2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.1.3概率的基本性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE3．1.3概率的基本性質(zhì)[目標(biāo)]1.了解事務(wù)的關(guān)系與運算；2.理解互斥事務(wù)、對立事務(wù)的概念；3.駕馭概率的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)求一些簡潔事務(wù)的概率．[重點]事務(wù)的關(guān)系、運算及概率的基本性質(zhì)．[難點]概率的基本性質(zhì)的應(yīng)用．學(xué)問點一事務(wù)的關(guān)系與運算[填一填][答一答]1．下列說法正確嗎？(1)在擲骰子的試驗中{出現(xiàn)1點}?{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}；(2)不行能事務(wù)記作?，明顯C??(C是任一事務(wù))；(3)事務(wù)A也包含于事務(wù)A，即A?A.提示：以上說法都正確，探討事務(wù)的關(guān)系可以類比集合間的關(guān)系．2．并事務(wù)、交事務(wù)和集合的并集、交集意義一樣嗎？提示：并事務(wù)、交事務(wù)和集合的并集、交集的意義一樣．例如，并事務(wù)包含三種狀況：事務(wù)A發(fā)生，事務(wù)B不發(fā)生；事務(wù)A不發(fā)生，事務(wù)B發(fā)生；事務(wù)A，B同時發(fā)生，即事務(wù)A，B中至少有一個發(fā)生．3．事務(wù)A與事務(wù)B互斥的含義是什么？提示：事務(wù)A與事務(wù)B互斥的含義是：事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗中都不會同時發(fā)生．4．互斥事務(wù)與對立事務(wù)的關(guān)系是怎樣的？提示：互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)，對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．學(xué)問點二概率的幾個基本性質(zhì)[填一填]1．概率的取值范圍為[0,1]．2．必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0.3．概率加法公式：假如事務(wù)A與B為互斥事務(wù)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特例：若A與B為對立事務(wù)，則P(A)＝1－P(B)，P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.[答一答]5．若P(A)＋P(B)＝1，事務(wù)A與事務(wù)B是否肯定對立，試舉例說明．提示：事務(wù)A與事務(wù)B不肯定對立．例如：拋擲一枚勻稱的骰子，記事務(wù)A為出現(xiàn)偶數(shù)點，事務(wù)B為出現(xiàn)1點或2點或3點，則P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.當(dāng)出現(xiàn)2點時，事務(wù)A與事務(wù)B同時發(fā)生，所以事務(wù)A與事務(wù)B不互斥，明顯也不對立．6．(1)若A，B為互斥事務(wù)，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，則P(B)＝0.3.(2)甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.8，兩人下成和棋的概率是0.5，則甲獲勝的概率為0.3.解析：(1)因為A，B為互斥事務(wù)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.(2)設(shè)“甲勝”為事務(wù)A，“和棋”為事務(wù)B，其發(fā)生的概率分別是P(A)，P(B)，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以P(A)＝0.8－P(B)＝0.8－0.5＝0.3.故甲獲勝的概率是0.3.類型一互斥事務(wù)與對立事務(wù)的推斷[例1]一位射擊手進行一次射擊．事務(wù)A：命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)；事務(wù)B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)；事務(wù)C：命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)；事務(wù)D：命中的環(huán)數(shù)為6,7,8,9,10環(huán)．推斷下列各對事務(wù)是否是互斥事務(wù)，是否為對立事務(wù)，并說明理由．(1)事務(wù)A與B.(2)事務(wù)A與C.(3)事務(wù)C與D.[解](1)不是互斥事務(wù)，更不行能是對立事務(wù)．理由：事務(wù)A：命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)，包含事務(wù)B：命中環(huán)數(shù)為10環(huán)，二者能夠同時發(fā)生，即A∩B＝{命中環(huán)數(shù)為10環(huán)}．(2)是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)．理由：事務(wù)A：命中的環(huán)數(shù)大于7環(huán)，與事務(wù)C：命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)不行能同時發(fā)生，但A∪C＝{命中環(huán)數(shù)為1,2,3,4,5,8,9,10環(huán)}≠I(I為全集)．(3)是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)．理由：事務(wù)C：命中的環(huán)數(shù)小于6環(huán)，與事務(wù)D：命中的環(huán)數(shù)為6,7,8,9,10環(huán)不行能同時發(fā)生，且C∪D＝{命中環(huán)數(shù)為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10環(huán)}＝I(I為全集)．