2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.7相關(guān)性學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE§7相關(guān)性學(xué)問(wèn)點(diǎn)一變量間的相關(guān)關(guān)系[填一填]變量與變量之間的關(guān)系常見(jiàn)的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間的確存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的，稱這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系．[答一答]1．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系(確定性關(guān)系)的異同點(diǎn)是什么？提示：①相同點(diǎn)：兩者均是兩個(gè)變量之間的關(guān)系．②不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系．而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量或隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不肯定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．例如，有人發(fā)覺(jué)，對(duì)于在校兒童，鞋的大小與閱讀實(shí)力之間有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，然而學(xué)會(huì)新詞并不能使腳變大，而是涉及第三個(gè)因素——年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他的閱讀實(shí)力會(huì)提高，而且由于長(zhǎng)大，腳也會(huì)變大．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二兩個(gè)變量的線性相關(guān)[填一填]兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)散點(diǎn)圖：將樣本中n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．(2)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)正相關(guān)：假如一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)．負(fù)相關(guān)：假如一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)．[答一答]2．怎樣正確理解散點(diǎn)圖？提示：散點(diǎn)圖形象地反映了各對(duì)數(shù)據(jù)的密集程度．依據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布趨勢(shì)分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系，可直觀地推斷并得出結(jié)論．(1)假如散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，即一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)，如圖①.(2)假如散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，即一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為負(fù)相關(guān)，如圖②.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系(1)相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．(2)不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不肯定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．類型一相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)分與聯(lián)系【例1】有下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財(cái)寶之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系．其中，具有相關(guān)關(guān)系的是________．【思路探究】分清函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的關(guān)鍵是函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，對(duì)于一個(gè)變量的一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)．【解析】利用相關(guān)關(guān)系的概念進(jìn)行推斷，②中兩變量的關(guān)系是一種確定性關(guān)系．【答案】③④規(guī)律方法相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)分在于是否具有確定性．在區(qū)分二者時(shí)，假如一個(gè)變量每取一個(gè)值，另一個(gè)變量總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么這兩個(gè)變量就是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；假如一個(gè)變量每取一個(gè)值，另一個(gè)變量的取值帶有肯定的隨機(jī)性，并且從總體上來(lái)看有關(guān)系，但不是確定性關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之間就是相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系．確定相關(guān)關(guān)系時(shí)有時(shí)要依靠生活閱歷大致確定．(1)對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖①；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以推斷(C)A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)(2)某公司2013～2024年的年利潤(rùn)x(單位：百萬(wàn)元)與年廣告支出y(單位：百萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：年份201320242024202420242024利潤(rùn)x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11則下列說(shuō)法正確的是(C)A．利潤(rùn)中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系B．利潤(rùn)中位數(shù)是18，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C．利潤(rùn)中位數(shù)是17，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系D．利潤(rùn)中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系解析：(1)由圖像知，變量x與y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；u與v呈正相關(guān)關(guān)系．故選C.(2)由表知，利潤(rùn)中位數(shù)是eq\f(1,2)(16＋18)＝17，且y隨x的增大而增大，故選C.