2023年高考數(shù)學真題與模擬訓練專題05 導數(shù)及其應用試題含解析

2023年高考數(shù)學真題與模擬訓練專題5導數(shù)及其應用

第一部分真題分類

一、單選題

1.（2021?全國高考真題）若過點（。乃）可以作曲線y=的兩條切線，則（）

h

A.e<aB.e"vb

C.0<〃<e"D.0<b<ea

2.（2021.全國高考真題（理））設(shè)QWO,若x=4為函數(shù)/（x）=4（x-4）2（x-b）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

3.（2020?全國高考真題（理））若直線/與曲線尸、&和爐+k=（都相切，則/的方程為（）

A.y=2x+\B.3=2X+-i-C.y=—x+\D.y=—x+^

4.（2020?全國高考真題（理））函數(shù)戶：x）=/-2d的圖像在點（1,7（D）處的切線方程為（）

A.j=-2x-lB.y=-2x4-1

C.y=2x-3D.j=2x+l

5.已知曲線y=oe'+xlnx在點（l,ae）處的切線方程為y=2x+/?,則（）

A.a=e,b=-\B.a=eyb=1C.a=e~\b=\D.a=e~\b=-l

6.已知awR,設(shè)函數(shù)f（x）={-'若關(guān)于x的不等式f（x）..O在R上恒成立，則。的

%—alnx,%>1,

取值范圍為（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[l,e]

二、填空題

?r-1

7.（2021?全國高考真題（理））曲線y二一二在點（-1,-3）處的切線方程為___________.

x+2

8.（2021?全國高考真題）函數(shù)/（x）=|2x—l|-21nx的最小值為.

9.（2020?江蘇高考真題）在平面直角坐標系xOy中，己知P（1?,0）,A,8是圓C：+（y-l）2=36±

的兩個動點，滿足PA=PB，則△以8面積的最大值是.

10.(2020?全國高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(幻=-^.若/?)=-,則G_________.

x+a4

11.(2020?全國高考真題(文))曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

4

12.在平面直角坐標系中，P是曲線y=x+-(x>0)上的一個動點，則點P到直線x+產(chǎn)0的距離的

x

最小值是.

三、解答題

3-2r

13.(2021.北京高考真題)已知函數(shù)/(x)=n，.

⑴若a=0,求y=/(x)在處切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)在x=-l處取得極值，求/(力的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

14.(2021?全國高考真題)已知函數(shù)/(x)=x(lTnx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-aln〃=a-〃，證明：2<—+-J-<e.

ab

15.(2021?全國高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(幻=/%2+亦一31nx+l,其中4>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(?的圖像與x軸沒有公共點，求〃的取值范圍.

16.(2021?淅江高考直題)設(shè)b為實數(shù),日函數(shù)/(x)=〃'-Zzr+e2(x￡R)

(1)求函數(shù)/(戈)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意b>2/,函數(shù)/(x)有兩個不同的零點，求。的取值范圍；

(3)當々=e時，證明：對任意人〉/,函數(shù)f(x)有兩個不同的零點對七，滿足々>2華

2e~b

(注：e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))

a

17.(2021?全國高考真題(理))已知4>0且函數(shù)/")=二x">0).

ax

(1)當。=2時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

18.(2021?全國高考真題(理))設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=4。)的極值點.

(1)求。；

x+f(x)

(2)設(shè)函數(shù)g*)=.；；)?證明:g(x)〈L

19.(2021?全國高考真題(理))已知拋物線。：工2=2外(〃>0)的焦點為尸，且尸與圓

Mf+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

(1)求〃；

(2)若點尸在M上，P4尸B是C的兩條切線，AB是切點，求△P43面積的最大值.

20.(2020?全國高考真題(理))設(shè)函數(shù)/(?=/+瓜+。，曲線y=/(x)在點(《，；(：?))處的切線與y

軸垂直.

(1)求反

(2)若/G)有一個絕對值不大于1的零點，證明：/")所有零點的絕對值都不大于1.

21.(2020?全國高考真題(文))已知函數(shù)-辰+爐.

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)若/3)有三個零點，求A的取值范圍.

22.(2020?全國高考真題(理))已知函數(shù)，(x)=^+以2一次

(1)當。=1時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當應0時，/(x)>^+1,求。的取值范圍.

23.(2020?全國高考真題(理))已知函數(shù)危AsidxsinZt.

