2024秋高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.4生活中的優(yōu)化問題舉例學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-1.4生活中的優(yōu)化問題舉例自主預習·探新知情景引入“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學的重大貢獻．”聞名數(shù)學家華羅庚曾如此精辟地論述了數(shù)學與生活的關系．導數(shù)作為數(shù)學工具是如何在生活中應用的呢？已知落在底面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵成正比．現(xiàn)有A，B兩座煙囪相距20km，其中B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，你能找出兩座煙囪連線上的一點C，使該點的煙塵濃度最低嗎？新知導學1．在解決實際優(yōu)化問題中，不僅要留意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系式賜予表示，還應確定函數(shù)關系式中__自變量__的取值范圍．2．實際優(yōu)化問題中，若只有一個極值點，則極值就是__最值__.3．解決優(yōu)化問題的基本思路：預習自測1．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數(shù)關系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為(C)A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件[解析]∵y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．令y′＝0得x＝9，令y′<0得x>9，令y′>0得0<x<9，∴函數(shù)在(0,9)上單調遞增，在(9，＋∞)上單調遞減，∴當x＝9時，函數(shù)取得最大值．故選C．2．設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V，則其表面積最小時，底面邊長為(C)A．eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)[解析]如圖，設底面邊長為x(x>0)，則底面積S＝eq\f(\r(3),4)x2，∴h＝eq\f(V,S)＝eq\f(4V,\r(3)x2).S表＝x·eq\f(4V,\r(3)x2)×3＋eq\f(\r(3),4)x2×2＝eq\f(4\r(3)V,x)＋eq\f(\r(3),2)x2，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′表＝0得x＝eq\r(3,4V)，因為S表只有一個極值，故x＝eq\r(3,4V)為最小值點．3．從邊長為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，做成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為__144__cm3.[解析]設小正方形邊長為x，則盒子的容積為V＝x(10－2x)(16－2x)，即V＝4(x3－13x2＋40x)，(0<x<5)，V′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，令V′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝eq\f(20,3)(不符合題意，舍去)，x＝2是唯一極值點也就是最值點，所以，x＝2時，盒子容積的最大值為144cm3.4．一張1.4m高的圖片掛在墻上，它的底邊高于視察者的眼睛1.8m，要使視察者視察得最清楚，他與墻的距離應為(視角最大時最清楚，視角是指視察圖片上底的視線與視察圖片下底的視線所夾的角)__2.4_m__.[解析]如圖所示，設OD＝x，∠ADO＝β，∠BDO＝γ，α為視角，則α＝γ－β，tanγ＝eq\f(3.2,x)，tanβ＝eq\f(1.8,x)，tanα＝tan(γ－β)＝eq\f(tanγ－tanβ,1＋tanγtanβ)＝eq\f(\f(3.2,x)－\f(1.8,x),1＋\f(3.2×1.8,x2))＝eq\f(1.4x,x2＋5.76)(x>0)，令(tanα)′＝eq\f(1.4x2＋5.76－2x×1.4x,x2＋5.762)＝0，解得x＝2.4或x＝－2.4(舍去)，在x＝2.4旁邊，導數(shù)值由正到負，所以在x＝2.4時，tanα取得最大值，α也取得最大值．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?面積、容積最大問題典例1有一塊邊長為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長應為多少？[思路分析]設截下的小正方形邊長為x，用x表示出長方體的邊長，依據(jù)題意列出關系式，然后利用導數(shù)求最值．[解析]設截下的小正方形邊長為x，容器容積為V(x)，則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a－2x，高為x，V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq\f(a,2).即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq\f(a,2).實際問題歸結為求V(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值點．為此，先求V(x)的極值點．在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．當0<x<x1時，V′(x)>0；當x1<x<eq\f(a,2)時，V′(x)<0.因此x1是極大值點，且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內，x1是唯一的極值點，所以x＝eq\f(1,6)a是V(x)的最大值點．即當截下的小正方形邊長為eq\f(1,6)a時，容積最大．『規(guī)律總結』面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設出恰當?shù)淖兞?