類型二散點(diǎn)圖的畫法及應(yīng)用【例2】?jī)蓪?duì)變量A和B、C和D的取值分別對(duì)應(yīng)表1和表2，畫出散點(diǎn)圖，推斷它們是否有相關(guān)關(guān)系；若具有相關(guān)關(guān)系，說(shuō)出它們相關(guān)關(guān)系的區(qū)分．表1A261813104－1B202434385064表2C05101520253035D541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.75【思路探究】eq\x(畫出散點(diǎn)圖)→eq\x(\a\al(視察各點(diǎn),的分布))→eq\x(\a\al(推斷是否具,有相關(guān)關(guān)系))【解】散點(diǎn)圖分別如圖(1)，(2)．從圖中可以看出兩圖中的點(diǎn)都分布在一條直線旁邊，因此兩圖中的變量都具有相關(guān)關(guān)系．圖(1)中A的值由大變小時(shí)，B的值卻是由小變大，即A與B具有負(fù)相關(guān)關(guān)系；圖(2)中C的值由小變大時(shí)，D的值也是由小變大，即C與D具有正相關(guān)關(guān)系．規(guī)律方法在探討兩個(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必需從散點(diǎn)圖入手．對(duì)于散點(diǎn)圖，可以作出如下推斷：(1)假如全部的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．(2)假如全部的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線旁邊，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．(3)假如全部的樣本點(diǎn)都落在某始終線旁邊，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．已知5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果如下表：畫出散點(diǎn)圖，并推斷他們的數(shù)學(xué)和物理成果是否具有相關(guān)關(guān)系．解：以x軸表示數(shù)學(xué)成果，y軸表示物理成果，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖(如圖)．由散點(diǎn)圖可知，兩者之間具有相關(guān)關(guān)系．——思想方法——三種推斷相關(guān)關(guān)系的方法【例3】下面是隨機(jī)抽取的9名15歲男生的身高、體重表：編號(hào)123456789身高/cm165157155175168157178160163體重/kg524445555447625053推斷所給的兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】推斷相關(guān)關(guān)系有三種方法：一是靠閱歷，二是依據(jù)兩變量取值，三是畫出散點(diǎn)圖．【解】方法一：依據(jù)閱歷可知，人的身高和體重之間存在相關(guān)關(guān)系．方法二：視察表格數(shù)據(jù)可知，人的體重隨著身高的增高而增加，因此人的身高和體重之間存在相關(guān)關(guān)系．方法三：以x軸表示身高，以y軸表示體重，得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示．我們會(huì)發(fā)覺(jué)，隨著身高的增長(zhǎng)，體重基本上呈增加的趨勢(shì)．所以體重與身高之間存在相關(guān)關(guān)系，并且是正相關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】散點(diǎn)圖在分析兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，具有較強(qiáng)的勸服力．在如圖的各圖中，其中兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是(D)A．①②B．①③C．②④D．②③解析：依據(jù)散點(diǎn)圖與相關(guān)關(guān)系的概念進(jìn)行選擇．依據(jù)圖像可知①是函數(shù)關(guān)系；④中的點(diǎn)分布分散，不具有相關(guān)關(guān)系；②③中的點(diǎn)分布較好，具有相關(guān)關(guān)系．一、選擇題1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是(D)A．正方體的棱長(zhǎng)和體積B．單位圓中角的度數(shù)和所對(duì)弧長(zhǎng)C．單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量D．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量解析：函數(shù)關(guān)系是一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間有確定性的關(guān)系，選項(xiàng)A、B、C均為函數(shù)關(guān)系，日照時(shí)間與水稻的產(chǎn)量帶有肯定的隨機(jī)性，故選項(xiàng)D正確．2．下列變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的是(B)A．光照時(shí)間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量B．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a、c是常數(shù)，b為自變量，因變量是這個(gè)函數(shù)的判別式Δ＝b2－4C．每畝施肥量與糧食畝產(chǎn)量之間的關(guān)系D．人的身高與所穿鞋子的號(hào)碼之間的關(guān)系解析：應(yīng)用變量相關(guān)關(guān)系的定義加以推斷．A項(xiàng)，光照時(shí)間與大棚內(nèi)蔬菜的產(chǎn)量是相關(guān)關(guān)系．B項(xiàng)，判別式Δ＝b2－4ac與b人的身高與所穿鞋子的號(hào)碼是相關(guān)關(guān)系，故選B.3．2024年夏季，我國(guó)部分地區(qū)發(fā)生了手足口病疫情，黨和政府實(shí)行堅(jiān)決措施，使疫情得到限制．下表是某同學(xué)記錄的某地方在4.1～4.8日的發(fā)病人數(shù)，并給出了散點(diǎn)圖(如下圖).日期4.14.24.34.44.54.64.74.8人數(shù)49151928313438下列說(shuō)法：①據(jù)此散點(diǎn)圖，可以推斷日期與發(fā)病人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系；②據(jù)此散點(diǎn)圖，可以推斷日期與發(fā)病人數(shù)具有一次函數(shù)關(guān)系．其中正確的是(A)A．①B．②C．①②D．都不正確解析：由散點(diǎn)圖我們可以看到，各點(diǎn)位于某條直線旁邊，但不同在一條直線上，因此可以推斷日期與發(fā)病人數(shù)具有線性相關(guān)關(guān)系，而不是一次函數(shù)關(guān)系．二、填空題4．下列變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是②④.①球的體積與其半徑的關(guān)系；②動(dòng)物大腦容量的百分比與智力水平的關(guān)系；③人的年齡與體重之間的關(guān)系；④降雨量與農(nóng)作物產(chǎn)量之間的關(guān)系．解析：依據(jù)兩個(gè)變量間關(guān)系的類型可知正確答案為②④.5．有下列關(guān)系：①煉鋼時(shí)鋼水的含碳量與冶煉時(shí)間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③柑橘的產(chǎn)量與氣溫之間的關(guān)系；其中具有相關(guān)關(guān)系的是①③.解析：①煉鋼的過(guò)程就是一個(gè)降低含碳量進(jìn)行氧化還原的過(guò)程，除了與冶煉時(shí)