九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專項(xiàng)突破01二次函數(shù)的最值（5種題型）（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破01二次函數(shù)的最值（5種題型）【題型細(xì)目表】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑題型二：面積最值問題題型三：最大利潤問題題型四：線段最值問題題型五：周長最值問題【考點(diǎn)剖析】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑一、單選題1．（2020秋·安徽阜陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知，，為軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，則線段的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·安徽安慶·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P為此拋物線對稱軸l上任意一點(diǎn)，則△APC的周長的最小值是（）A．2 B．3 C．5 D．+二、填空題3．（2020·安徽安慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長的最小值為_____．4．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（如圖所示），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是其對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PC取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．5．（2021·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(m﹣4，0)和B(m，0)，與直線y＝﹣x+p相交于點(diǎn)A和C(2m﹣4，m﹣6)，拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，連PA，PD，當(dāng)PA+PD的長最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．6．（2023春·安徽黃山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖①，是一建筑物造型的縱截面，曲線OBA是拋物線的一部分，該拋物線開口向右、對稱軸正好是水平線OH，AC，BD是與水平線OH垂直的兩根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．（1）如圖②，為了安全美觀，準(zhǔn)備拆除支柱AC、BD，在水平線OH上另找一點(diǎn)P作為地面上的支撐點(diǎn)，用固定材料連接PA、PB，對拋物線造型進(jìn)行支撐加固，用料最省時(shí)點(diǎn)O，P之間的距離是_____．（2）如圖③，在水平線OH上增添一張2米長的椅子EF（E在F右側(cè)），用固定材料連接AE、BF，對拋物線造型進(jìn)行支撐加固，用料最省時(shí)點(diǎn)O，E之間的距離是_____．7．（2023春·安徽六安·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接，取中點(diǎn)，連接，則線段的最小值為____________．三、解答題8．（2020·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求，的值；(2)已知點(diǎn)為拋物線上異于的一點(diǎn)，且點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等，為軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)和此時(shí)的面積．9．（2021秋·安徽黃山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)．（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面積比；（3）在對稱軸上是否存在一個(gè)P點(diǎn),使△PAC的周長最小．若存在，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．10．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)B，對稱軸是直線.（1）求拋物線的解析式；（2）P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.11．（2021·安徽·統(tǒng)考三模）如圖所示拋物線過點(diǎn)，點(diǎn)，且（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長的最小值；（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).12．（2021秋·安徽六安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)，它與軸的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在直線上求點(diǎn)，使的周長最小，并求出的周長.題型二：面積最值問題一、單選題1．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一張邊長為1的正方形紙折疊，使得點(diǎn)B始終落在邊上，則折起部分面積的最小值為（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在中，邊的長與邊上的高的和為8，當(dāng)面積最大時(shí)，則其周長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在菱形的四邊上，，則矩形的最大面積為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)E為正方形的邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)F，已知正方形邊長為1．（1）若，則DE的長為________；（2）△AEF的面積為S的最大值是________．5．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)?？计谥校┯媚玖现谱鞒梢粋€(gè)如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔，也用木料，其中，要使窗框的面積最大，則的長為___________m．三、解答題6．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，矩形是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路（寬度不計(jì)）經(jīng)過該矩形區(qū)域，其中，都在矩形的邊界上．已知，（單位：百米），小路將矩形分成面積為，（單位：平方百米）的兩部分，其中，且點(diǎn)在面積為的區(qū)域內(nèi)，記小路的長為百米．

