2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE2．4正態(tài)分布[目標(biāo)]1.會分析正態(tài)分布的意義.2.能借助正態(tài)曲線的圖象理解正態(tài)曲線的性質(zhì)及意義.3.會依據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率．[重點(diǎn)]正態(tài)曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義；利用正態(tài)分布解決實(shí)際問題．[難點(diǎn)]求隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)的概率．學(xué)問點(diǎn)一正態(tài)曲線與正態(tài)分布[填一填]1．正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up15(－eq\f(x－μ2,2σ2))，x∈(－∞，＋∞)(其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù))的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．2．正態(tài)分布：(1)假如對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿意P(a<X≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布．(2)記作：X～N(μ，σ2)．[答一答]1．正態(tài)曲線φμ，σ(x)中參數(shù)μ，σ的意義是什么？提示：參數(shù)μ反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，即若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ.同理，參數(shù)σ是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2．設(shè)隨機(jī)變量X的正態(tài)分布密度函數(shù)φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))eeq\s\up15(－eq\f(x＋32,4))，x∈(－∞，＋∞)，則參數(shù)μ，σ的值分別是多少？提示：μ＝－3，σ＝eq\r(2).3．正態(tài)分布是自然界中常見的一種分布，你能列舉出一些實(shí)例嗎？提示：正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，很多現(xiàn)象都近似地聽從正態(tài)分布，如長度測量誤差、正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)等．學(xué)問點(diǎn)二正態(tài)分布的性質(zhì)[填一填]1．正態(tài)分布的性質(zhì)(1)曲線在x軸上方，與x軸不相交．(2)曲線是單峰的，關(guān)于直線x＝μ對稱．(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(4)曲線與x軸之間的面積為1.(5)當(dāng)σ肯定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移．(6)如圖所示：當(dāng)μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定．σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中．2．正態(tài)變量在三個特別區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682_6；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954_4；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997_4.[答一答]4．正態(tài)曲線的對稱軸是什么？提示：直線x＝μ.5．正態(tài)分布中P(μ≤x≤μ＋a)與P(μ－a≤x≤μ)(a>0)有什么關(guān)系？提示：μ≤x≤μ＋a與μ－a≤x≤μ關(guān)于x＝μ對稱，所以P(μ≤x≤μ＋a)＝P(μ－a≤x≤μ)．6．為什么正態(tài)分布中，通常認(rèn)為X只取區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的值？提示：正態(tài)分布中變量X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種狀況在一次試驗(yàn)中幾乎不行能發(fā)生，故在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)的值，簡稱“3σ”原則．1．對正態(tài)曲線的理解(1)解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)，其中π是圓周率，e是自然對數(shù)的底數(shù)，即自然常數(shù)．(2)解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ.其中μ可取隨意實(shí)數(shù)；σ>0.在不同的正態(tài)分布中μ，σ的取值是不同的，這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．(3)解析式中前面有一個系數(shù)eq\f(1,\r(2π)σ)，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為－eq\f(x－μ2,2σ2)，其中σ這個參數(shù)在解析式中的兩個位置上出現(xiàn)，留意兩者的一樣性．2．對正態(tài)分布性質(zhì)的理解性質(zhì)(1)說明函數(shù)的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的子集且以x軸為漸近線；性質(zhì)(2)說明曲線關(guān)于直線x＝μ對稱；性質(zhì)(3)說明當(dāng)x＝μ時函數(shù)取得最大值；性質(zhì)(4)說明正態(tài)變量在(－∞，＋∞)內(nèi)取值的概率為1；性質(zhì)(5)說明當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差肯定時，μ改變時，總體分布的改變狀況；性質(zhì)(6)說明當(dāng)均值肯定時，σ改變時，總體分布的集中、離散程度．應(yīng)結(jié)合正態(tài)曲線的特點(diǎn)理解、記憶上述性質(zhì)．3．對3σ原則的理解正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種狀況在一次試驗(yàn)中幾乎不行能發(fā)生，這也是統(tǒng)計(jì)中常用的假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想．類型一正態(tài)曲線的圖象與性質(zhì)【例1】如圖所示，是一個正態(tài)曲線．試依據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差．【分析】由題目可獲得以下主要信息：①總體聽從正態(tài)分布且正態(tài)曲線已給出；②求其解析式及總體隨機(jī)變量的期望與方差．解答本題可首先借助圖象視察該函數(shù)的對稱軸及最大值，然后結(jié)合φu，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up15(－eq\f(x－μ2,2σ2))可知μ及σ的值．【解】從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,2\r(π))·e－eq\f(x－202,4)，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機(jī)變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的圖象，應(yīng)抓住圖象實(shí)質(zhì)性的兩點(diǎn)：一是對稱軸x＝μ，另一個是最值eq\f(1,\r(2π)σ).這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入φμ，σx中便可求出相應(yīng)的解析式.