，將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最終檢驗．┃┃跟蹤練習1__■請你設計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形態(tài)的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．[解析]設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當x＝15時，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.當x∈(0,20)時，V′>0；當x∈(20,30)時，V′<0.所以當x＝20時，V取得極大值，也是最大值．此時eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(1,2).命題方向?平面幾何中的最值問題典例2(1)如圖所示，半徑為2的⊙M切直線AB于O，射線OC從OA動身圍著O點順時針旋轉到OB，旋轉過程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為S＝f(x)，那么f(x)的圖象是下圖中的(A)(2)在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開_eq\f(3R,2)__時，它的面積最大．[解析](1)由所給的圖示可得，當x≤π時，弓形PnO的面積為S＝f(x)＝S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sinx，其導數(shù)為f′(x)＝2－2cosx，由余弦函數(shù)的性質知，此值越來越大，即f(x)的圖象上升得越來越快，由此可以解除B，C；再由所給圖示的對稱性知，弓形PnO的面積先是增加得越來越快，然后是增加得越來越慢，直到增加率為0，由此可以解除D．故選A．(2)設∠OBC＝θ，則0<θ<eq\f(π,2).OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.令S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0∴cos2θ＝sinθ，∴sinθ＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,6)，即當θ＝eq\f(π,6)時，△ABC的面積最大，此時高為OA＋OD＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3R,2).『規(guī)律總結』1.利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路2．關于平面圖形中的最值問題平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要探討與面積相關的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導數(shù)，求極值，從而求最值．┃┃跟蹤練習2__■已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這個矩形面積最大時的長和寬．[解析]設AD＝2x(0<x<2)，則A(x,0)，AB＝y(tǒng)＝4－x2，所以矩形面積為S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝eq\f(2,\r(3))，x2＝－eq\f(2,\r(3))(舍去)．當0<x<eq\f(2,\r(3))時，S′>0；當eq\f(2,\r(3))<x<2時，S′<0，所以，當x＝eq\f(2,\r(3))時，S取得最大值，此時S最大值＝eq\f(32\r(3),9).即矩形的長和寬分別為eq\f(8,3)，eq\f(4\r(3),3)時，矩形的面積最大．命題方向?實際生活中的最值問題角度1：用料最省費用最少問題典例3為了在夏季降溫柔冬季供暖時削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層．某幢建筑物要建立可運用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗耗費用為8萬元．設f(x)為隔熱層建立費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．[思路分析]代入數(shù)據(jù)求k的值，建立費用加上20年能源消耗綜合得出總費用f(x)，利用導數(shù)求最值．[解析](1)設隔熱層厚度xcm，由題意建筑物每年的能源消耗費用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8得k＝40，故C(x)＝eq\f(40,3x＋5)(0≤x≤10)；又x厘米厚的隔熱層建立費用為6x，所以由題意f(x)＝eq\f(40,3x＋5)×20＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)＝eq\f(54x＋\f(25,3)x－5,3x＋52).令f′(x)＝0，得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)，當x∈(0,5)時，f′(x)<0，當x∈(5,10)時，f′(x)>0，故x＝5時，f(x)取得最小值，且最小值f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.因此當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小，且最小值為70萬元．角度2：利潤最大問題典例4某工廠生產某種產品，已知該產品的月產量x(噸)與每噸產品的價格P(元/噸)之間的關系為P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產x噸的成本為R＝50000＋200x元．問每月生產多少噸該產品才能使利潤達到最大？最大利潤是多少？(利潤＝收入－成本)．[思路分析]依據(jù)題意，月收入＝月產量×單價＝Px，月利潤＝月收入－成本＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函數(shù)關系式建立數(shù)學模型后再利用導數(shù)求最大值．