:略【例4】思路探究:(1)結(jié)合f(3)<f(5),與函數(shù)f(x)的奇偶性,分類探討確定m的值及f(x)的解析式.(2)由g(x)為增函數(shù),結(jié)合a探討,求出a的取值范圍.解:(1)由f(3)<f(5),得3-2m∴35-2m2∵y=35∴-2m2+m+3>0,解得-1<m<32∵m∈N,∴m=0或1.當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x-2m當(dāng)m=1時(shí),f(x)=x-2m2綜上,m=1,此時(shí)f(x)=x2.(2)由(1)知,當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=loga(x2-ax).①當(dāng)0<a<1時(shí),y=logau在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,要使g(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,則需u(x)=x2-ax在[2,3]上單調(diào)遞減,且u(x)>0.∴a2②當(dāng)a>1時(shí),y=logau在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,要使g(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,則需u(x)=x2-ax在[2,3]上單調(diào)遞增,且u(x)>0.∴a2≤2,u∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,2).規(guī)律方法:略【例5】B解析:若函數(shù)f(x)=10|lgx|-a有兩個(gè)零點(diǎn),則10|lgx|-a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即10|lgx|=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=10|lgx|與y=a圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn),為此只要畫出y=10|lgx|的圖像即可.當(dāng)x≥1時(shí),lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;當(dāng)0<x<1時(shí),lgx<0,y=10|lgx|=10-lgx=1x,所以y=這是分段函數(shù),每段函數(shù)可依據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出,如圖.依題意,得a>1.規(guī)律方法:略核心素養(yǎng)專練1.解:(1)原式=9412-1-=32-1-32-2+232=32-1(2)原式=-12log52·12log25+log33-2log22=-14+1-2+2=32.D解析:依據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知選D.3.C解析:依題意,得x=loga6,y=loga5,z=loga7.又0<a<1,5<6<7,因此有l(wèi)oga5>loga6>loga7,即y>x>z.4.解:當(dāng)0<a<1時(shí),有a3<a2,即a3+1<a2+1.又當(dāng)0<a<1時(shí),y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴l(xiāng)oga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q;當(dāng)a>1時(shí),有a3>a2,即a3+1>a2+1.又當(dāng)a>1時(shí),y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴l(xiāng)oga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.綜上,可得P>Q.5.0解析:若關(guān)于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則|x-2|(x+1)=m至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即函數(shù)y=|x-2|(x+1)與y=m的圖像至少有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)x≥2時(shí),即x-2≥0時(shí),y=(x-2)(x+1)=x-12當(dāng)x<2時(shí),即x-2<0時(shí),y=-(x-2)(x+1)=-x-12所以y=x這是分段函數(shù),每段函數(shù)圖像可依據(jù)二次函數(shù)圖像作出,如圖.依題意,得0≤m≤946.解:(1)當(dāng)a>1時(shí),定義域?yàn)?0,+∞);當(dāng)0<a<1時(shí),由ax-1>0可知,定義域?yàn)?-∞,0).(2)設(shè)f(u)=logau,u=ax-1.當(dāng)a>1時(shí),x∈(0,+∞),u=ax-1是增函數(shù),y=logau也是增函數(shù).由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù).同理,當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)在(-∞,0)內(nèi)為增函數(shù).(3)由圖像在y軸的左側(cè)可知,當(dāng)x<0時(shí),ax-1>0,解得0<a<1.7.解:(1)由題圖可知,血液中麻醉劑的含量y(毫克)是關(guān)于時(shí)間t(小時(shí))的一個(gè)分段函數(shù).當(dāng)0≤t≤0.1時(shí),函數(shù)的圖像是一條經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)的線段,設(shè)其方程為y=kt(k為待定系數(shù)),又因?yàn)锳(0.1,1)是這條線段的一個(gè)端點(diǎn),代入點(diǎn)A的坐標(biāo),得k=10,所以當(dāng)0≤t≤0.1時(shí),y=10t.當(dāng)t>0.1時(shí),函數(shù)解析式為y=18而A(0.1,1)在這段函數(shù)圖像上,代入,得1=18所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故當(dāng)t>0.1時(shí),y=1綜上,血液中麻醉劑的含量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的解析式為y=10(2)要使手術(shù)后的病人能醒悟過來,須要麻醉劑含量降低到0.125毫克以下,此時(shí)t>0.1,且y≤0.125=18當(dāng)t>0.1時(shí),由18t-0.1≤解得t≥1.1.所以至少須要經(jīng)過1.1小時(shí)后病人才能醒悟.學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)能應(yīng)用指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題;(2)能解決比較大小、解不等式等問題;(3)能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.