九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破06相似三角形中的“8”字模型（3種題）（解析版）

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破06相似三角形中的“8”字模型（3種題）【題型細(xì)目表】題型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解題（2）添加輔助線構(gòu)造“8”字模型解題題型二：8字-不平行型【知識(shí)梳理】8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);【考點(diǎn)剖析】題型一：8字-平行型（1）直接利用“8”字型解題例1.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若，則 ．【答案】．【解析】，可知， 由，可知，故．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型．例2.如圖，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)．求證：．【解析】證明：四邊形為平行四邊形，，．根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，則有，．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型，一個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來(lái)進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化．例3.如圖，在平行四邊形中，的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交 于點(diǎn)．求證：．【解析】證明：四邊形為平行四邊形，，．根據(jù)三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，則有：，．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型，一個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來(lái)進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化．例4.如圖，點(diǎn)在線段上，和都是等邊三角形． 求證：（1）； （2）．【解析】證明：（1）和是等邊三角形，．∵點(diǎn)在線段上，．，．（2）同（1）易證得，則有．和是等邊三角形，，，．【總結(jié)】初步認(rèn)識(shí)相似三角形中的“8”字型，一個(gè)圖形中存在往往不只一個(gè)，可用來(lái)進(jìn)行等比例轉(zhuǎn)化．例5.如圖，已知．，，求的長(zhǎng)．（用、的代數(shù)式表示）．【答案】．【解析】由，則有， 即，得．【總結(jié)】考查相似三角形中“8”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．例6.如圖，為平行四邊形的對(duì)角線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．【答案】．【解析】由，可得，即， 故，由， 可得：．【總結(jié)】考查相似三角形中“8”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．例7.如圖，，，，求的值．【答案】．【解析】由，得：，又， 可得，故．【總結(jié)】考查相似三角形中“8”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．例8.過(guò)的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E．求證：．AABCDEF【解析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．，；是中線，，；．【總結(jié)】題考查三角形一邊的平行線知識(shí)，要學(xué)會(huì)構(gòu)造平行基本模型．例9.如圖，AD是的內(nèi)角平分線．求證：．AABCDM【解析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)． ， 是角平分線 ； ．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊的平行線、角平分線及等腰三角形的相關(guān)知識(shí)．題型二：8字-不平行型例10.如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC【分析】結(jié)合圖形利用8字模型相似三角形證明△EFB∽△DFC，然后利用等角的補(bǔ)角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后證明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例逐一判斷即可．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴EFDF∴EF?FC＝DF?FB，故A不符合題意：∵△EFB∽△DFC，∴BECD∴BE?CF＝CD?BF，故B不符合題意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴ABAC∴AB?AE＝AD?AC，故C符合題意；因?yàn)椋篈E，BE，AD，CD組不成三角形，也不存在比例關(guān)系，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共4小題）1．（2023?包河區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE＝DC，連接BE交AC于點(diǎn)F，則的值是（）?A． B． C． D．【分析】在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)DE＝DC，可得，再由AB∥CD得到△ABF∽△CEF，最后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵DE＝DC，∴，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．2．（2021秋?亳州期末）如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，連接AE，下列相似三角形成立的有（）①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠CBD＝∠ABE，然后利用手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)型相似證明△BCD∽△BEO；②利用8字模型相似三角形證明△AOD∽△EOB；③利用②的結(jié)論可得＝，然后利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等證明△AOE∽△DOB；④利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似證明△BOD∽△BDA．【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴∠C＝∠ABC＝∠CAB＝60°，∠EDB＝∠DBE＝∠DEB＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠CBD＝∠ABE，∴△BCD∽△BEO，故①正確；∵∠AOD＝∠BOE，∠DAB＝∠DEB＝60°，∴△AOD∽△EOB，故②正確；∵△AOD∽△EOB，∴＝，∵∠AOE＝∠DOB，∴△AOE∽△DOB，故③正確；∵∠DBA＝∠DBO，∠DAB＝∠ODB＝60°，∴△BOD∽△BDA，故④正確；所以，上列相似三角形成立的有4對(duì)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型﹣旋轉(zhuǎn)型相似，8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022?