函數(shù)的凹凸性及其應(yīng)用8600字【論文】

函數(shù)的凹凸性及其應(yīng)用 1 1 1 4 5 5 5 6 7 7 8 121緒論1.1問(wèn)題研究背景坐標(biāo)軸原點(diǎn)對(duì)稱還是y軸對(duì)稱或者前兩者都不是。但是還有一些情況的拋物線，如y=x2,,我們可以利用奇偶定義來(lái)判斷他們圖像的對(duì)稱性，根據(jù)單調(diào)性的定義，可以判斷出他們?cè)趨^(qū)間[0,1]上的單調(diào)性，但是我們不好判斷在此區(qū)間內(nèi)多個(gè)自變量的函數(shù)值組成的式子的大小。從畫出來(lái)的圖像上來(lái)看，他們的彎曲方向不一樣，在同一個(gè)函數(shù)中，對(duì)于一點(diǎn)的函數(shù)值比另一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值是大還是小，尤其是在不等式這里，僅僅運(yùn)用我們所知道的單調(diào)性這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是很難證明出來(lái)的，這說(shuō)明無(wú)論是增加我們的知識(shí)面，還是對(duì)于我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，僅僅知道單調(diào)性這些基礎(chǔ)的函數(shù)性質(zhì)是不夠的，還需要考慮函數(shù)圖形的彎曲方向，讓我們知道這個(gè)圖像的趨勢(shì)是怎樣的一個(gè)情況，根據(jù)函數(shù)圖像的趨勢(shì)我們能總結(jié)得出怎樣的結(jié)論，這樣的結(jié)論才是我們學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。通過(guò)查閱了國(guó)內(nèi)外的參考文獻(xiàn)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽以及對(duì)近幾年高考試題的分析中，發(fā)現(xiàn)函數(shù)凹凸性不但在解決高中題時(shí)有很多方便之處，在證明不等式，求最值時(shí)有著一定的簡(jiǎn)便之處，而且函數(shù)的凹凸性這塊知識(shí)點(diǎn)主要重點(diǎn)用于高等數(shù)學(xué)中，凸函數(shù)也在泛函分析、最優(yōu)化理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)以及數(shù)學(xué)規(guī)劃和控制論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，然而高中課本中并沒有涉及函數(shù)凹凸性的相關(guān)概念，雖然函數(shù)的凹凸性在高中教材中沒有給出系統(tǒng)定義、性質(zhì)，但發(fā)現(xiàn)它的影子不僅在課本題目中，還在高考大題中頻頻出現(xiàn)，這充分說(shuō)明了高考命題源于課本，又高于課本的原則，同時(shí)也體現(xiàn)了高考為高校輸送優(yōu)秀人才的選拔性功能，在遇到解決高中涉及函數(shù)的凹凸性的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，大部分的學(xué)生常常感到迷茫，不知道從那開始下手，于是學(xué)生在努力回憶自己學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有涉及這一部分的內(nèi)容，心里面更是沒有其他想法，在思考題目時(shí)找不到突破口，于是導(dǎo)致在接下來(lái)的解題中感到困難，然而有部分學(xué)生雖然找不到新的突破口，但還是會(huì)根據(jù)之前學(xué)習(xí)的知識(shí)，按部就班的去看待題目，按照之前的解題模式，嘗試著去做題，能做到那一步就盡量做到那一步，然而這部分學(xué)生在遇到計(jì)算量大或繁鎖時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生厭學(xué)數(shù)學(xué)的情緒，除此之外，還會(huì)影響接下來(lái)的解題思路，甚至情緒也會(huì)被調(diào)撥起來(lái)。為了解除這種困惑，培養(yǎng)與提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生掌握函數(shù)凹凸性及其在不同類型題目中的應(yīng)用是很必要的，因此本畢業(yè)論文從凹凸函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和函數(shù)凹凸性在不同題型中的解題應(yīng)用兩個(gè)大的方面，對(duì)函數(shù)凹凸性定義、相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用進(jìn)行進(jìn)一步的分析和總結(jié)。探討函數(shù)凹凸性在證明不等式、求最值以及解數(shù)形結(jié)合問(wèn)題等方面的應(yīng)用，尋找解決有關(guān)函數(shù)凹凸性的相關(guān)問(wèn)題提供比較清晰的解題思路和解題方法。