(1)如圖1，已知，設(shè)百米．①若，求的大??；②求的最大值；(2)若，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，求的取值范圍．7．（2023春·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，、分別為、的中點(diǎn)，連接．過點(diǎn)作的垂線，與、分別交于、兩點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．(1)的度數(shù)為；(2)與存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由；(3)連接，求的面積的最大值．8．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）如圖（1），一塊鋼板余料截面的兩邊為線段，，另一邊曲線為拋物線的一部分，其中點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，于，以邊所在直線為軸，邊所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，規(guī)定一個(gè)單位代表1米．已知米，米，米．(1)求曲線所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若在該鋼板余料中截取一個(gè)一邊長為3米的矩形，設(shè)該矩形的另一邊長為米，求的取值范圍；(3)如圖（2），若在該鋼板余料中截取一個(gè)，其中點(diǎn)在拋物線上，記的面積為，求的最大值．9．（2022秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，．若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度．過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，的長為y．(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，的面積有最大值，最大值為多少？10．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形窗戶邊框由矩形，矩形，矩形組成，其中．已知制作此窗戶邊框的材料的總長是6米，設(shè)（米）；窗戶邊框的面積為S（米）．(1)用含x的代數(shù)式表示．(2)求當(dāng)S取得最大值時(shí)，的長．11．（2022秋·安徽安慶·九年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和．(1)求反比例函數(shù)的解析式．(2)請直接寫出不等式組的解集是___________；(3)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，若的面積為，求的最小值．12．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥38中?？计谥校┤鐖D，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式：(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型三：最大利潤問題一、解答題1．（2023·安徽六安·?？寄M預(yù)測）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個(gè)銷售旺季的80天里，銷售單價(jià)P（元/千克）與時(shí)間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為：，日銷售量y（千克）與時(shí)間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求日銷售量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式？(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)在實(shí)際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈(zèng)元給村里的特困戶，在這前40天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間t的增大而增大，求m的取值范圍．2．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）“龍池香尖”是懷寧縣一款中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，素有：“揚(yáng)子江心水，蒙山頂上茶”的美譽(yù)．某茶莊以的價(jià)格收購一批龍池香尖，為保護(hù)消費(fèi)者的合法權(quán)益，物價(jià)部門規(guī)定每千克茶葉的利潤不低于元，且不超過進(jìn)價(jià)的，經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn)，日銷量與銷售單價(jià)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：……(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．(2)在銷售過程中，每日還需支付其他費(fèi)用元，當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，該茶莊日利潤最大，并求出最大利潤．3．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）牛草山奶牛養(yǎng)殖場如今達(dá)到了日產(chǎn)鮮奶千克的規(guī)模．根據(jù)以前市場銷售經(jīng)驗(yàn)，如果鮮奶售價(jià)為元/千克，每天可售出鮮奶千克，鮮奶售價(jià)每提高1元，日銷售鮮奶數(shù)量將減少千克，每天沒能銷售的鮮奶全部按元/千克的價(jià)格廉價(jià)賣給奶制品加工廠．養(yǎng)殖場研究決定將鮮奶的售價(jià)提高到x元/千克，而當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門結(jié)合本地收入與消費(fèi)水平規(guī)定鮮奶售價(jià)不超過元/千克，設(shè)養(yǎng)殖場每天鮮奶總銷售收入為y元．(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)鮮奶售價(jià)定為多少時(shí)，養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多？養(yǎng)殖場每天鮮奶銷售總收入最多是多少元？4．（2023春·安徽淮北·九年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某商場試銷一款玩具，進(jìn)價(jià)為20元/件，商場與供貨商約定，試銷期間利潤不高于，且同一周內(nèi)售價(jià)不變．從試銷記錄看到，當(dāng)售價(jià)為22元時(shí)，一周銷售了80件該玩具；當(dāng)售價(jià)為24元時(shí)，一周銷售了60件該玩具．每周銷量（件）與售價(jià)（元）符合一次函數(shù)關(guān)系．(1)求每周銷量（件）與售價(jià)（元）之間的關(guān)系式；(2)若商場一周內(nèi)銷售該玩具獲得的利潤為210元，則該玩具的售價(jià)為多少元(3)商場將該玩具的售價(jià)定為多少時(shí)，一周內(nèi)銷售該玩具獲得利潤最大最大利潤為多少元5．（2023·安徽·模擬預(yù)測）小明同學(xué)利用寒假天時(shí)間販賣草莓，了解到某品種草莓成本為元/千克，在第x天的銷售量與銷售單價(jià)如下（每天內(nèi)單價(jià)和銷售量保持一致）銷售量m（千克）銷售單價(jià)n（元/千克）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)第x天的利潤w元．