(1)討論氏i)在區(qū)間(0,力的單調(diào)性；

(2)證明：空；

8

3”

(3)設(shè)〃WN*,證明:sin2xsin22xsin24x..sin22g—.

4n

第二部分模擬訓練

一、單選題

1.已知函數(shù)/(幻=叱-〃，或幻二3(17一一),若方程/(x)=g(#有2不同的實數(shù)解，則實數(shù)。的

xInx

取值范圍是()

A.(-co,e)B.(0,i)C.(-oo,0)u(e,+co)D.(e,+8)

2.已知〃力是定義在(-8,*0)上的函數(shù)，/(力為〃力的導函數(shù)，且滿足/(到+(工一1)/'(力>0,

則下列結(jié)論中正確的是()

A./(6>0恒成立B./(x)<0恒成立

C.7(1)=0D.當不￡(^,1)時，/(x)<0；當x€(l,+oo)時，/(x)>0

3.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/*)滿足恒成立(其中廣⑴為函數(shù)/*)的導函數(shù))，對

于任意實數(shù)百>0,x2>0,下列不等式一定正確的是()

A.B.f(xi)-f(x2)<f(xix2)

>

c.f(xi)+f(x2)>f(x］+^2)D.f(xi)+f(x2)<f(xl+x2}

4.設(shè)函數(shù)/'(x)是奇函數(shù)/(X)(X￡R)的導函數(shù)，當x>0時，向伏?尸(“<一/(不)，則使得

(f_4)/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-2,0)50,2)B.(-oo,-2)u(2,+oo)c.(-2,0)U(2,+OO)D.(-OO,-2)U(0,2)

二、解答題

5.已知函數(shù)/(力=//，g(x)=alnx.

(1)若曲線)，="力一8(力在1=2史的切線與直線1+3>-7=0垂直，求實數(shù)。的值；

(2)設(shè)Mx)=/(x)+g(x),若對任意兩個不等的正數(shù)3，%,都有'?二!再>2恒成立,求實

數(shù)。的取值范圍：

(3)若［l,e］上存在一點飛,使得廣(Xo)+7；a<g(/)-g'a。)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

專題5導數(shù)及其應用

第一部分真題分類

一、單選題

1.(2021.全國高考真題)若過點(4,6)可以作曲線y=e'的兩條切線，則()

A.eh<aB.e"<b

c.o<a<e<D.0<b<ea

【答案】D

【解析】在曲線y=e”上任取一點P(r,e')，對函數(shù)y=-求導得)，'=e3

所以，曲線y=c'在點尸處的切線方程為y-d=/(無一，)，即y=e'x+(l

由題意可知，點(。,〃)在直線y=e'x+(l-/)d上，可得力=國'+(l-f)d=(a+l-1)e',

令/?)=(a+1T)d,則=(a-t)e,.

當l<a時，r(o>o,此時函數(shù)單調(diào)遞增，

當￡>a時，/'(，)<0,此時函數(shù)/?)單調(diào)遞減，

所以，/a)a="〃)=e”，

由題意可知，直線>=b與曲線y=/(r)的圖象有兩個交點，則8</(，)g=e“，

當/v〃+l時，/(r)>0,當1>〃+1時，/(r)<0,作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當Ovb<e"時，直線、=力與曲線>的圖象有兩個交點.

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線)，=d的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(。力)在曲線下方和工軸上方時才可

以作出兩條切線.由此可知Ovbce".

故選：D.

2.（2021?全國高考真題（理））設(shè)。工0,若工=〃為函數(shù)〃同=々（工一々）2（》一與的極大值點，則（）

A.a<bB.a>hC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】若〃二八則“力=。（％-。）3為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故）b.

依題意，工=。為函數(shù)/（力二0（不一。）2&-6）的極大值點，

當a<0時，由/（x）<0,畫出f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可知方V。，avO,故

當〃>0時，由時，/（x）>0,畫出〃力的圖象如下圖所示:

由圖可知力>4,。>0,故出?>〃2.

綜上所述，成立.

故選：D

3.（2020.全國高考真題（理））若直線/與曲線廣?和爐+產(chǎn)=!都相切，貝心的方程為（）

A.\=2x+lB.y=2x+—C.y=—x+\D.>=-x+—

2-222

【答案】D

【解析】

設(shè)直線/在曲線y=?上的切點為（天,寓），則%>0,

函數(shù)y=4的導數(shù)為y=云5，則直線/的斜率％

設(shè)直線/的方程為丁一任二公上（*一/），即工一2后丁+/=0,

由于直線/與圓,/十./=相1切，則、天）二1

5Jl+4$V5

兩邊平方并整理得5片一4/-1=0,解得%=1,毛=一（（舍），

則直線/的方程為x-2y+l=0,即丁=!1+!.