1.2問(wèn)題的研究及其意義對(duì)該問(wèn)題的研究還可以：①有利于方便解決更多復(fù)應(yīng)用很廣泛，同樣的知識(shí)點(diǎn)，但對(duì)于不同類型的題目，運(yùn)靈活性大，更多的是需要學(xué)生的靈活變通，去的知識(shí)點(diǎn)。在學(xué)生學(xué)習(xí)生涯中，數(shù)學(xué)中的重。那么在初高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，函數(shù)的單調(diào)性，但這些知識(shí)點(diǎn)不足于學(xué)生解決更深層次點(diǎn)的函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)性可以幫助學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的提高，并加深展。能處理好數(shù)學(xué)問(wèn)題并非易事，首先要擁有一識(shí)的儲(chǔ)備能力，更重要的是要擁有自主學(xué)習(xí)能力及到很多數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的問(wèn)題，這些數(shù)學(xué)方法和聯(lián)系，相對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)論是數(shù)學(xué)方法還是數(shù)學(xué)思數(shù)問(wèn)題中需要考慮多方面的因素，特別是在數(shù)學(xué)要性，利用函數(shù)的凹凸性可以更方便的解決涉及函考命題的趨勢(shì)都有涉及到函數(shù)凹凸性的內(nèi)容，并且是值比較高，可以用來(lái)區(qū)分學(xué)生水平的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，不有利于即將進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ)鋪墊。函數(shù)的性很高，主要用于高等數(shù)學(xué)中。無(wú)論是數(shù)學(xué)專一科來(lái)說(shuō)，函數(shù)都是特別重要的知識(shí)點(diǎn)，其進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)等方面的問(wèn)題，并不是說(shuō)是為了學(xué)習(xí)才研究，也不是說(shuō)是為了考試而研究，是為了更好的解決在理論上的或?qū)嵺`中的運(yùn)用，因此，研究函數(shù)凹凸性及其應(yīng)用是非常有必要的。1.3研究動(dòng)態(tài)根據(jù)所查到的相關(guān)文獻(xiàn)資料可知，目前有關(guān)函數(shù)凹凸性在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)中的研究甚多，學(xué)者們從不同的方面和角度對(duì)其進(jìn)行了較為廣泛的探討，張嫣[11在《函數(shù)凹凸性在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究》中從復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋編寫的《數(shù)學(xué)分析》,從不同的方面給出了三種不同的函數(shù)凹凸性定義，還說(shuō)明函數(shù)凹凸性的相關(guān)性質(zhì)以及一些重要不等式，并用實(shí)際例子來(lái)說(shuō)明函數(shù)凹凸性在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。魏遠(yuǎn)金[2]的《函數(shù)四凸性在高考中的應(yīng)用》一文主要闡述了利用函數(shù)凹凸性解決一些用初等數(shù)學(xué)知識(shí)難以解決的問(wèn)題。劉海燕[3]的《凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用》一文給出了凸函數(shù)的定義，性質(zhì)及其在證明不等式中的應(yīng)用，夏紅衛(wèi)[4]的《凸函數(shù)與不等式》一文從凸函數(shù)的定義出發(fā)，得到函數(shù)的連續(xù)性，推導(dǎo)出詹森不等式，并由此得到個(gè)正數(shù)的平均值不等式。韓艷娜5在《關(guān)于函數(shù)凹凸性的教學(xué)探究》中說(shuō)到凹凸性反映在函數(shù)圖形上就是曲線的彎曲方向，它揭示了函數(shù)的因變量隨自變量變化而變化的快慢程度。并規(guī)定定義：在某區(qū)間內(nèi)，如果曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凹的(上凹的);如果曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是凸的(下凹的)。說(shuō)明函數(shù)凹凸性的本質(zhì)：函數(shù)的凹凸性揭示了函數(shù)因變量隨自變量變化而變化的快慢程度對(duì)自變量的每一個(gè)單位增量，凹函數(shù)的因變量增量越來(lái)越大，凸函數(shù)的因變量增量越來(lái)越小。