碭山縣模擬）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)F，且∠ADB＝∠BCE，則BF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，從而可得∠ADB＝∠FBC，進(jìn)而可得∠FBC＝∠FCB，然后利用等腰三角形的判定可得FB＝FC，再證明8字模型相似三角形△BEF∽△DCF，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，再設(shè)EF＝x，則BF＝FC＝2x，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠ADB＝∠ABD，從而可得∠ABD＝∠BCE，進(jìn)而可證明△BEF∽△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∵∠ADB＝∠BCE，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝AB＝1，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠FDC，∠BEF＝∠DCE，∴△BEF∽△DCF，∴＝，∴FC＝2EF，∴FB＝2EF，設(shè)EF＝x，則BF＝FC＝2x，∴EC＝EF+CF＝3x，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠BCE，∵∠BEF＝∠BEF，∴△BEF∽△CEB，∴，∴BE2＝EF?EC，∴12＝x?3x，∴或x＝﹣（舍去），∴BF＝2x＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?安徽月考）如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE于點(diǎn)G，若BG＝8，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．16 B．17 C．24 D．25【分析】先計(jì)算出△ABE的周長(zhǎng)，然后根據(jù)相似比的知識(shí)進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周長(zhǎng)等于10+10+12＝32，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比為5：10＝1：2，∴△CEF的周長(zhǎng)為16．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形和勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，難度較大．二．填空題（共8小題）5．（2022?宣州區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG＝4，則△CEF的周長(zhǎng)為8．【分析】本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形、和勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查．在?ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ADF是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周長(zhǎng)等于16，又由?ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比為1：2，所以△CEF的周長(zhǎng)為8．【解答】解：∵在?ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∴∠BAF＝∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF＝∠F，∴∠F＝∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．∴EC＝FC＝9﹣6＝3，∴AB＝BE．∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2，又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周長(zhǎng)等于16，又∵?ABCD，∴△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長(zhǎng)為8．故答案為8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的知識(shí)，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，難度較大．6．（2022秋?安徽期中）如圖，BD是△ABC的中線，點(diǎn)F在BD上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)E．（1）若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則＝2．（2）若BF＝3DF，則＝．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，交AE于點(diǎn)G，根據(jù)三角形的中線定義可得AD＝DC，從而利用平行線分線段成比例的推論可得AG＝GE，進(jìn)而可得DG是△AEC的中位線，然后利用三角形的中位線定理可得DG＝EC，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得BE＝EC，最后再證明8字模型相似三角形△FDG∽△FBE，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得DG＝EC，△FDG∽△FBE，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得BE＝3DG，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC，交AE于點(diǎn)G，∵BD是△ABC的中線，∴AD＝DC，∴AG＝GE，∴DG是△AEC的中位線，∴DG＝EC，∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE＝EC，∴DG＝BE，∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠FEB，∠GDF＝∠DBE，∴△FDG∽△FBE，∴＝＝2，故答案為：2；（2）由（1）得：DG＝EC，△FDG∽△FBE，∴＝＝3，∴BE＝3DG，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?舒城縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E是OA的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，則＝2．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)先求出＝，再證明8字模型相似三角形△AEF∽△CEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出＝＝，即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD＝BC，AO＝CO＝AC，∵E為OA的中點(diǎn)，∴AE＝AO，∴＝，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴＝，∴＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2023?