22

故選：D.

4.（202。全國高考真題（理））函數(shù)/㈤=/-2丁的圖像在點（1,/⑴）處的切線方程為（）

A.y=-2x-\B.y=-2x+\

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【解析】

V/(%)=/-2^,./(W6f,=r(l)=-2,

因此，所求切線的方程為y+l=-2(x-l),即)，=-2x+l.

故選：B.

5.已知曲線y=〃e'+Hnx在點(l,ae)處的切線方程為y=2x+〃，則()

A.a=e,b=-lB.a=e,b=1C.a=e~\b=1D.a=e~\b=-\

【答案】D

【解析】

解析：yf=aeA+lnx+l,

Z=)q=i=〃e+1=2,a=e~'

將(1,1)代入y=2x+b得2+6=l,6=-l,故選D.

6.已知awR,設(shè)函數(shù)/。)=產(chǎn)-+",1’若關(guān)于x的不等式/(x)..O在H上恒成立，則。的

x-alnx,x>\,

取值范圍為()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1，4

【答案】C

【解析】

V/(0)>0,即〃之0,

(1)當0Wa41時，f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2-￥2a-a2>2a-a2=a(2-6f)>0,

當a>l時，/(l)=l>0,

故當。之0時，/一2辦+2々20在(-?>，1]上恒成立；

x

若x-alnxNO在(1,+°。)上恒成立，即a<---在(1,+?。)上恒成立，

\nx

,x,lnx-1

令g(x)="；-，則g(zx)x=；^―不，

Inx(Inx)

當函數(shù)單增，當Ovxve,函數(shù)單減，

故ga)max=g(e)=e，所以當aN。時，/一2ar+2。NO在(P」］上恒成立;

綜上可知，。的取值范圍是［0,田，

故選C.

二、填空題

2r-1

7.(2021?全國高考真題(理))曲線y二二^在點(T-3)處的切線方程為__________

x+2

【答案】5x-y+2=O

【解析】由題，當x=—1時，)，=一3,故點在曲線上.

2（x+2）-（2x-1）=5

求導得:所以y'lx=T=5.

"+2）2（x+2）?'

故切線方程為5x—y+2=o.

故答案為：5x-y+2=0.

8.(2021?全國高考真題)函數(shù)f(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【解析】由題設(shè)知：/(x)=|2x-l|-2ln.E定義域為(0,+8),

???當時，/(x)=l-2x-21nj,此時f(x)單調(diào)遞減；

2

1?

當一時，f(x)=2x-l-2\nx,有/")=2--<0,此時/*)單調(diào)遞減；

2x

2

當工>1時，/(x)=2x-l-21nx,有/'(x)=2-->0,此時〃幻單調(diào)遞增；

x

又/(外在各分段的界點處連續(xù)，

?,?綜上有：0<冗41時，f(x)單調(diào)遞減，x>l時，/(幻單調(diào)遞增；

故答案為：1.

9.(2020?江蘇高考真題)在平面直角坐標系工。)，中，已知P(3,0),4,8是圓C：+(y-^)2=36±

的兩個動點，滿足PA=PB，則AaiB面積的最大值是.

【答案】10石

【解析】

QPA=PB:.PCLAB

設(shè)圓心C到直線A3距離為d，則|AB|=2j36-屋」pC|=J-+-=l

\44

所以SVPABW：-2436->(d+1)=J(36_.2)(d+1)2

令y=(36-d?)(d+l)2(O<d<6)/=2(d+1)(-2J2-J+36)=0/.J=4(負值舍去)

當0"v4時，V>0；當4W"<6時，y<0,因此當d=4時，V取最大值，即S..取最大值為10不，

故答案為：10石

10.(2020?全國高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(%)=￡_.若=則。=.

x+a4

【答案】1

、e*x(x+a)-exex(x+a-}]

【解析】由函數(shù)的解析式可得：/(1)==—————L，

[x+a)(x+a)

)x(1+〃-1)aeaee

則：f()=F―v—=7一八？,據(jù)此可得：匚二F二Z，

(1+4)(674-1)(。+1)4

整理可得：—2zz+1=0?解得：a=\.