并提出問(wèn)題：函數(shù)的單調(diào)性可由導(dǎo)數(shù)判定，函數(shù)的凹凸性是否也能由導(dǎo)數(shù)判定呢，利用二階導(dǎo)數(shù)總結(jié)出判斷函數(shù)凹凸性的定理：設(shè)通過(guò)分析和整理文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，有不少的人在研究函數(shù)的凹凸性，并且從不同的角度得出關(guān)于函數(shù)凹凸性的定義以及函數(shù)凹凸性基本性質(zhì)之間的聯(lián)系和函數(shù)凹凸性在不同類型題目中的應(yīng)用。2函數(shù)的凹凸性理論基礎(chǔ)2.1函數(shù)凹凸性的定義函數(shù)的凹凸性是函數(shù)性質(zhì)中一個(gè)特別重要的性質(zhì)，對(duì)于深入學(xué)習(xí)函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)的凹凸性這塊知識(shí)點(diǎn)起到很大的重要，可以說(shuō)是簡(jiǎn)單性質(zhì)的升華，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)復(fù)雜定義的鋪墊。不同教材中給出不同的函數(shù)定義。本文采用的是復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系陳傳璋編寫的《數(shù)學(xué)分析》[7]中的定定義1函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，若對(duì)[a,b]中任意兩點(diǎn)x?,x?,恒有),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹(凸)函數(shù)。定義2f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，若對(duì)區(qū)間D上任意兩點(diǎn)x?,x?,及λ?>0,λ?>0若f(A?x?+λzx?)>λ?f(x?)+λ?f(x?),則稱f(x)在區(qū)間D上是上凸的，其中當(dāng)且僅當(dāng)x?=x?時(shí)取等號(hào)。若f(A?x?+λ?x?)<λ?f(x?)+λ?f(x?),則稱f(x)在區(qū)間D上是下凸的，其中當(dāng)且僅當(dāng)x?=x?時(shí)取等號(hào)。在高等數(shù)學(xué)的教材中，曲線的凹凸性定義為：設(shè)曲線弧的方程為y=f(x),且曲線弧。上每一點(diǎn)都有切線，如果在某區(qū)間內(nèi)，該曲線孤位于其上任一點(diǎn)切線的上方，則稱曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，該曲線弧位于其上任一點(diǎn)切線的下方，則稱曲線弧在該區(qū)間內(nèi)是凸的。這是在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)的凹凸性直接用語(yǔ)言的形式描述出來(lái)。從這里，我們可以看出無(wú)論是數(shù)學(xué)分析還是高等數(shù)學(xué)中函數(shù)凹凸性的定義，它的定義與函數(shù)單調(diào)性的定義相比較，函數(shù)的凹凸性都比較復(fù)雜些，根據(jù)函數(shù)凹不論是那一種情況，我們都可以根據(jù)函數(shù)凹凸性的定義來(lái)判斷不同函數(shù)值的大小。2.2函數(shù)凹凸性的相關(guān)性質(zhì)我們已經(jīng)知道函數(shù)凹凸性的定義，必然也少不了從定義中總結(jié)出一些相關(guān)的性質(zhì)，下面是對(duì)函數(shù)凹凸性的相關(guān)性質(zhì)[7做出歸納總結(jié)性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，則下列論斷互相等價(jià)(2)f'為I上的增函數(shù)；性質(zhì)2設(shè)f為區(qū)間I上的二階導(dǎo)數(shù)在，則在I上f為下凸(上凸)函數(shù)的充要條性質(zhì)3對(duì)于函數(shù)f(x)有這樣的性質(zhì)(1)函數(shù)f(x)與f-1(x)、-f(x)的凸性相反；(3)若g(x)是線性函數(shù)，則函數(shù)f(x)+g(x)與f(x)凸性相同；函數(shù)凹凸性的相關(guān)性質(zhì)對(duì)我們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題有一定的幫助，對(duì)于簡(jiǎn)單類型的題目，我們可以直接應(yīng)用函數(shù)凹凸性的定義去解決，對(duì)于復(fù)雜點(diǎn)的題目，函數(shù)凹凸性的性質(zhì)可以幫助我們找到新的突破口，提供解決問(wèn)題的思路。2.3函數(shù)凹凸性的判別方法判斷函數(shù)的凹凸性，我們有幾種類型，一是根據(jù)函數(shù)凹凸性的定義判斷函數(shù)圖像是凹的還是凸的，二是根據(jù)函數(shù)凹凸性的三個(gè)性質(zhì)來(lái)判斷，三是一些特殊判別方法。