2022-2023學年江蘇省南通市海安市高三上學期期末數(shù)學試題及答案

2022-2023學年江蘇省南通市海安市高三上學期期末數(shù)學試題及答案注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卷交回.2.答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號、座位號用0.5毫米黑色字跡簽字筆填寫在答題卷上.3.請監(jiān)考員認真核對在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號與你本人的是否相符.4.作答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米的簽字筆寫在答題卷上的指定位置，在其它位置作答一律無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集,集合,則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合補集的運算性質(zhì),求出即可.【詳解】解:由題知,,故或.故選:B2.若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在直線上，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的概念，再結(jié)合共軛復數(shù)的概念即可求解．【詳解】由復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在直線上，則令，則，所以，所以，即．故選：D．3.二項式的展開式中的常數(shù)項為A.－15 B.20 C.15 D.－20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項式定理寫出二項展開式通項，令冪指數(shù)為零，可求得，代入展開式通項可求得常數(shù)項.【詳解】二項式展開式通項為：令得：常數(shù)項為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項展開式的通項公式.4.經(jīng)驗表明,樹高與胸徑具有線性關(guān)系,為了解回歸方程的擬合效果,利用下列數(shù)據(jù)計算殘差,用來繪制殘差圖.胸徑x/cm18.219.122.324.526.2樹高的觀測值y/m18.919.420.822.824.8樹高的預測值18.619.321523.024.4則殘差的最大值和最小值分別是（）A.0.4,-1.8 B.1.8,-0.4 C.0.4,-0.7 D.0.7,-0.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)進行分析,計算各組數(shù)據(jù)殘差值,找出最大及最小即可.【詳解】解:由表可得,各組數(shù)據(jù)的殘差為:,,,,,故殘差最大值為0.4,最小值為-0.7.故選:C5.為測量河對岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C，D，測得的大小為60°，點C，D的距離為200m，在點C處測得塔頂A的仰角為45°，在點D處測得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為（）A.100m B. C. D.200m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)畫出圖形，設(shè)，結(jié)合條件可得，，然后根據(jù)余弦定理即得.【詳解】設(shè)，則，，∴，在中，由余弦定理可得，∴，∴(負值舍去)，即直塔AB的高為100m.故選：A.6.已知圓心均在軸上的兩圓外切，半徑分別為，若兩圓的一條公切線的方程為，則（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】設(shè)出兩圓的標準方程，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系列式求解，【詳解】設(shè)圓：，圓：，其中，兩圓的公切線方程為，則，，兩圓外切，則，化簡得，，即，∴，故選：B7.設(shè)為的重心，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運算即可求解.【詳解】因為為重心，所以，所以，故選：B.8.設(shè),,,則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】三個數(shù)中有指數(shù)和對數(shù),用到放縮,即,則,即可得,根據(jù),可得,取可得,選出選項即可.【詳解】解:由題知,記,,所以,所以,所以,在時成立,所以,即,即,記,,所以,所以在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,所以,所以,則,即,即,,即有,因為,所以,綜上:.故選:D二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在正方體中,,,則（）A. B.