(1)請計(jì)算第幾天該品種草莓的銷售單價(jià)為元/千克；(2)這天中，該同學(xué)第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【注：利潤（售價(jià)成本）銷售量】(3)在實(shí)際銷售的前天中，草莓生產(chǎn)基地為刺激銷售,鼓勵(lì)銷售商批發(fā)草莓,每多批發(fā)1千克就發(fā)給元獎(jiǎng)勵(lì)，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前8天中，每天獲得獎(jiǎng)勵(lì)后的利潤隨時(shí)間x（天）的增大而增大，試求a的取值范圍．6．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)校考期中）某超市經(jīng)銷一種銷售成本為每件40元的商品，據(jù)市場調(diào)查分析，如果按每件50元銷售，一周能售出500件，若銷售單價(jià)每漲1元，每周銷量就減少10件，設(shè)銷售單價(jià)為x元，一周的銷售量為y件，(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式（標(biāo)明x的取值范圍）；(2)設(shè)一周的銷售利潤為S，寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)單價(jià)是多少時(shí)利潤最大；(3)在超市對該種商品投入不超過12000元的情況下，使得一周銷售利潤不低于8000元，銷售單價(jià)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？7．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┠称髽I(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是元，為了合理定價(jià)，投放市場進(jìn)行試銷．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價(jià)是元時(shí)，每天的銷售量是件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．(1)求出每天的銷售利潤（元）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于元，且每天的總成本不超過元，那么銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本每件的成本每天的銷售量）8．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)合肥市廬陽中學(xué)校考期中）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在實(shí)際銷售中，售價(jià)x為整數(shù)，且該商品的月銷售量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)x（元/件）．月銷售量y（件）．月銷售利潤w（元）的部分對應(yīng)值如表：售價(jià)x（元/件）4045月銷售量y（件）300250月銷售利潤w（元）30003750注：月銷售利潤＝月銷售量×（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）(1)求該商品的成本價(jià)，并求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)若用w（元）表示該商品的月銷售利潤，求w關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)該商品的售價(jià)是多少元時(shí)，月銷售利潤最大？并求出最大利潤．題型四：線段最值問題一、填空題1．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，，均為等邊三角形，，連接．

（1）若，則__________；（2）長度的最小值為__________．二、解答題2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)若，求點(diǎn)到直線的距離的最大值；(3)若、、、四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組以樓梯為場景設(shè)計(jì)的小球彈射實(shí)驗(yàn)示意圖，樓梯平臺(tái)寬為3，前方有六個(gè)臺(tái)階（各拐點(diǎn)均為90°），每個(gè)臺(tái)階的高為2，寬為2，樓梯平臺(tái)到x軸距離，從y軸上的點(diǎn)C處向右上方彈射出一個(gè)小球P（小球視為點(diǎn)），飛行路線為拋物線，當(dāng)點(diǎn)P落到臺(tái)階后立即彈起，其飛行路線是與L形狀相同的拋物線．(1)通過計(jì)算判斷小球P第一次會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；(2)若小球P第二次的落點(diǎn)在臺(tái)階中點(diǎn)M上，求小球P第二次飛行路線的解析式；(3)若小球P再次從點(diǎn)M處彈起后落入x軸上一圓柱形小球接收裝置（小球落在圓柱形邊沿也為接收），接收裝置最大截面為矩形，點(diǎn)E橫坐標(biāo)為16，，，求出小球第三次飛行路線的頂點(diǎn)到x軸距離最小值．4．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．(1)求拋物線的解析式．(2)若M為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)如圖2，若P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值．5．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，D為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)Q，與相交于點(diǎn)M．于E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求線段長度的最大值；(3)連接，是否存在點(diǎn)D，使得中有一個(gè)角與相等？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，是直角三角形，，，，，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．(1)求該拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直角三角形斜邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、除外），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形?若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．7．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)校考期末）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．8．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線對稱軸為直線．連接，點(diǎn)P是拋