2024秋高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數(shù)乘運算學案含解析新人教A版選修2-1

PAGE14-第三章空間向量與立體幾何向量是一種重要的數(shù)學工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應用，而且在物理學、工程科學等方面也有著廣泛的應用，如鳥巢體育場的鋼結(jié)構(gòu)、北斗衛(wèi)星定位系統(tǒng)示意圖等．本章是在必修2中學習了立體幾何初步以及必修4中學習了平面對量的基礎上，學習空間向量及其運算，把平面對量推廣到空間向量，并利用空間向量的運算解決有關的立體幾何問題．由于空間向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重身份”，使之成為中學數(shù)學學問的一個交匯點．學習目標1．空間向量及其運算(1)了解空間向量的概念、空間向量基本定理及其意義，駕馭空間向量的正交分解及其坐標表示．(2)駕馭空間向量的線性運算及其坐標表示．(3)駕馭空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積推斷向量的共線與垂直．2．空間向量的應用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量．(2)能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關系．(3)能用向量方法證明有關線面位置關系的一些定理(包括三垂線定理)．(4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算問題，了解向量方法在探討立體幾何問題中的應用．本章重點空間向量的基本概念和基本運算；以空間向量為工具推斷或證明立體幾何中的線面位置關系；求空間角和空間的距離．本章難點用空間向量表示點、直線、平面的位置；用空間向量的運算表示空間直線與平面間的平行、垂直關系以及夾角的大小等；用空間向量解決立體幾何問題．3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數(shù)乘運算自主預習·探新知情景引入1987年11月臺灣開放臺胞來大陸探親，起先時要從香港繞道，比如從臺北到上海的路徑是：臺北→香港→上海.2008年7月起先兩岸直航后，從臺北到上海的路徑是：臺北→上海．假如把臺北→香港的位移記為向量a，香港→上海的位移記為向量b，臺北→上海的位移記為向量c，那么a＋b與c有怎樣的關系呢？新知導學1．空間向量(1)定義：在空間，具有__大小__和__方向__的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用__有向線段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起點是A，終點是B，也可記作：__eq\o(AB,\s\up6(→))__，其模記為__|a|__或__|eq\o(AB,\s\up6(→))|__.2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量__隨意____0____0__單位向量隨意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__eq\o(AB,\s\up6(→))的相反向量：__eq\o(BA,\s\up6(→))__相等向量相同__相等__a＝b3．空間向量的加減法和運算律(1)加法：eq\o(OB,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))__＝a＋b.(2)減法：eq\o(CA,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))__＝a－b.(3)加法運算律：①交換律：a＋b＝__b＋a__；②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空間向量的數(shù)乘運算(1)定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍舊是一個__向量__，稱為向量的數(shù)乘運算．(2)向量a與λa的關系：λ的范圍方向關系模的關系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是隨意的λ<0方向__相反__(3)空間向量的數(shù)乘運算律：①安排律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②結(jié)合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共線)向量與共面對量平行(共線)向量共面對量定義位置關系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關系：__相互平行或重合__平行于同一個__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量與__隨意向量__共線充要條件對空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使__a＝λb__向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在__唯一__的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使__p＝xa＋yb__推論對空間隨意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t滿意等式__eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta__，向量a為直線l的__方向向量__或在直線l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))__點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝__xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__或?qū)臻g隨意一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__預習自測1．下列命題中，假命題的是(D)A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一條直線上的單位向量都相等[解析]在同一條直線上的單位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命題中正確的是(C)A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a、b、c共面即它們所在的直線共面C．零向量沒有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb[解析]由零向量定義知選C．而A中b＝0，則a與c不肯定共線；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直線可能異面．3．化簡下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)).結(jié)果為零向量的個數(shù)是(D)A．0個 B．1個C．2個 D．3個[解析]對于(1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；對于(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0；對于(3)，eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝(eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→)))＋(eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝0.4．(內(nèi)蒙古赤峰市寧城縣2024－2024學年高二期末)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M為AC與BD的交點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的是(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]因為利用向量的運算法則：三角形法則、平行四邊形法則表示出eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，選A．5．已知A、B、C三點不共線，O是平面ABC外任一點，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))確定的一點P與A、B、C三點共面，則λ＝__eq\f(2,15)__.[解析]由P與A、B、C三點共面，∴eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(2,15).