2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章概率§22.3互斥事件教師用書教案北師大版必修3

PAGE10-2.3互斥事務(wù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解互斥事務(wù)的概念及概率加法公式．2．理解互斥事務(wù)和對立事務(wù)的區(qū)分和聯(lián)系．3．駕馭對立事務(wù)的概率及概率的計(jì)算公式．(難點(diǎn))4．能利用互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概率計(jì)算公式解決困難的古典概率的計(jì)算問題．(難點(diǎn))1.通過學(xué)習(xí)互斥事務(wù)的概念及互斥事務(wù)和對立事務(wù)的區(qū)分與聯(lián)系，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過運(yùn)用互斥事務(wù)，對立事務(wù)的概率計(jì)算公式解決困難的古典概率的計(jì)算問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).一、互斥事務(wù)1．互斥事務(wù)的定義在一個隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能同時發(fā)生的兩個事務(wù)A與B稱作互斥事務(wù)．2．事務(wù)A與B至少有一個發(fā)生給定事務(wù)A，B，我們規(guī)定A＋B為一個事務(wù)，事務(wù)A＋B發(fā)生是指事務(wù)A和事務(wù)B至少有一個發(fā)生．依據(jù)上述定義推廣可得：事務(wù)A1＋A2＋…＋An表示在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事務(wù)A1，事務(wù)A2，…，事務(wù)An中至少有一個發(fā)生．3．互斥事務(wù)的概率加法公式一般地，假如事務(wù)A，B互斥，那么事務(wù)A＋B發(fā)生(即A，B中至少有一個發(fā)生)的概率等于事務(wù)A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．這個公式稱為互斥事務(wù)的概率加法公式．假如事務(wù)A1，A2，…，An彼此互斥，那么事務(wù)A1＋A2＋…＋An發(fā)生(即A1，A2，…，An中至少有一個發(fā)生)的概率，等于這n個事務(wù)分別發(fā)生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．二、對立事務(wù)及其概率的求法公式1．定義在每一次試驗(yàn)中，假如兩個事務(wù)A與B不能同時發(fā)生，并且肯定有一個發(fā)生，那么事務(wù)A與B稱作是對立事務(wù)，事務(wù)A的對立事務(wù)記為eq\x\to(A).2．性質(zhì)P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1，即P(A)＝1－P(eq\x\to(A))．思索：(1)在擲骰子的試驗(yàn)中，事務(wù)A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1}，事務(wù)B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，事務(wù)A與事務(wù)B應(yīng)有怎樣的關(guān)系？(2)推斷兩個事務(wù)是對立事務(wù)的條件是什么？[提示](1)因?yàn)?為奇數(shù)，所以A?B.(2)①看兩個事務(wù)是不是互斥事務(wù)；②看兩個事務(wù)是否必有一個發(fā)生．若滿意這兩個條件，則是對立事務(wù)；否則不是．1．對同一事務(wù)來說，若事務(wù)A是必定事務(wù)，事務(wù)B是不行能事務(wù)，則事務(wù)A與事務(wù)B的關(guān)系是()A．互斥不對立 B．對立不互斥C．互斥且對立 D．不互斥、不對立C[必定事務(wù)與不行能事務(wù)不行能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，故事務(wù)A與事務(wù)B的關(guān)系是互斥且對立．]2．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，則下列結(jié)論哪個是正確的()A．A與C互斥 B．B與C互斥C．任何兩個都互斥 D．任何兩個都不互斥C[由題意可知，事務(wù)A，B，C兩兩不行能同時發(fā)生，因此兩兩互斥．]3．從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事務(wù)中，是對立事務(wù)的是()A．① B．②④C．③ D．①③C[從1～9中任取兩個數(shù)，有以下三種狀況．(1)兩個均為奇數(shù)，(2)兩個均為偶數(shù)，(3)一個奇數(shù)和一個偶數(shù)，故③為對立事務(wù)．]4．從幾個數(shù)中任取實(shí)數(shù)x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是負(fù)數(shù)的概率是0.5，則x∈(－1,0)的概率是________．0．2[設(shè)“x∈(－∞，－1]”為事務(wù)A，“x是負(fù)數(shù)”為事務(wù)B，“x∈(－1,0)”為事務(wù)C，由題意知，A，C為互斥事務(wù)，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.]互斥事務(wù)與對立事務(wù)的推斷【例1】某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參與演講競賽．推斷下列每對事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對立事務(wù)．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3)至少1名男生與全是女生．[解]從3名男生和2名女生中任選2名同學(xué)有3類結(jié)果：兩男或兩女或一男一女．(1)因?yàn)榍∮?名男生與恰有2名男生不行能同時發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)；(2)當(dāng)恰有2名男生時，至少1名男生與全是男生同時發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．(3)因?yàn)橹辽?名男生與全是女生不行能同時發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)，由于它們必有一個發(fā)生，所以它們是對立事務(wù)．1．推斷兩個事務(wù)是否為互斥事務(wù)，主要看它們能否同時發(fā)生．若能同時發(fā)生，則這兩個事務(wù)不是互斥事務(wù)；若不能同時發(fā)生，則這兩個事務(wù)是互斥事務(wù)．2．推斷兩個事務(wù)是否為對立事務(wù)，主要看是否同時滿意兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生．這兩個條件同時成立，那么這兩個事務(wù)是對立事務(wù)，只要有一個條件不成立，那么這兩個事務(wù)就不是對立事務(wù)．