以下是常用的判別方法[8及其特殊方法[9]定理1設(shè)f(x)在(a,b)上二階可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)上是凸函數(shù)的充要條件是定理2設(shè)f(x)為區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)，則(x)為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)區(qū)定理3設(shè)函數(shù)u=φ(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)區(qū)間(1)若函數(shù)y=f(u)在(a,β)內(nèi)為單調(diào)增加的凹函數(shù)，函數(shù)u=φ(x)是區(qū)間(a,b)內(nèi)的凹函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內(nèi)的凹函數(shù)；(2)若函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(α,β)內(nèi)為單調(diào)增加的凸函數(shù)，函數(shù)u=φ(x)是區(qū)間(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)；的凸函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內(nèi)的凹函數(shù)；(4)若函數(shù)y=f(u)在(a,β)內(nèi)為單調(diào)減少的凸函數(shù)，函數(shù)u=φ(x)是區(qū)間(a,b)內(nèi)的凹函數(shù)，則y=f[φ(x)]也是區(qū)間(a,b)內(nèi)的凸函數(shù)；3函數(shù)凹凸性的幾個(gè)應(yīng)用3.1函數(shù)凹凸性在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用代化生活和未來(lái)發(fā)展提供更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使他們獲得更高水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備，同時(shí)把提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一”。近幾年來(lái)，高考命題制度的改革是在逐漸變化，許多的省市開始自主命題，然而這些省市主要是由高校的教授和中學(xué)教學(xué)一線的教師參加到高考命題的工作中，并且高校教授占高考命題工作人員的絕大部分。高中課堂為了滲透新課程理念，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和自主探究能力。高考命題工作人員為了體現(xiàn)這樣的目標(biāo)，將題目與這種目標(biāo)相結(jié)合，很快就會(huì)有人發(fā)現(xiàn)在近幾年來(lái)許多高考數(shù)學(xué)題目強(qiáng)化了對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力和自主探究能力的考察。然而這些考察方式往往都是以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景出現(xiàn)，也就是說(shuō)試題會(huì)以高等數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的背景為來(lái)源設(shè)計(jì)。但是這類題目往往是用高中數(shù)學(xué)所學(xué)的初等知識(shí)來(lái)解決。針對(duì)這類題目的解決方法，要求學(xué)生具有一定的知識(shí)儲(chǔ)備能力以及做題然而在高中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)凹凸性沒有給出具體的定義和性質(zhì)，但函數(shù)凹凸性的理論和思想在課本題目中，高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都有體現(xiàn)。對(duì)學(xué)生思維的抽象性、邏輯性，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和探究能力提出了更高一步的要求，也體現(xiàn)了高在教材中，函數(shù)凹凸性的影子經(jīng)常出現(xiàn)，如人教版高中數(shù)學(xué)《集合與函數(shù)概念》第45頁(yè)第5題的第二問(wèn)：這道題主要考察的是有關(guān)函數(shù)的概念，比較同一函數(shù)不同自變量的函數(shù)值，判斷兩個(gè)函數(shù)值的大小，學(xué)生在解決此類題目時(shí)經(jīng)常用作差法，得出的值與零相比較，判斷與零的大小，最后得出結(jié)論。證明如下：,所,即命題。其實(shí)從圖形中不難看出來(lái)，函數(shù)g(x)=x2+ax+b是一個(gè)二次函數(shù)，開口向上，是一個(gè)凹函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)的定義，我們就可以直接判斷出這個(gè)不等式成立。由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)函數(shù)凹凸性的定義。