瑤海區(qū)二模）Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，∠CBE＝∠CAF，BC＝2．（1）寫(xiě)出一對(duì)相似三角形△CBE∽△CAF；（2）AC的長(zhǎng)為．【分析】（1）由已知、根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似”可得結(jié)論；（2）設(shè)CE＝x，由△BCE∽△ACF，可得：AC＝，從而可得：tanA＝＝x，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，由角平分線的性質(zhì)得：DE＝CE＝x，證明Rt△BED≌Rt△BEC，得到：BD＝BC＝2，在Rt△ADE中，由邊角關(guān)系得到：AD＝1，從而AB＝AD+BD＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠CBE＝∠CAF，∠C＝∠C，∴△CBE∽△CAF，故答案為：△CBE∽△CAF．（2）∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，BC＝2，∴CF＝BF＝BC＝1，設(shè)CE＝x，∵△BCE∽△ACF，∴，∴AC＝＝，∴tanA＝＝x，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，如圖，則∠ADE＝∠BDE＝90°，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，∴DE＝CE＝x，∴在Rt△BED和Rt△BEC中，，∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL），∴BD＝BC＝2，在Rt△ADE中，AD＝＝＝1，∴AB＝AD+BD＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?無(wú)為市期中）如圖，已知矩形ABCD對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，CE與BD相交于點(diǎn)F，連結(jié)OE．（1）若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則＝；（2）若點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)，則＝2．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，再結(jié)合已知可得EO是△ABC的中位線，從而可得EO＝BC，EO∥BC，然后證明8字模型相似三角形可得△EOF∽△CBF，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)O作OG∥EC，交AB于點(diǎn)G，利用平行線分線段成比例可得AG＝EG＝BE，即可解答．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴EO是△ABC的中位線，∴EO＝BC，EO∥BC，∴∠EOF＝∠OBC，∠OEF＝∠ECB，∴△EOF∽△CBF，∴＝＝，故答案為：；（2）如圖：過(guò)點(diǎn)O作OG∥EC，交AB于點(diǎn)G，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，∵OG∥EC，∴AG＝GE，∵點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，∴OF＝BF，∵EF∥OG，∴BE＝EG，∴AG＝EG＝BE，∴＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2020?大通區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點(diǎn)，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長(zhǎng)線于F．若BG：GA＝3：1，BC＝10，則AE的長(zhǎng)為5．【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例求出BF：AE的值，再根據(jù)D是AC的中點(diǎn)得到CF與AE相等，列出等式求解即可．【解答】解：∵AE∥BC∴△AEG∽△BFG∴BG：GA＝3：1＝BF：AE∵D為AC邊上的中點(diǎn)∴AE：CF＝1：1∴AE＝CF∴BF：AE＝（CF+BC）：AE＝3：1∴（AE+10）：AE＝3：1解得：AE＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用三角形的相似及中點(diǎn)的性質(zhì)求AE的值．11．（2022?廬陽(yáng)區(qū)二模）已知在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，連接AC、BD交于點(diǎn)O．①若AB＝BC，則＝1；②若AB＝AC，則＝．【分析】①首先根據(jù)已知條件可以證明四邊形為正方形，然后利用正方形的性質(zhì)求解；②首先利用已知條件可以得到△ACD為等邊三角形，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解．【解答】解：①當(dāng)AB＝BC時(shí)，如圖一，∵AB＝AD＝CD，且∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD為正方形，∴OB＝OD，∴＝1；②當(dāng)AB＝AC時(shí)，如圖二，過(guò)B作BF⊥AC于F，過(guò)D作DE⊥AC于E，則DE∥BF，∴＝，∵AB＝AD＝CD，AB＝AC，∴△ACD為等邊三角形，且∠BAD＝90°，∴∠CAD＝60°，∠BAC＝30°，DE＝AD，BF＝AC，又AD＝AC，∴＝＝．故答案為：①1；②．【點(diǎn)評(píng)】本題主要分別考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)．綜合性比較強(qiáng)，對(duì)于學(xué)生的要求比較高．12．（2023?廬陽(yáng)區(qū)一模）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點(diǎn)，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點(diǎn)，則＝2；若∠CMF＝60°，則＝2．【分析】（1）連接BD，根據(jù)相似三角形計(jì)算即可；（2）把60°的角放到直角三角形中，所以過(guò)C作CN⊥AM所在直線，利用角平分線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）連接BD，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠MEB＝∠MCD，∠MBE＝∠MDC，∴△MCD∽△MEB，∴，∵E為AB中點(diǎn)，∴；（2）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，如圖2，在Rt△CMN中，∠CMF＝60°，∵sin60°＝，cos60°＝，∴，，即CM＝2MN，∵AE＝CF，BA＝BC，∴BA﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF，∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS），∴∠FAB＝∠ECB，∵∠AME＝∠CMF，AE＝CF，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM＝FM，∵∠AFB＝∠CFN，∠B＝∠N＝90°∴∠FAB＝∠FCN，∴∠MCF＝∠NCF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，∴FG＝FN，∠FMG＝∠MCN，∴cos∠FMG＝cos∠MCN＝，∵，∴，∵＝，MF＝EM，∴＝＝2+2×＝2+2×＝2+．