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)拋擲一枚骰子，記事務(wù)A為“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，事務(wù)B為“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，事務(wù)C為“落地時向上的數(shù)是2的倍數(shù)”，事務(wù)D為“落地時向上的數(shù)是2或4”，A．A與B B．B與CC．A與D D．B與D(2)一個勻稱正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)事務(wù)A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事務(wù)B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，事務(wù)C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則下列結(jié)論正確的序號為________．①A與B是互斥而非對立事務(wù)；②A與B是對立事務(wù)；③B與C是互斥而非對立事務(wù)；④B與C是對立事務(wù)．(3)從裝有2個紅球和2個白球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個球，視察紅球個數(shù)和白球個數(shù)，推斷下列每對事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對立事務(wù)．①至少有1個白球，都是白球；②至少有1個白球，至少有一個紅球；③至少有1個白球，都是紅球．[解](1)C(2)④[(1)A與D互斥，但不對立．(2)一個勻稱正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，所得到的基本領(lǐng)件有6種：得到的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為2點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為4點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為5點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為6點(diǎn)．事務(wù)A包含的結(jié)果有得到的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為5點(diǎn)，事務(wù)B包含的結(jié)果有得到的點(diǎn)數(shù)為1點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為2點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)，事務(wù)C包含的結(jié)果有得到的點(diǎn)數(shù)為4點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為5點(diǎn)、得到的點(diǎn)數(shù)為6點(diǎn)，所以B與C是對立事務(wù)．故填④.](3)解：①不是互斥事務(wù)．因?yàn)椤爸辽儆?個白球”即“1個白球1個紅球或兩個白球”和“都是白球”可以同時發(fā)生，所以不是互斥事務(wù)．②不是互斥事務(wù)．因?yàn)椤爸辽儆?個白球”即“1個白球1個紅球或2個白球”，“至少有1個紅球”即“1個紅球1個白球或2個紅球”，兩個事務(wù)可以同時發(fā)生，故不是互斥事務(wù)．③是互斥事務(wù)也是對立事務(wù)．因?yàn)椤爸辽儆?個白球”和“都是紅球”不行能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以是互斥事務(wù)也是對立事務(wù)．互斥事務(wù)的概率【例2】袋中有12個相同的小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq\f(5,12).(1)求得到黑球、得到黃球及得到綠球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率．[思路探究]從12球中任取一球，取到紅球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事務(wù)概率的加法公式求解．[解](1)從袋中任取一球，記事務(wù)A為“得到紅球”，B為“得到黑球”，C為“得到黃球”，D為“得到綠球”，則事務(wù)A，B，C，D兩兩互斥．由已知P(A)＝eq\f(1,3)，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)，P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)，∴P(B＋C＋D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).∵B與C＋D，B＋C與D也互斥，∴P(B)＝P(B＋C＋D)－P(C＋D)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(D)＝P(B＋C＋D)－P(B＋C)＝eq\f(2,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4)，P(C)＝1－P(A＋B＋D)＝1－(P(A)＋P(B)＋P(D))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4)))＝1－eq\f(5,6)＝eq\f(1,6).故得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).(2)∵得到的球既不是黑球也不是綠球，∴得到的球是紅球或黃球，即事務(wù)A＋C，∴P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，故得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率為eq\f(1,2).1．解決本題的關(guān)鍵是明確取到不同顏色的球不行能同時發(fā)生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若隨機(jī)試驗(yàn)中，涉及多個事務(wù)，應(yīng)先分析推斷這幾個事務(wù)是否互斥(或?qū)α?，若是，可利用互斥事務(wù)概率的加法公式求解．當(dāng)某一事務(wù)包含幾個互斥的事務(wù)時，求該事務(wù)發(fā)生的概率也用上述規(guī)律．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一個球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出紅球的概率為()A．0.42 B．0.38C．0.2 D．0.8(2)向三個相鄰的軍火庫投一枚炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.2，炸中其次個軍火庫的概率為0.12，炸中第三個軍火庫的概率為0.28，三個軍火庫中，只要炸中一個另兩個也會發(fā)生爆炸，求軍火庫發(fā)生爆炸的概率．