課堂探究一、指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算例1化簡(jiǎn):(1)(8)-23×((2)lg2跟蹤演練1計(jì)算:80.25×42+(32×3)6+log32×log2(log3二、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其應(yīng)用例2如圖,函數(shù)f(x)的圖像為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}跟蹤演練2方程log2(x+2)=-x的實(shí)數(shù)解有()A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)三、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例3(1)(2024全國(guó)Ⅰ理)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a(2)已知函數(shù)f(x)=1+lo①求f(-2)+f(log212);②解不等式f(x)<4.跟蹤演練3設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2+x)-ln(2-x),則f(x)是()A.奇函數(shù),且在(0,2)上是增函數(shù)B.奇函數(shù),且在(0,2)上是減函數(shù)C.偶函數(shù),且在(0,2)上是增函數(shù)D.偶函數(shù),且在(0,2)上是減函數(shù)四、函數(shù)模型的應(yīng)用例4大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵,經(jīng)探討發(fā)覺鮭魚的游速可以表示為函數(shù)v=12log3θ100,單位是m/s,θ(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是900個(gè)單位時(shí)①,它的游速是多少?(2)某條鮭魚想把游速提高1m/s②,那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍?

跟蹤演練4某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,近年來,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng).記2013年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關(guān)系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log1找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取2013年和2024年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.課堂練習(xí)1.已知2x=3,log483=y,則x+2y的值為2.若函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖像如圖所示,則下列函數(shù)圖像正確的是()3.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y,則x,y的函數(shù)關(guān)系是()A.y=0.9576x100 B.y=(0.9576)C.y=0.9576100x D.y=4.(2024全國(guó)Ⅲ文)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則()A.flog314B.flog314C.f2-32>fD.f2-23>f核心素養(yǎng)專練A組:基礎(chǔ)過關(guān)1.設(shè)a=log123,b=130.2A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c2.函數(shù)y=log12A.[-1,0) B.(0,1] C.(-∞,-1] D.[-1,+∞)3.(2-1)0+169-12+(4.下列函數(shù)中,是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是()A.y=-3|x| B.y=xC.y=log3x2 D.y=x-x25.函數(shù)y=ax在[0,1]上取得的最大值與最小值的和為3,則a等于()A.12 B.2 C.14 D6.將函數(shù)y=2x的圖像,經(jīng)過平移變換后,再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖像,可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖像,則所作的平移變換為()A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C.向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D.向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B組:實(shí)力提升1.已知函數(shù)f(x)=12x(x≥4),f(xA.1 B.18 C.1162.已知a>0,且a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)在同一坐標(biāo)系中的圖像只可能是()3.已知f(x)是偶函數(shù),它在(0,+∞)上是減函數(shù),若f(lgx)>f(1),則x的取值范圍是()A.110,1 B.0,C.110,104.若y=loga(2-ax)在[0,1]上是減函數(shù),則a的取值范圍為()A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(1,+∞)5.已知冪函數(shù)y=(m2-5m-5)·x2m+1在(0,+∞)上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為.

6.一片森林原來面積為a,安排每年砍伐一些樹,且使森林面積每年比上一年削減p%,10年后森林面積變?yōu)閍2.為愛護(hù)生態(tài)環(huán)境,所剩森林面積至少要為原面積的14.已知到今年為止,森林面積為(1)求p%的值;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?參考答案課堂探究例1解:(1)原式=232-2=2-1×103×10-52=2-1×10(2)原式=12(lg2+lg9-lg10跟蹤演練1解:∵log32×log2(log327)=log32×log23=lg2lg3×lg3lg2∴原式=234×214+22×33+1=21+4×27+例2答案:C解析:借助函數(shù)的圖像求解該不等式.作出函數(shù)y=log2(x+1)圖像如圖.由x得x∴結(jié)合圖像知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-1<x≤1}.跟蹤演練2B解析:令y1=log2(x+2),y2=-x,分別畫出兩個(gè)函數(shù)圖像,如圖所示.函數(shù)y1=log2(x+2)的圖像是由函數(shù)y1=log2x的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到.函數(shù)y2=-x的圖像是由冪函數(shù)y=x12的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱得到.由圖像可知,明顯y1與例3(1)B(2)解:①f(-2)+f(log2