2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用[目標(biāo)]1.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡潔應(yīng)用.2.了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡潔應(yīng)用．[重點(diǎn)]能夠依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表及求K2.[難點(diǎn)]獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法．學(xué)問點(diǎn)一分類變量及列聯(lián)表[填一填]1．分類變量的概念變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2．2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：YXy1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d[答一答]1．如何理解分類變量？提示：分類變量是大量存在的，它們的取值肯定是離散的，不同的取值僅表示個(gè)體所屬的類別，而沒有大小之分，也不能求均值和方差等．2．下面是2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46100則表中a，b的值分別是多少？提示：a＋21＝73，所以a＝52，又a＋2＝b，所以b＝52＋2＝54.學(xué)問點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)[填一填]等高條形圖：與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想和方法：[答一答]3．從發(fā)生交通事故的司機(jī)中抽取多名司機(jī)的血液進(jìn)行檢查，依據(jù)他們血液中是否含有酒精以及他們是否對事故負(fù)有責(zé)任，作出等高條形圖，如圖所示：由圖可以直觀地看出，含有酒精與對事故負(fù)有責(zé)任是否有關(guān)？提示：由條形圖可得，有酒精的陰影占比例大．故含有酒精與對事故負(fù)有責(zé)任有關(guān)．4．在通過K2運(yùn)算，推斷變量是否有關(guān)系時(shí)，若K2的觀測值k＝56.632，則P(K2≥6.635)≈0.01和P(K2≥10.828)≈0.001，哪種說法是正確的？提示：兩種說法均正確．P(K2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為兩變量有關(guān)系；而P(K2≥10.828)≈0.001的含義是在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為兩變量有關(guān)系．5．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟與反證法的步驟中在推導(dǎo)假設(shè)不成立時(shí)主要區(qū)分是什么？提示：其主要區(qū)分為，反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，假如推出一個(gè)沖突，就證明白這個(gè)假設(shè)不成立；獨(dú)立性檢驗(yàn)(假設(shè)檢驗(yàn))原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，假如一個(gè)與該假設(shè)沖突的小概率事務(wù)發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立．正確理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法，要推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即H0：兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系成立．在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)當(dāng)很?。偃缬捎^測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測值k很大，則斷言H0不成立，即認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；假如觀測值k很小，則說明在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)覺足夠證據(jù)拒絕H0.類型一eq\o(\s\up7(利用列聯(lián)表及等高條形圖分析兩變量),\s\do5(間的關(guān)系))【例1】在對人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2)試推斷性別與休閑方式是否有關(guān)系．【分析】由題目所給數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表并畫出相應(yīng)的等高條形圖，直觀推斷兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系．【解】(1)列聯(lián)表如下：看電視運(yùn)動合計(jì)男213354女432770合計(jì)6460124(2)等高條形圖如圖所示：通過等高條形圖可以推斷性別與休閑方式有關(guān)系．在等高條形圖中展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，比較圖中兩個(gè)深色條的高可以發(fā)覺兩者頻率不一樣，從而得出結(jié)論，這種直觀推斷的不足之處在于不能給出推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率.某學(xué)校對高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)覺：在平常的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情驚慌，性特別向的學(xué)生594人中有213人在考前心情驚慌，作出等高條形圖，利用圖形推斷考前心情驚慌與性格類別是否有關(guān)系．解：作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性特別向總計(jì)考前心情驚慌332213545考前心情不驚慌94381475總計(jì)4265941020∵ad－bc＝332×381－213×94＝106470，∴ad－bc比較大，說明考前驚慌與性格類型有關(guān)．圖中陰影部分表示考前心情驚慌與考前心情不驚慌中性格內(nèi)向的比例，從圖中可以看出考前驚慌的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不驚慌樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前驚慌與性格類型有關(guān)．