互斥事務(wù)、對立事務(wù)的推斷方法(1)利用基本概念①互斥事務(wù)不行能同時發(fā)生；②對立事務(wù)首先是互斥事務(wù)，且一次試驗中必有一個要發(fā)生．(2)利用集合觀點設(shè)事務(wù)A與B所含的結(jié)果組成的集合分別是A，B.①若事務(wù)A與B互斥，則集合A∩B＝?；②若事務(wù)A與B對立，則集合A∩B＝?且A∪B＝Ω.[變式訓(xùn)練1]從裝有5個紅球、5個白球的袋中隨意取出3個球，下列事務(wù)：①“取出2個紅球和1個白球”與“取出1個紅球和2個白球”；②“取出2個紅球和1個白球”與“取出3個紅球”；③“取出3個紅球”與“取出的3個球中至少有1個白球”；④“取出3個紅球”與“取出3個白球”．其中是對立事務(wù)的有(D)A．①④ B．②③C．③④ D．③解析：從袋中隨意取出3個球，可能的狀況有：“3個紅球”“2個紅球、1個白球”“1個紅球、2個白球”“3個白球”，由此可知①②④中的兩個事務(wù)都不是對立事務(wù)．對于③，“取出的3個球中至少有1個白球”包含“2個紅球、1個白球”“1個紅球、2個白球”“3個白球”三種狀況，故“取出3個紅球”與“取出的3個球中至少有1個白球”是對立事務(wù)．故選D.類型二事務(wù)的運算[例2]擲一枚骰子，下列事務(wù)：A＝{出現(xiàn)奇數(shù)點}，B＝{出現(xiàn)偶數(shù)點}，C＝{點數(shù)小于3}，D＝{點數(shù)大于2}，E＝{點數(shù)是3的倍數(shù)}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)記eq\x\to(H)為事務(wù)H的對立事務(wù)，求eq\x\to(D)，eq\x\to(A)C，eq\x\to(B)∪C，eq\x\to(D)＋eq\x\to(E).[解](1)A∩B＝?，BC＝{出現(xiàn)2點}．(2)A∪B＝{出現(xiàn)1,2,3,4,5或6點}，B＋C＝{出現(xiàn)1,2,4或6點}．(3)eq\x\to(D)＝{點數(shù)小于或等于2}＝{出現(xiàn)1或2點}；eq\x\to(A)C＝BC＝{出現(xiàn)2點}；eq\x\to(B)∪C＝A∪C＝{出現(xiàn)1,2,3或5點}；eq\x\to(D)＋eq\x\to(E)＝{出現(xiàn)1,2,4或5點}．進行事務(wù)的運算時，一是要緊扣運算的定義；二是要全面考查同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結(jié)果進行分析.[變式訓(xùn)練2]一個口袋中有完全相同的2個白球，3個黑球，4個紅球．記事務(wù)A：“取出一個球是白球”；事務(wù)B：“取出一個球是黑球”；事務(wù)C：“取出一個球是紅球”；事務(wù)D：“取出一個球是白球或黑球或紅球”．說出A∪B，A∩B，A∪D，B∩D，C∩D各為什么事務(wù)．解：A∪B表示“取出一個球為白球或黑球”．A∩B表示“取出一個球既是白球又是黑球”．A∪D表示“取出一個球為紅球或白球或黑球”．B∩D表示“取出一個球為黑球”．C∩D表示“取出一個球為紅球”．類型三互斥事務(wù)與對立事務(wù)的概率命題視角1：互斥事務(wù)概率加法公式的應(yīng)用[例3]擲一枚勻稱的正六面體骰子，設(shè)A表示事務(wù)“出現(xiàn)2點”，B表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”，則P(A∪B)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D.eq\f(1,3)[解析]∵P(A)＝eq\f(1,6)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，事務(wù)A與B互斥，由互斥事務(wù)的概率加法公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).[答案]B解決這類問題的關(guān)鍵是要抓住1一次試驗中可能出現(xiàn)的不同結(jié)果，由這些結(jié)果分別構(gòu)成不同的事務(wù)；2這些事務(wù)中的任何兩個事務(wù)都構(gòu)成互斥事務(wù)；3互斥事務(wù)Am，An構(gòu)成的事務(wù)A的概率PA＝PAm＋PAn；4推廣到由兩兩互斥的n個事務(wù)Ai其中i＝1，2，…，n構(gòu)成的事務(wù)A，PA＝PA1＋PA2＋PA3＋…＋PAn.[變式訓(xùn)練3]拋擲一骰子，視察出現(xiàn)的點數(shù)，設(shè)事務(wù)A為“出現(xiàn)1點”，B為“出現(xiàn)2點”，已知P(A)＝P(B)＝eq\f(1,6)，求出現(xiàn)1點或2點的概率．解：設(shè)事務(wù)C為“出現(xiàn)1點或2點”，因為事務(wù)A、B是互斥事務(wù)，由C＝A∪B得：P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，∴出現(xiàn)1點或出現(xiàn)2點的概率是eq\f(1,3).命題視角2：對立事務(wù)概率的應(yīng)用[例4](1)依據(jù)統(tǒng)計資料，甲射擊一次中靶的概率是0.45，那么甲射擊一次不中靶的概率為________．(2)一名射手在某次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計算這個射手在這次射擊中：①射中10環(huán)或7環(huán)的概率；②射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率．[解析](1)P(甲射擊一次不中靶)＝1－P(甲射擊一次中靶)＝1－0.45＝0.55.(2)解：①設(shè)“射中10環(huán)”為事務(wù)A，“射中7環(huán)”為事務(wù)B，由于在這次射擊訓(xùn)練中，事務(wù)A與事務(wù)B不行能同時發(fā)生，故事務(wù)A與事務(wù)B是互斥事務(wù)，“射中10環(huán)或7環(huán)”的事務(wù)為A∪B.所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.