平面C.平面 D.直線與直線異面【答案】AB【解析】【分析】設(shè)正方體棱為一個具體的數(shù),建立空間直角坐標系,根據(jù)各個點的位置,寫出各個點的坐標,找到,計算兩個向量的數(shù)量積,判斷是否為0,即可得選項A的正誤;求出平面的法向量,判斷與法向量是否垂直,根據(jù)線面平行的判定定理,即可得選項B的正誤;根據(jù)向量的數(shù)量積為0,判斷是否與平面中兩個不共線向量是否垂直即可判斷選項C的正誤;判斷是否共線,即可得選項D的正誤.【詳解】解:由題知,令正方體棱為3,以為坐標原點,建立如圖所示空間直角坐標系:因為,,所以,所以,,因為,所以,故選項A正確;設(shè)平面的法向量為,則,因為,所以,取,可得,因為,,所以,因為平面,所以平面,故選項B正確;因為,,所以,故與不垂直,即不垂直于平面,故選項C錯誤;因,,所以共線，即,所以四點共面，故直線與直線共面.故選項D錯誤.故選:AB10.已知拋物線：的焦點為F，點M，N均在C上，若是以F為直角頂點的等腰三角形，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意可知軸，利用拋物線的定義及向量的運算即可得到.【詳解】因為是以F為直角頂點的等腰三角形，所以軸，又因為拋物線方程為，所以，設(shè)，，有拋物線的定義可知，，，則，則∴，，∴，故選：BD.11.已知等差數(shù)列中，當且僅當時，僅得最大值.記數(shù)列的前k項和為，（）A.若，則當且僅當時，取得最大值B.若，則當且僅當時，取得最大值C.若，則當且僅當時，取得最大值D.若，，則當或14時，取得最大值【答案】BD【解析】【分析】由等差數(shù)列前n項和有最大值，得數(shù)列為遞減數(shù)列，分析的正負號，可得的最大值的取到情況.【詳解】由等差數(shù)列前n項和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對于A，且時取最大值，設(shè)，則，當時，；時，；時，，所以或14時，前k項和取最大值，A項錯誤；對于B，當且僅當時取最大值，則時，，時，.，則，，，，前14項和最大，B項正確；對于C，，則，同理，，，前13項和最大，C項錯誤；對于D，，，得，由題等差數(shù)列在時，，時，，所以，，，所以或14時，前k項和取最大值，D項正確；故選：BD.12.將樣本空間Ω視為一個單位正方形，任一事件均可用其中的區(qū)域表示，事件發(fā)生的概率為對應區(qū)域的面積.如圖所示的單位正方形中，區(qū)域I表示事件AB，區(qū)域II表示事件，區(qū)域I和Ⅲ表示事件B，則區(qū)域IV的面積為（）ⅠⅡⅢⅣA. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題意可知區(qū)域IV表示的事件為，然后逐個分析判斷即可.【詳解】由題意可知區(qū)域IV表示的事件為，對于C，，C對.對于B，，B對.對于A，，A錯.對于D，無法判斷A，B是否獨立，D錯，故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則___________.【答案】##【解析】【分析】先利用誘導公式求出，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，從而可求出.【詳解】由，得，因為，所以，所以故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點分別為,,點在橢圓上,若是以為頂點的等腰三角形,且,則的離心率___________.【答案】##0.4

【解析】【分析】根據(jù)是等腰三角形及橢圓定義,求出該三角形的各個邊長,再根據(jù)余弦定理建立關(guān)于等式,求出離心率即可.【詳解】解:由題知是以為頂點的等腰三角形,所以,因為點在橢圓上,根據(jù)橢圓的定義可知:,故,因為,故在中,由余弦定理可得:,即,解得:,即.故答案為:15.設(shè)過直線上一點A作曲線的切線有且只有兩條，則滿足題設(shè)的一個點A的縱坐標為___________.【答案】2或【解析】【分析】設(shè)切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程，進而可得有且只有兩個解，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)切點，則，切線斜率為，所以切線，設(shè)，則，∴，令，則方程有且只有兩個解，所以，由，可得或2，當變化時，的變化如下，02負0正0負減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值2減函數(shù)所以函數(shù)的極小值為，極大值為，∴或，方程有且只有兩個解，即A的縱坐標為2或.故答案為；2或.16.已知球O的表面積為，P是球O內(nèi)的定點，，過P的動直線交球面于A，B兩點，，則球心O到AB的距離為___________cm；若點A，B的軌跡分別為圓臺的上、下底面的圓周，則圓臺的體積為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】由球的表面積確定球的半徑，解三角形求球心O到AB的距離，再根據(jù)球的截面的性質(zhì)列方程求出圓臺的上下底面半徑和圓臺的高，利用體積公式求體積；【詳解】設(shè)球的半徑為，則，∴，即，，∴到AB的距離.