福建省寧德市福安老區(qū)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

/福建省寧德市福安老區(qū)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，已知為△內(nèi)部（包括邊界）的動點，若目標(biāo)函數(shù)僅在點處取得最大值，則實數(shù)的取值范圍是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略2.下列命題正確的是（）A．若a＞b，則ac2＞bc2 B．若a＞﹣b，則﹣a＞bC．若ac＞bc，則a＞b D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】證明題．【分析】根據(jù)不等式式的性質(zhì)，令c=0，可以判斷A的真假；由不等式的性質(zhì)3，可以判斷B，C的真假；由不等式的性質(zhì)1，可以判斷D的真假，進(jìn)而得到答案．【解答】解：當(dāng)c=0時，若a＞b，則ac2=bc2，故A錯誤；若a＞﹣b，則﹣a＜b，故B錯誤；若ac＞bc，當(dāng)c＞0時，則a＞b；當(dāng)c＜0時，則a＜b，故C錯誤；若a＞b，則a﹣c＞b﹣c，故D正確故選D【點評】本題考查的知識點是不等式的性質(zhì)，及命題的真假判斷與應(yīng)用，其中熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3.由①安夢怡是高二（1）班的學(xué)生，②安夢怡是獨生子女，③高二（1）班的學(xué)生都是獨生子女，寫一個“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為（

）A.②①③ B.②③① C.①②③ D.③①②參考答案：D【分析】根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過程是：大前提：③高二（1）班的學(xué)生都是獨生子女；小前提：①安夢怡是高二（1）班的學(xué)生；結(jié)論：②安夢怡是獨生子女，故選D.【點睛】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.4.在棱長分別為1，2，3的長方體上隨機選取兩個相異頂點，若每個頂點被選的概率相同，則選到兩個頂點的距離大于3的概率為

（）A． B．

C．

D．

參考答案：B略5.若,則直線的傾斜角的取值范圍是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，以為頂點的△ABC的面積記為函數(shù)S(x)，則函數(shù)S(x)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】連結(jié)AB后，AB長為定值，由C點變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長一定，在點C由A到B的過程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點附近時，三角形的面積減或增較慢，故選：D．【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．7.如果原命題的結(jié)構(gòu)是“p且q”的形式，那么否命題的結(jié)構(gòu)形式為（

）A．?p且?q B．?p或?q

C．?p或q

D．?q或p參考答案：B8.定義的運算分別對應(yīng)下圖中的（1），（2），（3），（4），那么，圖中A，B可能是下列（）的運算的結(jié)果

（）

A．，

B．，C．，

D．，參考答案：B略9.已知矩形沿矩形的對角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，（

）A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，，“AD與BC”均不垂直參考答案：B10.某城市有3個演習(xí)點同時進(jìn)行消防演習(xí)，現(xiàn)將4個消防隊分配到這3個演習(xí)點，若每個演習(xí)點至少安排1個消防隊，則不同的分配方案種數(shù)位（） A．12 B． 36 C． 72 D． 108參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第

象限．參考答案：四【考點】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)得答案．【解答】解：∵z==，∴，∴復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（），位于第四象限．故答案為：四．12.若函數(shù)在上有意義，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：略13.等差數(shù)列中公差，，則通項公式

參考答案：略14.若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則（a0+a2+a4）2－（a1+a3）2

的值為______________________參考答案：115.已知函數(shù)在處取得極小值4，則________.參考答案：316.給出下列命題：①若ab＞0，a＞b，則＜；②若a＞|b|，則a2＞b2；③若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣d；④對于正數(shù)a，b，m，若a＜b，則其中真命題的序號是：

．參考答案：①②④【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，判斷題目中命題的真假性即可．【解答】解：對于①，若ab＞0，則＞0又a＞b，∴＞，∴＜，∴①正確；對于②，若a＞|b|≥0，則a2＞b2，∴②正確；對于③，若a＞b，c＞d，則﹣c＜﹣d，∴﹣d＞﹣c，∴a﹣d＞b﹣c，∴a﹣c＞b﹣d不成立，③錯誤；對于④，對于正數(shù)a，b，m，若a＜b，則成立，即a（b+m）＜b（a+m）∴am＜bm，∴a＜b，④正確；綜上，正確的命題序號是①②④．故答案為：①②④．17.下列說法：①“，使>3”的否定是“，使3”；②

函數(shù)的最小正周期是；③“在中，若，則”的逆命題是真命題；④“”是“直線和直線垂直”的充要條件；其中正確的說法是 （只填序號）.參考答案：①②③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)滿足；（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）若，求的最大值.參考答案：（1）

令得：

得：

在上單調(diào)遞增

得：的解析式為

且單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）得

①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增

時，與矛盾

②當(dāng)時，

得：當(dāng)時，

令；則

當(dāng)時，

當(dāng)時，的最大值為

略19.（本題滿分12分）如圖,是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(Ⅰ)求二面角的余弦值；(Ⅱ)設(shè)是線段上的一個動點，問當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，可使得平面，并證明你的結(jié)論.參考答案：解：(Ⅰ)因為平面，所以.因為是正方形，所以,從而平面.