故答案為：1.

11.(2020?全國高考真題(文))曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

【答案】y=2x

【解析】設(shè)切線的切點坐標為(小,%),y=lnx+x+l，V=^+i,

x

N'L=q=—+l=2,x0=l,y0=2,所以切點坐標為(1,2),

%

所求的切線方程為了一2=2。-1),即j=2x.

故答案為：y=2x.

4

12.在平面直角坐標系直乃中，P是曲線y=x+-(x>0)上的一個動點，則點尸到直線武尸0的距離的

x

最小值是.

【答案】4.

4

【解析】當直線x+y=o平移到與曲線），=1+一相切位置時，切點。即為點P到直線x+y=o的距離最

X

小.

由y'=]--=—1,得x=6（-6舍）,y=3-72?

x~

即切點。（0,3近），

|忘+3閩

則切點Q到直線％+y=0的陽窩為1「一?二4，

7i2+i2

故答案為4.

三、解答題

3-2r

13.（2021?北京高考真題）已知函數(shù)=

⑴若a=0,求y=/（x）在。，/⑴）處切線方程；

（2）若函數(shù)/（力在x=—l處取得極值，求/（力的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

【答案】⑴4x+y-5=0；（2）函數(shù)/（冗）的增區(qū)間為（一8,—1）、（4,+oo）,單調(diào)遞減區(qū)間為（一1,4）,

最大值為1,最小值為

4

【解析】（1）當4=0時，=則r（6=2（x；3）,r（l）=Y,

XX

此時，曲線y=/（x）在點（1,/。））處的切線方程為y-l=-4（x—l）,即4x+y—5=。；

09?-,-2（x~+〃）—2x（3—2x）2（丁—3元—〃）

（2）因為/（x）=答，則?。?，」1一二二」

xl+a（f+a）\x+a）

、2（4-67）

由題意可得/（T）=/*=0,解得a=4,

（a+1）

故r（"=2（;+,i）k）,列表如下：

-x-+4（r+4）

X(FT)-1（T,4）4(4,+00)

+0—04-

f(x)增極大值減極小值增

所以，函數(shù)“X)的增區(qū)間為(，2-1)、(4,-KX)),單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,4).

當尢〈一時，f(x)>0；當％>一時，/(x)<0.

22

所以，"xLx=/(T)=l，小)而廣44)=+

14.(2021?全國高考真題)已知函數(shù)/,(x)=x(lTnx).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，6為兩個不相等的正數(shù)，且方lna-aln〃=a-h,證明：2<—4--J-<e.

ab

【答案】(1)的遞增區(qū)間為(0』)，遞減區(qū)間為(L+8)；(2)證明見解析.

【解析】(1)函數(shù)的定義域為(0,+8)，

又/'(工)=1-1。入一1=一111%,

當xw(O,l)時，/z(x)>0,當xe(L+oo)時，/f(x)<0,

故/(X)的遞增區(qū)間為(0,1)，遞減區(qū)間為(1,+8).

(2)因為Z?ln〃一Hn力=々一人，故Z?(lna+l)=a(lnb+1),即I""[1=In,

ab

故/用=/(》

設(shè)一=%]，!二12，由(1)可知不妨設(shè)Ovr<1，工2>L

ab

因為工￡(0,1)時，/(x)=x(l-lnx)>0,x￡(e,+cc)時，/(x)=x(l-lnx)<0,

故1<%<e.

先證：+工2>2,

若占22,%+超>2必成立.

若再<2,要證：Xj+x2>2,即證王>2-々，而0<2—々<1，

故即證/(%)>/(2—％2)，即證:/(%)>/(2—無2),其中1<毛<2.

設(shè)g(x)=/(x)-/(2-x),l<xv2,

則g'(x)=/'(x)+/'(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

因為lvx<2,故0cx(2-x)<l,故一lnx(2-x)>0,

所以.(x)>0,故g(x)在(1,2)為增函數(shù),所以g(x)>g(l)=0,

故/(冗)>/(2-冗)，即-9)成立,所以菁+%>2成立，

綜上，X+W>2成立.