[解析]每月生產x噸時的利潤為f(x)＝(24200－eq\f(1,5)x2)x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)內只有一個點x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值點，且最大值為：f(200)＝－eq\f(1,5)×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)答：每月生產200噸產品時利潤達到最大，最大利潤為315萬元．『規(guī)律總結』解決優(yōu)化問題時應留意的問題(1)列函數(shù)解析式時，留意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值．假如函數(shù)在給定區(qū)間內只有一個極值點，則依據(jù)實際意義推斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點處的函數(shù)值進行比較．┃┃跟蹤練習3__■(2024·?？诟叨z測)某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒，現(xiàn)打算在該廠旁邊建一職工宿舍，并對宿舍進行防輻射處理，建房防輻射材料的費用與宿舍到工廠距離有關．若建立宿舍的全部費用p(萬元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關系為：p＝eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．為了交通便利，工廠與宿舍之間還要修一條簡易便道，已知修路每公里成本為5萬元，工廠一次性補貼職工交通費eq\f(1,2)(x2＋25)萬元．設f(x)為建立宿舍、修路費用與給職工的補貼之和．(1)求f(x)的表達式；(2)宿舍應建在離工廠多遠處，可使總費用f(x)最小，并求最小值．[解析](1)f(x)＝eq\f(1000,x＋5)＋5x＋eq\f(1,2)(x2＋25)整理得f(x)＝eq\f(1,2)(x＋5)2＋eq\f(1000,x＋5)(2≤x≤8)．(2)f′(x)＝(x＋5)－eq\f(1000,x＋52)＝eq\f(x＋53－1000,x＋52)由f′(x)≥0得x≥5；所以f(x)在[2,5]上單調遞減，在[5,8]上單調遞增；故當x＝5時，f(x)取得最小值150.綜上所述，宿舍應建在離工廠5km處，可使總費用f(x)最小，最小值為150萬元．學科核心素養(yǎng)利用基本不等式處理優(yōu)化問題在解決生活中遇到的優(yōu)化問題時，基本不等式在解決此類問題中有廣泛的應用．利用基本不等式求最值時，必需留意運用的前提以及等號成立的條件成立，否則易犯錯誤，留意f′(x0)＝0的x0是否在定義域內，從而進行分類探討．典例5某船由甲地逆水行駛至乙地，甲、乙兩地相距s(km)，水的流速為常量a(km/h)，船在靜水中的最大速度為b(km/h)(b>a)，已知船每小時的燃料費用(以元為單位)與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，問：船在靜水中的航行速度為多少時，其全程的燃料費用最省？[解析]設船在靜水中的航行速度為xkm/h，全程的燃料費用為y元，由題設可得y＝eq\f(s,x－a)·kx2，x∈(a，b]．∴y＝ks·eq\f(x2,x－a)＝ks·eq\f(x－a2＋2ax－a＋a2,x－a)＝ks[(x－a)＋eq\f(a2,x－a)＋2a]．當2a≤b時，y＝ks[(x－a)＋eq\f(a2,x－a)＋2a]≥ks(2eq\r(a2)＋2a)，當且僅當x＝2a時，ymin＝4aks當2a>b時，令t＝x－a，則t∈(0，b－a∴y＝ks(t＋eq\f(a2,t)＋2a)，∴y′＝ks(1－eq\f(a2,t2))＝kseq\f(t－at＋a,t2).令0<t≤b－a，∴－a<t－a≤b－2a∴y′<0，即y＝ks(t＋eq\f(a2,t)＋2a)在(0，b－a]上是遞減的，∴當t＝b－a，即x＝b時，ymin＝ksb2eq\f(1,b－a).綜上可知，當b<2a時，船在靜水中的速度為b當b≥2a時，船在靜水中的速度為2┃┃跟蹤練習4__■已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x2，0<x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)，x>10.))(1)寫出年利潤W(萬元)關于年產量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得年利潤最大．(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本)[解析](1)當0<x≤10時，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－eq\f(x3,30)－10，當x>10時，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－eq\f(1000,3x)－2.7x，∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(x3,30)－10，0<x≤10，,98－\f(1000,3x)－2.7x，x>10.))(2)①當0<x≤10時，由W′＝8.1－eq\f(x2,10)＝0，得x＝9.當x∈(0,9)時，W′>0；當x∈(9,10]時，W′<0，∴當x＝9時，W取得最大值，即Wmax＝8.1×9－eq\f(1,30)×93－10＝38.6.②當x>10時，W＝98－(eq\f(1000,3x)＋2.7x)≤98－2eq\r(\f(1000,3x)×2.7x)＝38，當且僅當eq\f(1000,3x)＝2.7x，即x＝eq\f(100,9)時，W取得最大值38.綜合①②知：當x＝9時，W取得最大值為38.6萬元，故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得年利潤最大．易混易錯警示含參數(shù)的函數(shù)求最值時，留意極值與參數(shù)取值的關系典例6甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．(1)把全程運輸成本