他們看到這樣的題目也只會(huì)根據(jù)自己學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決相信很多學(xué)生看到這樣的題目，很有可能就這樣按部就班的證明下來(lái)，如果|cotx?+cotx?+……+cotxnlP≤nP-1(|c像這樣類型的復(fù)雜題目，計(jì)算起來(lái)計(jì)算量不僅很大，而且應(yīng)用有關(guān)函數(shù)的基本性質(zhì)，像單調(diào)性，奇偶性等這些基本知識(shí)我們是不能夠去解決，找不到好的解決方法。這時(shí)我們就需要更深一點(diǎn)的知識(shí)，更簡(jiǎn)單的解決辦法。所以我們是很有必要學(xué)習(xí)函數(shù)的凹凸性及其它的應(yīng)用，它能夠幫助我們解決更深層次的問(wèn)題。3.2函數(shù)凹凸性在證明不等式中的應(yīng)用從分析文獻(xiàn)中和學(xué)習(xí)到的內(nèi)容中，函數(shù)凹凸性的應(yīng)用顯著地體現(xiàn)在求最值、不等式的證明上，想要證明不等式的方法有很多，關(guān)鍵在于方法簡(jiǎn)不簡(jiǎn)單，實(shí)用性是否強(qiáng)，在證明不等式中，雖然函數(shù)凹凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體形態(tài)，從部分的區(qū)間中可以明顯的觀察到函數(shù)圖像的趨勢(shì)，但是需要我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明出來(lái)，是一個(gè)難題，解決此類的題目，關(guān)鍵在于方法的靈活運(yùn)用。因此函數(shù)的凹凸性可以很好的幫助我們?nèi)プC明不等式，可以通過(guò)構(gòu)造凸函數(shù)，應(yīng)用凸函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)去進(jìn)一步證明我們遇到的不等式。在不等式的研究中，凸函數(shù)所發(fā)揮著很重要的作用，在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著廣泛的應(yīng)用背景，我們可以根據(jù)凸凹函數(shù)的特性，來(lái)解決一系列擁有較大難度的不等式，以及導(dǎo)出一些較難的不等式，通過(guò)凸函數(shù)的性質(zhì)來(lái)得到比較直觀的證明。解決不等式的證明有著許多方便之處，凸函數(shù)適當(dāng)?shù)膽?yīng)用，使證明過(guò)程更加簡(jiǎn)潔，會(huì)使結(jié)論的得出更加的方便。在利用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明不等式，最關(guān)鍵也是最難的一步是在如何根據(jù)題目的要求構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)。如：例1證明不等例2證明下列不等式證明(1)構(gòu)造函數(shù)f(x)=x"(x>0,n∈N*,n>1),則f'(x)=nxn-1,f"(x)=n(n-1)xn-2。由條件知，在(0,+○)上，f"(x)>0,故f(x)是上的由條件知，在這題的思路是先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，利用凹凸函數(shù)的性質(zhì)，直接得出這個(gè)函數(shù)是凹函數(shù)，根據(jù)定義，直接得出結(jié)論，命題得證。從這個(gè)題目中可以看出利用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明不等式有著很大的技巧，在此過(guò)程中0。在這道題目中，只需要三個(gè)步驟就證明出不等式，構(gòu)造、求導(dǎo)數(shù)、Jenson不等式，這個(gè)過(guò)程思路清楚，解題過(guò)程簡(jiǎn)單。3.3函數(shù)凹凸性在求最值中的應(yīng)用不論是在中學(xué)階段還是在大學(xué)學(xué)習(xí)中，當(dāng)我們遇到求最值的問(wèn)題，我們一般都是根據(jù)題目中已知的信息，列出相關(guān)等式或者不等式，然后再根據(jù)題目的問(wèn)題要求，找到他們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，留下題目需要的式子，最后運(yùn)用解題方法把最后的結(jié)論求出來(lái)，一般的求最值的問(wèn)題，最后都是轉(zhuǎn)化為不等式的問(wèn)題，在沒有學(xué)習(xí)函數(shù)凹凸性之前，我們接觸到求最值有很多種方法，如利用函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的連續(xù)性等等。可以求出一般函數(shù)的最值，但是對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)，我們需要求它的單調(diào)性，判斷它在區(qū)間內(nèi)是遞增的還是遞減的，是在那一個(gè)自變量能夠取得它的最值，然而在求復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性這里，我們就有可能進(jìn)行不下去了，有些復(fù)雜的函數(shù)，根據(jù)我們的知識(shí)