設(shè)％則，>1,

,..Ina+1lnZ?+l11_m./,,

結(jié)合------=------,一=斗,二=/可得11：^(Zll-ln^)x=x,(l-lnA2x),

abab~

即：l-InN=r(l-lnl-InxJ,故歷'=^—5—,

/-1

要證：Xj+x2<e,即證(r+l)%<e,即證ln?+l)+ln%vl,

即證：ln(f+l)+^~~^-^<1,即證：(r-l)ln(r+l)-zlnr<0,

令S0=(I)ln?+l)—W>1,

則S[f)=ln(f+l)+W|_l_lnf=ln(l+；)_y^j,

先證明一個不等式：ln(x+l)4x.

1_y

設(shè)〃(x)=ln(x+l)—x,貝h/(x)=-----1=----,

當-IvxvO時，/(x)>0；當x>0時，〃'(x)vO,

故〃(x)在(TO)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù)，故〃(司3="0)=0,

故ln(x+l)4x成立

由上述不等式可得當時，ln^l+yj<i<y|y,故S'(7)<0恒成立，

故S?)在(1,+8)上為減函數(shù)，故S(/)vS⑴=0,

故(，一l)ln(，+l)-八n/<0成立，即玉+々ve成立.

綜上所述，2<-+-<e.

ab

15.（2021?全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)/3）=/32+批一3m五+1,其中。>0.

（1）討論/（X）的單調(diào)性；

（2）若y=/（x）的圖像與x軸沒有公共點，求。的取值范圍.

【答案】（1）/（x）的減區(qū)間為增區(qū)間為（\+8

【解析】（1）函數(shù)的定義域為（0,+8）,

又尸㈤=（2奴+3）（以.1）,

x

因為q>0,x>0,故2or+3>0,

當0<x<~!■時，/Xx）<0；當時，r（x）>0；

aa

所以f（x）的減區(qū)間為（o,J,增區(qū)間為（J,+8）.

（2）因為/（1）=。2+々+1>。且）=/（力的圖與工軸沒有公共點，

所以y=〃x）的圖象在X軸的上方，

由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）min=f：）=3-31n：=3+31na,

故3+31na>0即。>一.

e

16.（2021?浙江高考真題）設(shè)小b為實數(shù)，且函數(shù)/（力=優(yōu)一區(qū)+/（元￡即

（I）求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意人>2/,函數(shù)/（力有兩個不同的零點，求。的取值范圍；

⑶當。=。時，證明：對任意力>/,函數(shù)/（%）有兩個不同的零點%,占，滿足處々為+三.

2eb

（注：0=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）

b、

-00,log--,單調(diào)增區(qū)

(In3

間為logtt--,+oo；⑵(I,/]；(3)證明見解析.

、\na)'」

【解析】(l)/(x)=優(yōu)-bx+e2,f(x)=ax\na-h,

①若b<0,則/'(幻=優(yōu)111。一620,所以/*)在/?上單調(diào)遞增；

②若b>0,

當次《一8,log”白時，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當工€(log0'j^,+oo時./(x)>0./(x)單調(diào)遞增.

綜上可得，時，f(x)在R上單調(diào)遞增；

(1\/?>

6>0時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為-8,10g,；—,單調(diào)增區(qū)間為log”；一，口.

VInaJIIn。J

⑵/(x)有2個不同零點="一法+/=0有2個不同解<=>/n"一法+/=o有2個不同的解，

令/=xlna,則e'---+e2=0=>-^-=g+g,Z>0>

\na\nat

'□八et+e2，/、elt-(er+e2}^(r-1)-^2

記g")=-----,g?)=—4——-=-^—，

ttr

又力(2)=0,所以fe(0,2)時，h(t)<0,fe(2,+8)時，h(t)>0,

則g?)在(0,2)單調(diào)遞減，(2,內(nèi))單調(diào)遞增，，3>g(2)=

Inae

b

b>2e9,:.—>2,:.\na<2=>\<a<e9.

e

即實數(shù)〃的取值范圍是(I,/].

(3)a=e,f(x)=，一版+/有2個不同零點，則-+/=法，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).