故答案為：2；2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的綜合題，解題的關(guān)鍵是從題中找到作出正確的輔助線CN．三．解答題（共6小題）13．（2022?蕪湖一模）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D點(diǎn)觀察井內(nèi)水岸C點(diǎn)，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E．如果測(cè)得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．請(qǐng)求出井深A(yù)C的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)8字模型相似三角形證明△BDE∽△ACE，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：BD∥AC，∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，∴△BDE∽△ACE，∴，∴，解得：AC＝8，答：井深A(yù)C的長(zhǎng)為8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?包河區(qū)校級(jí)期末）如圖，E為?ABCD的邊CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)O，交AD點(diǎn)F．（1）求證：△AOB∽△COE；（2）求證：BO2＝EO?FO．【分析】（1）由題意可直接得到結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，通過(guò)證明△AOF∽△COB，可得，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE；（2）∵△AOB∽△COE，∴，∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴，∴，即OB2＝OF?OE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖是小孔成像實(shí)驗(yàn)，火焰AC通過(guò)小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行實(shí)像，像長(zhǎng)BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的長(zhǎng)．【分析】把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過(guò)解方程即可求出火焰AC的長(zhǎng)．【解答】解：∵AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴BD：AC＝OB：OA，即3：AC＝10：50，∴AC＝15．答：火焰AC的長(zhǎng)為15cm．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題解答，利用相似三角形的性質(zhì)解答，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．16．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)a＝1時(shí)，①求證：∠ECD＜45°；②求證：；（2）如圖2，若D是BC的中點(diǎn)，求tan∠CEF的值（用含a的代數(shù)式表示）．【分析】（1）①由tan∠ABC＝＝1得，∠ABC＝45°，由外角定理得∠EDC＝45°+∠BAD，從而∠ECD＝90°﹣∠EDC＜45°．②過(guò)點(diǎn)B作BH∥AC，交CE的延長(zhǎng)線于H，證明△ACD≌△CBH，得到BH＝CD，再證明△BEH∽△FEC，得到，即可得結(jié)論．（2）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于M，設(shè)BC＝2m，證明△BCM∽△DAC，表示出BM、CM、EM的長(zhǎng)，tan∠CEF＝tan∠BEM＝求得結(jié)果．【解答】（1）①證明：∵∠ACB＝90°，tan∠ABC＝＝1，∴AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠EDC＝∠ABC+∠BAD＝45°+∠BAD，∴∠EDC＞45°，∵CE⊥AD于點(diǎn)E，∴∠DEC＝90°，∴∠ECD＝90°﹣∠EDC，∴∠EDC＜45°．②證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH∥AC，交CE的延長(zhǎng)線于H，CH與AB交于G，∵∠ACB＝90°，∴∠CBH＝90°，∴∠BCH+∠ACE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠DAC＝∠BCH，又∵tan∠ABC＝＝1，∴BC＝AC，∴△ACD≌△CBH（ASA），∴BH＝CD．∵BH∥AC，∴△BEH∽△FEC，∴，∴．（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于M，則∠BMC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCM+∠ACE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠BCM＝∠DAC，∴△BCM∽△DAC，∴．設(shè)BC＝2m，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD＝CD＝m，∵tan∠ABC＝＝a，∴AC＝2am，∴AD＝＝＝m，∴，∴BM＝，CM＝，∵BM∥AD，D是BC中點(diǎn)，∴ME＝CE＝，∴tan∠CEF＝tan∠BEM＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，合理添加輔助線，把所學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．17．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫(xiě)出線段MN長(zhǎng)度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結(jié)論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質(zhì)將比例式相加，從而得出結(jié)論；（3）作DF∥OB交OC于點(diǎn)F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點(diǎn)，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點(diǎn)，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點(diǎn)F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵M(jìn)N∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