所以兩兩垂直，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.因為與平面所成角為，即，

所以.由可知，.

則，，，，，所以，，……8分

設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.

因為平面，所以為平面的法向量，，所以.

因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

……8分

(Ⅱ)解：點是線段上一個動點，設(shè).則，因為平面，所以，

即，解得.此時，點坐標(biāo)為，符合題意.…………

………………12分20.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率e=，且過點M(1，)．（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C長軸兩端點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的動點，定直線x=4與直線PA，PB分別交于M，N兩點，又E（7，0），求證：直線EM⊥直線EN．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由橢圓C：（a＞b＞0）焦點在x軸上，過點，+=1，e==，即a=2c，由a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=3，即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)PA，PB的斜率分別為k1，k2，P（x0，y0），則k1k2=?=，=3（1﹣），則k1k2=﹣，設(shè)PA方程為：y=k1（x+2），則M（4，6k1），則設(shè)PB方程為：y=k2（x+2），則M（4，2k2），由E（7，0），kEM?kEN=，因此kEMkEN=﹣1，即可證明直線EM⊥直線EN．【解答】解：（1）∵橢圓C：（a＞b＞0）焦點在x軸上，過點，∴+=1，又∵e==，即a=2c，由a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=3，∴橢圓C的方程為：+=1．…．（2）證明：設(shè)PA，PB的斜率分別為k1，k2，P（x0，y0），則k1k2=?=，又（1）可知：，則=3（1﹣），∴k1k2=﹣，…．設(shè)PA方程為：y=k1（x+2），則M（4，6k1），則設(shè)PB方程為：y=k2（x+2），則M（4，2k2），又由E（7，0），∴kEM=﹣2k1，kEN=﹣，…．∴kEM?kEN=，而k1k2=﹣，∴kEMkEN=﹣1，∴直線EM⊥直線EN．…．21.（14分）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1=1，an+1+an=2n+1(n∈N*)（Ⅰ）求證：{an﹣}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)bn=3nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）由==﹣1．由，能證明{}是等比數(shù)列，由此能求出{an}的通項公式．（Ⅱ）由bn=3nan=n?2n﹣1+（﹣1）n?n，利用分組求和法能求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解答】證明：（Ⅰ）∵Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且，∴===﹣1．由，得{}是首項為﹣，公比為﹣1的等比數(shù)列，∴=﹣（﹣1）n，∴an=．解：（Ⅱ）bn=3nan=n?2n﹣1+（﹣1）n?n，取{n?2n﹣1}前n項和An，{（﹣1）n?n}前n項和Bn，則，2An=1?23+2?24+3?25+…+n?2n+2，則﹣An=22+23+24+…+2n+1﹣n?2n+2=，∴，當(dāng)n是奇數(shù)時，Bn=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+…+（﹣n）=﹣，當(dāng)n是偶數(shù)時，Bn=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+，∴Tn=．【點評】本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法和錯位相減法的合理運用．22.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名同學(xué)的投籃命中次數(shù)，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中用x表示．（1）若乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的平均數(shù)比甲組同學(xué)的平均數(shù)少1，求x及乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方差；（2）在（1）的條件下，分別從甲、乙兩組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)中，各隨機選取一名，求這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）依題意得求出x=6，=，由此能求出乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方差．（2）記甲組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為A1，A2，A3，他們的命中次數(shù)分別為9，8，7．乙組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們的命中次數(shù)分別為6，8，8，9．由此利用列舉法能求出這兩名同學(xué)的投籃命中次數(shù)之和為16的概率．【解答】解：（1）依題意得：=，解得x=6，=，∴乙組同學(xué)投籃命中次數(shù)的方差S2=[（6﹣）2+（8﹣）2×2+（9﹣）2+（10﹣）2]=1.76．（2）記甲組投籃命中次數(shù)低于10次的同學(xué)為A1，A