由(2)可知有2個不同零點，記較大者為々，較小者為用,

.ex'+e2eX2+e2

b=------=------->e4,

X%

x2

注意到函數(shù)y=t士在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,48)上單調(diào)遞增,

X

52

故不<2<42，又由0<一知>>5，

b\x\be□布..e

>—T—x.H—?只需x,>InZ?H—，

2e21b2b

電?o.r2

b=-j<二2且關(guān)于8的函數(shù)g(b)=ln〃+土在。上單調(diào)遞增,

x,b

所以只需證w>皿主一+5三

?^2

只需證“2/2蕓x〉°,

px

只需證Inx------In2>0,

2ex

,廣

.—<4,只需證〃(x)=lnx——-1n2在x>5時為正，

2e

由于?(幻=L+4xe-x_4e'x=-+4e-'(x-l)>0,故函數(shù)力(%)單調(diào)遞增，

JCX

又力(5)=卜5-2一1112=1。工一烏>0,故力(x)=Inl-竺一In2在x>5時為正,

e52e4ex

從而題中的不等式得證.

17.(2021?全國高考真題(理))已知〃>0且。函數(shù)/*)=j(x>0).

(1)當。=2時，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個交點，求。的取值范圍.

【答案】(1)oA上單調(diào)遞增;2

F，+8上單調(diào)遞減；(2)(l,c)u(e,+8).

In2

9

2工.2'-/.2'/2」，2'(2-幻。2)

【解析】⑴當。=2時，/W=^7vf(x)

4V

令尸(x)=0得工=三，當0vx<三時，r(x)>0,當x>三時，r(x)<0.

In2In2In2

(2N，+co］上單調(diào)遞減;

，函數(shù)/(X)在°，曲^上單調(diào)遞增;

ln2)

(2)f(x}=—=l<^>ax=xa<=>1111。=。111X0"^=^^,設(shè)函數(shù)且(1)=^^,

axxax

則/(R)=1[尸,令g[x)=。,得x=e,

在(O,e)內(nèi)g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增;

在(e,+oo)上g[x)v0,g(x)單調(diào)遞減;

??g(x)M=g(e)=3

又g(l)=0,當X趨近于+8時，g(x)趨近于0,

所以曲線y=/(力與直線y=l有且僅有兩個交點，即曲線y=g(x)與直線y=已有兩個交點的充分

必要條件是0<皿這即是0<g(a)vg(e),

ae

所以。的取值范圍是(l,e)u(e,+8).

18.(2021?全國高考真題(理))設(shè)函數(shù)，(x)=ln(a-x),己知x=0是函數(shù)y=4(力的極值點?

(1)求。；

X+f(X)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=「.證明:g(x)<l.

xf(x)

【答案】1；證明見詳解

【解析】(1)由/(x)=ln(〃-x)=r(x)=」一，y=xf(A：)=>y'=ln(a-x)x

+----

x—ax-a

又I=0是函數(shù))，=4(司的極值點，所以y'(O)=lna=O,解得々=1；

x+/(%)_x+ln(l-x)

⑵由⑴得f(x)=ln(l-x),g(R)=

xf(x)~xln(lr)，xv1且xw0,

/\,x+ln(l-x)/、，、

當xe(O,l)時,要證g(x)=.〉—^<1,/x>0,ln(l-x)<0,/.xlnl-x)<0,即證

xln(l-A)

x+ln(l-x)>xln(l-x),化簡得x+(l_x)ln(l-x)〉O；

.、x+ln(l-x),、，、

同理，當X￡(YO,0)時，要證g(x)=—~~廿Vl,x<0,ln(l-x)>0,.-.xln(l-x)<0,即證

'/Aln(l-x)

x+ln(l-x)>xln(l-x),化簡得x+(l-x)ln(l-x)>0；

令/?(x)=K+(17)ln(17),再令E=1—X,則f￡(O,l)U(l,+°°)，X=]-t

令g(f)=lT+"nz.g'(/)=-l+ln/+l=lnz,

當[?0,l)時，g'(x)<0,g(x)單減，假設(shè)g⑴能取到，則g⑴=0,故g(f)>g(l)=0；

當，€(l,+oo)時，g'(x)>0,g(x)單增，假設(shè)g(l)能取到，則g(l)=0,故g(1)>g⑴=0；

綜上所述，g0)=#n(I_力〈在不)(F'°)U(°，1)恒成立

19.(2021.全國高考真題(理))已知拋物線。:犬=2勿(。>0)的焦點為尸，且尸與圓

M：工2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4.

⑴求P；

(2)若點尸在〃上，尸A,-8是C的疾條切線，AB是切點，求△弘8面積的最大值.

【答案】(1)p=2；(2)20非.