類型二利用K2公式進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)【例2】某電視臺聯(lián)合相關(guān)報(bào)社對“男女同齡退休”這一公眾關(guān)注的問題進(jìn)行了民意調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表所示：贊同反對總計(jì)男198217415女476109585總計(jì)6743261000依據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為對這一問題的看法與性別有關(guān)系？(P(K2≥10.828)≈0.001)【分析】eq\x(計(jì)算K2的值)→eq\x(比照PK2≥k0的臨界值表)→eq\x(得出結(jié)論)【解】假設(shè)H0：“對這一問題的看法與性別無關(guān)”，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以得到：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(1000×198×109－217×4762,415×585×674×326)≈125.161>10.828又P(K2≥10.828)≈0.001，故在犯錯誤概率不超過0.001的前提下認(rèn)為對“男女同齡退休”這一問題的看法與性別有關(guān)．5月31日是“世界無煙日”，2024年的主題是“讓肺自由呼吸”．為探究患肺癌是否與吸煙有關(guān)，某校探討性學(xué)習(xí)小組調(diào)查了1339名50歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示：患肺癌不患肺癌總計(jì)吸煙28579607不吸煙7725732總計(jì)3513041339試問：能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為50歲以上的人患肺癌與吸煙有關(guān)系？解：依題意可知：K2＝eq\f(1339×28×725－579×72,607×732×35×1304)≈17.429>6.635，又P(K2≥6.635)≈0.01，因此，能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)．對K2的理解不透徹導(dǎo)致推斷錯誤【例3】某醫(yī)療探討所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名運(yùn)用血清的人與另外500名未運(yùn)用血清的人一年中的感冒記錄進(jìn)行比較，提出假設(shè)H：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.則下列表述中正確的是()A．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”B．若有人未運(yùn)用該血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%D．這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%【錯解】選B或C或D【錯因分析】上述錯誤的緣由是搞不清“P(K2≥3.841)≈0.05”【正解】由題意可知依據(jù)K2≈3.918≥3.841，又P(K2≥3.841)≈0.05，因此說明白在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，B，C，D表達(dá)有誤．【答案】A在吸煙與患肺病這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說法正確的是(C)A．若K2的觀測值為k＝6.635，則在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺病B．從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C．若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤D．以上三種說法都不正確解析：A，B是對K2的誤會，“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙和患肺病有關(guān)”是指通過大量的視察試驗(yàn)得出的一個(gè)數(shù)值，并不是100個(gè)人中必有99個(gè)人患肺病，也可能這100個(gè)人都健康，故選項(xiàng)A，B均不正確，C正確．1．下列關(guān)于等高條形圖說法正確的是(C)A．等高條形圖表示高度相對的條形圖B．等高條形圖表示的是分類變量的頻數(shù)C．等高條形圖表示的是分類變量的百分比D．等高條形圖表示的是分類變量的實(shí)際高度解析：等高條形圖表示分類變量的比例．2．經(jīng)過對K2的統(tǒng)計(jì)量的探討，得到了若干個(gè)臨界值，當(dāng)K2≤2.706時(shí)，我們認(rèn)為事務(wù)A與B(C)A．有95%的把握認(rèn)為A與B有關(guān)B．有99%的把握認(rèn)為A與B有關(guān)系C．沒有充分理由說明事務(wù)A與B有關(guān)系D．不能確定解析：當(dāng)K2>2.706時(shí)，有90%以上的把握說明A與B有關(guān)系，但當(dāng)K2≤2.706時(shí)，只能說明A與B是否有關(guān)系的理由不夠充分，故選C.3．分類變量X和Y的列聯(lián)表如下，則下列說法中正確的是(C)y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，說明X與Y的相關(guān)性越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明X與Y的相關(guān)性越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說明X與Y的相關(guān)性越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y的相關(guān)性越強(qiáng)解析：結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想可知|ad－bc|越大，X與Y的相關(guān)性越強(qiáng)，從而(ad－bc)2越大，說明X與Y的相關(guān)性越強(qiáng)．4．若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得k＝4.013，那么在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．解析：因隨機(jī)變量K2的觀測值k＝4.013>3.841，因此，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為兩個(gè)變量之間有關(guān)系．5．兩個(gè)分類變量X和Y的列聯(lián)表為：y1y2x1510x2308(1)計(jì)算K2的值．(2)能否在犯錯誤的概率不