[解](1)C[記分別摸一個球?yàn)榧t球、白球和黑球?yàn)槭聞?wù)A，B，C，則A，B，C為互斥事務(wù)，且A＋B＋C為必定事務(wù)，由題意知P(A)＋P(B)＝0.58，P(A)＋P(C)＝0.62，P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，解得P(A)＝0.2.](2)設(shè)A，B，C分別表示炸中第一、其次及第三個軍火庫這三個事務(wù)，事務(wù)D表示軍火庫爆炸，已知P(A)＝0.2，P(B)＝0.12，P(C)＝0.28.又因?yàn)橹煌稊S了一枚炸彈，故不行能炸中兩個及以上軍火庫，所以A，B，C是互斥事務(wù)，且D＝A＋B＋C，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即軍火庫發(fā)生爆炸的概率為0.6.對立事務(wù)的概率與求法[探究問題]1．若令A(yù)＝“小明考試及格”，eq\x\to(A)＝“小明考試不及格”，則事務(wù)A與事務(wù)eq\x\to(A)能不能同時發(fā)生，或者都不發(fā)生？為什么？提示：不行能同時發(fā)生，由于事務(wù)A與eq\x\to(A)是互斥事務(wù)，所以不行能同時發(fā)生，事務(wù)A與eq\x\to(A)也不行能都不發(fā)生，因?yàn)橐淮慰荚囍校∶鞯某晒醇案?，要么不及格，二者必居其一，故A與eq\x\to(A)必有一個發(fā)生．2．將一枚質(zhì)地勻稱的骰子隨機(jī)拋擲一次，視察骰子向上一面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)U＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的全體”，A＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，B＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，則A，U是互斥事務(wù)嗎？A，B是互斥事務(wù)嗎？B，U是互斥事務(wù)嗎？”提示：A，U不是互斥事務(wù)，A，B是互斥事務(wù)，B，U不是互斥事務(wù)．【例3】一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．[思路探究]先設(shè)出有關(guān)的互斥事務(wù)，然后把所求事務(wù)的概率轉(zhuǎn)化為求某些互斥事務(wù)和的概率，另外也可考慮用古典概型以及對立事務(wù)來解決．[解]法一：利用等可能事務(wù)求概率．(1)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9(種)不同取法，任取1球有12種取法．所以任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個球中任取一球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為P2＝eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).法二：利用互斥事務(wù)求概率．記事務(wù)A1＝{任取1球?yàn)榧t球}；A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷；A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷；A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法三利用對立事務(wù)求概率的方法．(1)由法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對立事務(wù)為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對立事務(wù)為A3＋A4.所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對立事務(wù)為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：1將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事務(wù)的和事務(wù)；2若將一個較困難的事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個互斥事務(wù)的和事務(wù)時，須要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事務(wù)的概率公式，即“正難則反”.它常用來求“至少…”或“至多…”型事務(wù)的概率.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某儲蓄所一個窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率．[解]記在窗口等候的人數(shù)為0,1,2分別為事務(wù)A，B，C，則A，B，C兩兩互斥．(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排隊(duì)等候的反面是“等候人數(shù)為0或1”，而等候人數(shù)為0或1的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，1．互斥事務(wù)和對立事務(wù)既有區(qū)分又有聯(lián)系．互斥未必對立；對立肯定互斥．2．互斥事務(wù)的概率加法公式是一個很基本的計(jì)算公式，解題時要在詳細(xì)的情景中推斷各事務(wù)間是否互斥，只有互斥事務(wù)才能用概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)；(2)先求其對立事務(wù)的概率，再求所求事務(wù)的概率.1．思索辨析(1)已知事務(wù)A與事務(wù)B，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． ()(2)若三個事務(wù)A，B，C兩兩互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1. ()(3)事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則事務(wù)A與B互為對立事務(wù)． ()(4)事務(wù)A與事務(wù)B若滿意P(A)＋P(B)＝1，則A，B是對立事務(wù)． ()[解析](1)×，A與B互斥時，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)×，P(A)＋P(B)＋P(C)的值不確定．(3)×，A與B不肯定對立．(4)×，例如a，b，c，d四個球，選中每個球的概率相同，事務(wù)A為選中a，b兩個球，則P(A)＝eq\f(1,2)；事務(wù)B為選中b，c兩個球，則P(B)＝eq\f(1,2)，則P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對立事務(wù)．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．某產(chǎn)品共有三個等級，分別為一等品、二等品和不合格品．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測，