【解析】(1)拋物線C的焦點為尸0，￥,|FM|=f+4,

所以，尸與圓M:/+(y+4)2=l上點的距離的最小值為]+4-1=4,解得〃=2；

(2)拋物線。的方程為爐=4)，即y=[,對該函數(shù)求導得y'=],

設(shè)點A(%,yJ、3(孫必)、尸(如為)，

直線的方程為=5（％一%）'即）'二號一凹，即_2y=0,

同理可知，直線P8的方程為工2工一2%一2），=0,

%/_2乂_2%=0

由于點尸為這兩條直線的公共點，則〈

工2毛-2%_2%=0'

所以，點A、8的坐標滿足方程玉工一2》一2%=0,

所以，直線A8的方程為％/一2丁一2yo=0,

\x-2y-2yQ=0

聯(lián)立x2，可得/一2/工+4%=0,

Hl

由韋達定理可得x1+x2=2x0,g=4,v0,

所以，|陰=卜（]｛（玉+%丁一可々=+.也片-16%=#；+4）（片-4%）,

L2.4yI

點P到直線AB的距離為d=M==1,

收+4

所以，Sc=gIM.d=g#；+4乂H一4）,o）」=g（x：-4yoy,

?*-4%=1-（%+4）2-4%=一尤一12%—15=-（％+6）2+21，

[-

由已知可得一5W坊《一3,所以，當為=-5時，△PAB的面積取最大值上x202=20石.

2

20.（2020?全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)/（?=/+瓜+。，曲線y=/（x）在點（3?，1/））處的切線與y

軸垂直.

⑴求瓦

（2）若/（x）有一個絕對值不大于1的零點，證明：/。）所有零點的絕對值都不大于1.

3

【答案】（1）/?=--；（2）證明見解析

【解析】（1）因為f（x）=3/+b,

由題意，/(^)=0,即3x(；)+。=0

3

則6=——；

4

3

(2)由(1)可得/(x)=d——x+ct

311

f(x)=3x2——=3(x+—)(x——),

令/(x)>。，得或令/(x)<。，得一

2222

所以/Xx)在(-g,g)上單調(diào)遞減，在S-；),g,+00)上單調(diào)遞增，

且/(T)=T,/(一》=C+；,嗎)=T，/⑴=C+；,

若/(X)所有零點中存在一個絕對值大于I的零點X。?則/(-1)>0或/⑴<0.

即C>L或C<-L.

44

當時，/(_l)=c_；>0，/(_g)=c+；>0,/(g)=c_；>0,/(l)=c+；>0,

又/(-4c)=-64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零點存在性定理知fW在MG-1)上存在唯一一個零點與，

即/⑴在(-oo,-l)上存在唯一一個零點，在(-1,-w)上不存在零點，

此時/'(工)不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；

當時，/(-l)=c-^<0,/(-1)=c+^-<0,/(1)=c-^<0,/(l)=c+^<0,

又/(-4c)=64c3+3c+c=4c(l-16c2)>0,

由零點存在性定理知/(x)在(l,Tc)上存在唯一一個零點〈，

即在上存在唯一一個零點，在(-oo,l)上不存在零點，

此時/1")不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；

綜上，/*)所有零點的絕對值都不大于1.

21.(2020?全國高考真題(文))已知函數(shù)=/-履+M.

(1)討論了(幻的單調(diào)性；

(2)若〃x)有三個零點，求女的取值范圍.

4

【答案】（1）詳見解析；（2）（0,方）.

【解析】（1）由題，f'（x）=3x2-k,

當kW0時，/（幻之0恒成立，所以/（l）在（YO,E）上單調(diào)遞增;

，令人幻<0,得堪

當4>0時，令/'（幻=0,得太二

令,⑴>0,得x<-J?；蛩?a）在（一

上單調(diào)遞減，在

(一00,4-00）上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知,

k2+2-/cJ->0

3V34

即<>解得0<攵<—,

27

k2--<0

3

號，且〃a)=->0,

當0<女<2時，y/k>

所以fM在哈,&）上有唯一一個零點,

，/(_k_1)=_左3_伙+1)2〈0,

同理-攵一1<

所以f（x）在（―攵—1,上有唯一一個零點,

又f（x）在（_J,J|）上有唯一一個零點，所以/（%）有三個零點,

4

綜上可知女的取值范圍為（0,萬）.

22.（2020?全國高考真題（理））已知函數(shù)/（幻=^+0?一了.

(1)當昕1時，討論/'(x)的單調(diào)性;

(2)當后0時，f(x)A3+1