設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有(A)A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：由正態(tài)分布N(μ，σ2)性質(zhì)知，x＝μ為正態(tài)密度函數(shù)圖象的對稱軸，故μ1<μ2.又σ越小，圖象越高瘦，故σ1<σ2.故選A.類型二正態(tài)分布的概率計(jì)算【例2】設(shè)X～N(1,22)，求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．【分析】要求隨機(jī)變量X在某一范圍內(nèi)的概率，只須借助于正態(tài)密度曲線的圖象性質(zhì)及三個特別區(qū)間內(nèi)取值的概率．【解】∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，∴P(3<X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3<X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228.已知X～N(1.4,0.052)，求X落在區(qū)間(1.35,1.45]內(nèi)的概率．解：因?yàn)棣蹋?.4，σ＝0.05，所以X落在區(qū)間(1.35，1.45]中的概率為P(1.4－0.05<X≤1.4＋0.05)＝0.6826.類型三正態(tài)分布的簡潔應(yīng)用【例3】在某校實(shí)行的一次數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成果X近似聽從正態(tài)分布N(70,100)．已知成果在90分以上(含90分)的學(xué)生有16名．(1)試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少？(2)若該校安排嘉獎競賽成果在80分以上(含80分)的學(xué)生，試問此次競賽獲嘉獎的學(xué)生約為多少人？附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.【分析】(1)由題意首先確定正態(tài)分布中μ，σ的值，然后結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽人數(shù)即可；(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合正態(tài)分布圖象的對稱性即可確定須要嘉獎的學(xué)生人數(shù)．【解】(1)設(shè)參賽學(xué)生的成果為X，因?yàn)閄～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10，則P(X≥90)＝P(X≤50)＝eq\f(1,2)[1－P(50<X<90)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)×(1－0.955)＝0.0225，16÷0.0225≈711(人)．因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為711.(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝eq\f(1,2)[1－P(60<X<80)]＝eq\f(1,2)×[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×(1－0.683)＝0.1585，得711×0.1585≈113(人)．因此，此次競賽獲嘉獎的學(xué)生約為113人．解答此類題目的關(guān)鍵在于將待求的問題向μ－σ，μ＋σ，μ－2σ，μ＋2σ，μ－3σ，μ＋3σ這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過程中依舊會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.某廠生產(chǎn)的零件外徑ξ～N(10,0.04)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測得其外徑分別為9.9cm,9.3cm，則可認(rèn)為(A)A．上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣B．上午生產(chǎn)狀況異樣，下午生產(chǎn)狀況正常C．上午、下午生產(chǎn)悄況均正常D．上午、下午生產(chǎn)狀況均異樣解析：因測量值ξ為隨機(jī)變量，又ξ～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，記I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4,10.6)，9.9∈I,9.3?I，故選A.正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【例4】在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成果ξ聽從一個正態(tài)分布，即ξ～N(90,100)．(1)試求考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成果在(80,100)間的考生大約有多少人？【思路分析】正態(tài)分布已經(jīng)確定，則總體的期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ就可以求出，這樣就可以依據(jù)正態(tài)分布在三個常見的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解．【解】∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.9544，于是考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.6826，所以考試成果ξ位于區(qū)間(80,100)內(nèi)的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考試成果在(80,100)間的考生大約有2000×0.6826≈1365(人)．【解后反思】解答這類問題的關(guān)鍵是熟記正態(tài)變量的取值位于區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同時又要依據(jù)已知的正態(tài)分布確定所給區(qū)間屬于上述三個區(qū)間中的哪一個．已知某種零件的尺寸ξ(單位：mm)聽從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，且f(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求概率密度函數(shù)；(2)估計(jì)尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？解：(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對稱，且在x＝80處取得最大值，因此得μ＝80.eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，所以σ＝8.故密度函數(shù)解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,8\r(2π))eeq\s\up15(－eq\f(x－802,128)).(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸ξ位于區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是0.6826.因此尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的68.26%.1．正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,2\r(2π))eeq\s\up15(－eq\f(x－12,8))，x∈R，則其標(biāo)準(zhǔn)差為(B)A．1B．2C．4D．8解析：由正態(tài)分布密度函數(shù)知，2σ2＝8，故σ＝2.2．如圖是當(dāng)σ分別取值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：當(dāng)σ取σ2時最大值為eq\f(1,\r(2π))，∴σ2＝1，再依據(jù)三個圖象的集中程度知D成立．3．在f(x)＝eq\f(1,2\r(π))eeq\s\up15(－eq\f(x＋32,4))中當(dāng)變量x＝－3時，f(x)取到最大值eq\f(1,2\r(π)).4．若隨機(jī)變量ξ～N