取AB中點M，則，∴，，如圖所示.又點A，B的軌跡分別為圓臺的上、下底面的圓周，所以圓，圓，又圓，圓，所以四點共線，令，，，，∴，∴，∵，∴，，.故答案為：，.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，若，求的最小值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求解;（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等差和等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【小問1詳解】當時，設(shè)公差為，∴，∴，而，，∴時，設(shè)公比為，∴此時，∴.【小問2詳解】顯然，∴為偶數(shù)，，∴的最小值為12.18.已知四邊形內(nèi)接于圓，，，，平分.（1）求圓半徑；（2）求的長.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）連接，由余弦定理求解的長，再根據(jù)正弦定理求圓的半徑；（2）由余弦定理求解，再根據(jù)平方公式得，由已知結(jié)合正弦兩角差公式可得的值，再由正弦定理可得的長.【小問1詳解】解：如圖，在圓中，連接，在中，由余弦定理得：，所以，設(shè)圓О半徑為R，由正弦定理得：∴，所以半徑；【小問2詳解】解：由余弦定理得，由于，所以，因為平分，所以，所以，由正弦定理得.19.如圖，菱形ABCD的邊長為2，，E為AC的中點，將沿AC翻折使點D至點.（1）求證：平面平面ABC；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；（2）過作于點，過M作于點，連接，分析得即為二面角的平面角，由三棱錐體積求得，即可進一步由幾何關(guān)系求得.【小問1詳解】證明：在菱形中，，∴和均為等邊三角形，又∵E為AC的中點，∴，，，平面，∴平面，又∵平面ABC，∴平面平面ABC.【小問2詳解】過作于點，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.∴.過M作于點，連接，∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.∴即為二面角的平面角，，∴，，∴，∴.故二面角的余弦值為.20.甲、乙、丙三人進行乒乓球單打比賽,約定:隨機選擇兩人打第一局,獲勝者與第三人進行下一局的比賽,先獲勝兩局者為優(yōu)勝者,比賽結(jié)束.已知每局比賽均無平局,且甲贏乙的概率為,甲贏丙的概率為,乙贏丙的概率為.（1）若甲、乙兩人打第一局,求丙成為優(yōu)勝者的概率;（2）求恰好打完2局結(jié)束比賽的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意分析丙成為優(yōu)勝者的情況,根據(jù)獨立事件的概率公式計算即可;(2)分析三人比賽時,第一場上場的情況,再根據(jù)各種情況分析打完2局結(jié)束比賽的事件,根據(jù)獨立事件的概率公式計算結(jié)果.【小問1詳解】解:由題知,根據(jù)約定,丙成為優(yōu)勝者的情形為:甲贏,丙贏,丙贏,或乙贏,丙贏,丙贏,兩種情況,當甲贏,丙贏,丙贏時,概率,當乙贏,丙贏,丙贏時,概率,故丙成為優(yōu)勝者的概率;【小問2詳解】若甲乙先比賽,則甲乙能先比賽的概率為,此時2局結(jié)束比賽的情形分為:①甲贏,甲贏;②乙贏,乙贏,故;若甲丙先比賽,則甲丙能先比賽的概率為,此時2局結(jié)束比賽情形分為:①甲贏,甲贏;②丙贏,丙贏,故;若乙丙先比賽,則乙丙能先比賽的概率為,此時2局結(jié)束比賽的情形分為:①乙贏,乙贏;②丙贏,丙贏,故.故恰好打完2局結(jié)束比賽的概率.21.已知雙曲線C過點,且C的漸近線方程為.（1）求C的方程;（2）設(shè)A為C的右頂點,過點的直線與圓O:交于點M,N,直線AM,AN與C的另一交點分別為D,E,求證:直線DE過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程,將代入,求出方程即可;(2)分析斜率情況,設(shè)出直線方程,與圓聯(lián)立可得兩點坐標之間的關(guān)系,化簡可得為定值,即也為該定值,設(shè)出的直線方程,與雙曲線聯(lián)立,即可得兩點坐標之間關(guān)系,根據(jù)為定值,建立等式,進行化簡,解得的直線方程中參數(shù)之間的關(guān)系,即可得直線DE所過定點.【小問1詳解】解:由題知C的漸近線方程為,故設(shè)雙曲線的方程為,因為過,所以,解得,故的方程為;【小問2詳解】由題知畫圖如下:因為直線過點,所以斜率不為零,故設(shè)直線方程為,,,聯(lián)立,可得,故,解得,由韋達定理得,因為,所以,,設(shè)直線方程為,,,,聯(lián)立,可得,所以,解得,由韋達定理得:,因為,所以,化簡可得,即,即,因為直線不過,所以,化簡可得,即,解得,所以直線為:,故直線恒過定點.【點睛】思路點睛:本題考查直線與圓錐曲線的