②“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”從正面考慮有以下幾種狀況：射中6環(huán)，5環(huán)，4環(huán)，3環(huán)，2環(huán)，1環(huán)，0環(huán)．但由于這些概率都未知，故不能干脆求解．可考慮從反面入手．“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”的反面是“射中的環(huán)數(shù)大于或等于7環(huán)”，即7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，由于這兩個事務(wù)必有一個發(fā)生，故是對立事務(wù)，故可用對立事務(wù)轉(zhuǎn)化的方法處理．設(shè)“射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)”為事務(wù)E，則事務(wù)eq\x\to(E)為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”．又“射中7環(huán)”，“射中8環(huán)”，“射中9環(huán)”，“射中10環(huán)”彼此互斥．故P(eq\x\to(E))＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，從而P(E)＝1－P(eq\x\to(E))＝1－0.97＝0.03.所以射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率為0.03.[答案](1)0.55(2)見解析應(yīng)用對立事務(wù)解題的留意點(1)找準(zhǔn)對立事務(wù)．(2)要有應(yīng)用對立事務(wù)求概率的意識，當(dāng)事務(wù)本身包含的狀況較多，而其對立事務(wù)包含的結(jié)果較少時，就應(yīng)當(dāng)利用對立事務(wù)間的關(guān)系求解，即“正難則反”思想的應(yīng)用．[變式訓(xùn)練4]學(xué)生的視力下降是非常嚴(yán)峻的問題，通過隨機抽樣調(diào)查某校1000名在校生，其中有200名學(xué)生裸眼視力在0.6以下，有450名學(xué)生祼眼視力在0.6～1.0，剩下的能達到1.0及以上，問：(1)這個學(xué)校在校生眼睛須要配鏡或治療(視力不足1.0)的概率為多少？(2)這個學(xué)校在校生眼睛合格(視力達到1.0及以上)的概率為多少？解：(1)因為事務(wù)A(視力在0.6以下)與事務(wù)B(視力在0.6～1.0)為互斥事務(wù)，所以事務(wù)C(視力不足1.0)的概率為P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(200,1000)＋eq\f(450,1000)＝0.65.(2)事務(wù)D(視力達到1.0及以上)與事務(wù)C為對立事務(wù)，所以P(D)＝1－P(C)＝0.35.所以該學(xué)校在校生眼睛合格的概率為0.35.1．許洋說：“本周我至少做完三套練習(xí)題．”設(shè)許洋所說的事務(wù)為A，則A的對立事務(wù)為(B)A．至多做完三套練習(xí)題B．至多做完二套練習(xí)題C．至多做完四套練習(xí)題D．至少做完四套練習(xí)題2．高二某班級中抽出三名學(xué)生，設(shè)事務(wù)甲為“三名學(xué)生全不是男生”，事務(wù)乙為“三名學(xué)生全是男生”，事務(wù)丙為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，則(A)A．甲與丙互斥 B．任何兩個均互斥C．乙與丙互斥 D．任何兩個均不互斥解析：從高二某班級中抽出三名學(xué)生，設(shè)事務(wù)甲為“三名學(xué)生全不是男生”，事務(wù)乙為“三名學(xué)生全是男生”，事務(wù)丙為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，在A中，事務(wù)甲與丙是互斥事務(wù)，故A正確；在B中，事務(wù)乙和丙有可能同時發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故B錯誤；在C中，事務(wù)乙和丙有可能同時發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故C錯誤；在D中，事務(wù)甲與丙是互斥事務(wù)，故D錯誤．故選A.3．若事務(wù)A，B互斥，P(A)＝3P(B)，P(A＋B)＝0.8，則P(A)＝0.6.解析：∵A，B互斥，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．又P(A)＝3P(B)，∴P(A＋B)＝3P(B)＋P(B)＝4P(B)＝0.8.∴P(B)＝0.2，P(A)＝0.6.4．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的點數(shù)不大于4的概率為eq\f(2,3).解析：向上的點數(shù)為5或6的概率為eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，又向上的點數(shù)不大于4的對立事務(wù)為向上的點數(shù)為5或6.所以所求概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．在數(shù)學(xué)考試中，小明的成果在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，計算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成果的概率；(2)小明考試及格的概率．解：分別記小明的成果“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”為事務(wù)B，C，D，E，這四個事務(wù)彼此互斥．(1)小明的成果在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法1：小明考試及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法2：小明考試不及格的概率是0.07，所以，小明考試及格的概率是P(考試及格)＝1－0.07＝0.93.——本課須駕馭的三大問題1．互斥事務(wù)和