互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?空間向量的有關概念典例1(1)給出下列命題：①單位向量沒有確定的方向；②空間向量是不能平行移動的；③有向線段可用來表示空間向量，有向線段長度越長，其所表示的向量的模就越大；④假如兩個向量不相同，那么它們的長度也不相等．其中正確的是(C)A．①② B．②③C．①③ D．①③④(2)如圖，在以長、寬、高分別為AB＝4，AD＝2，AA1＝1的長方體ABCD－A1B1C1D1中的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，單位向量共有__8__個，模為eq\r(5)的全部向量為__eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))__.[思路分析](1)依據(jù)空間向量的基本概念逐一進行分析；(2)單位向量的模為1，依據(jù)長方體的左右兩側(cè)的對角線長均為eq\r(5)寫出相應向量．[規(guī)范解答](1)①正確，單位向量的方向是隨意的．②錯誤，空間向量可以平行移動．③正確，向量的?？梢员容^大小，有向線段長度越長，其所表示的向量的模就越大．④錯誤，假如兩個向量不相同，它們的長度可以相等．(2)由于長方體的高為1，所以長方體的4條高所對應的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))共8個單位向量．而其余向量模均不為1，故單位向量共8個．長方體的左、右兩側(cè)面的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→)).『規(guī)律總結(jié)』處理向量概念問題需留意兩點①向量：推斷與向量有關的命題時，要抓住向量的大小與方向，兩者缺一不行．②單位向量：方向雖然不肯定相同，但長度肯定為1.┃┃跟蹤練習1__■如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1(1)試寫出與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量；(2)試寫出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．[解析](1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3個．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))|∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＝9∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝3.命題方向?空間向量的加減運算典例2如圖，已知長方體ABCD—A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).[思路分析](1)分析題意，將eq\o(CB,\s\up6(→))等價轉(zhuǎn)化為eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))轉(zhuǎn)化為－eq\o(AD,\s\up6(→))，平行四邊形法則得出結(jié)論．(2)應用平行四邊形法則先求eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，再應用三角形法則求eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).[規(guī)范解答](1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))、eq\o(AC′,\s\up6(→))如圖所示．『規(guī)律總結(jié)』化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進行化簡，在化簡過程中遇到減法時可敏捷應用相反向量轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進行運算，加減法之間可相互轉(zhuǎn)化．┃┃跟蹤練習2__■(山東濰坊2024－2024學年高二期末)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，設eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(PD,\s\up6(→))＝(B)A．a(chǎn)＋b＋c B．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝a－b＋c.故選B．命題方向?空間向量的數(shù)乘運算典例3已知四邊形ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中點，求下列各式中x、y的值：(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).[思路分析]由題目可以獲得以下主要信息：①四邊形ABCD是正方形，O為中心，PO⊥平面ABCD，Q為CD中點；②用已知向量表示指定向量．解答本題需先畫圖，利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量，再依據(jù)對應向量的系數(shù)相等，求出x、y即可．[規(guī)范解答]如圖，(1)∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).從而有eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.『規(guī)律總結(jié)』1.用已知向量表示未知向量是一項重要的基本功，干脆關系到本章學習的成敗，應仔細體會，并通過訓練駕馭向量線性運算法則和運算律．2．空間向量的數(shù)乘運算定義，運算律與平面對量一樣．┃┃跟蹤練習3__■如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點，試用a、b、c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).[解析](1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.命題方向?共線向量典例4如圖所示，ABCD－ABEF都是平行四邊形，且不共面，M、N分別是AC、BF的中點，推斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？[思路分析]要推斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線，由共線向量定理就是判定是否存在實數(shù)λ，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→)).若存在，則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線，否則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))不共線．[規(guī)范解答]M、N分別是AC、BF的中點，而四邊形ABCD、ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．『規(guī)律總結(jié)』1.推斷向量共線的策略(1)熟記共線向量充要條件：①a∥b，b≠0，則存在唯一實數(shù)λ使a＝λb；②若存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b.(2)推斷向量共線的關鍵是找到實數(shù)λ.2．證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P、A、B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線．(1)存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立．(2)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．┃┃跟蹤練習4__■e1，e2為不共線的非零向量，假如a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2，試推斷a，b是否共線．[解析]∵a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2，∴a＝4(e1－eq\f(1,10)e2)＝4b，∴a，b為共線向量．命題方向?共面問題典例5正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別為A1D1、D1C1、AA1、CC1的中點，用向量方法證明M、N、P、Q[思路分析]要證M、N、P、Q四點共面，只需證明eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MQ,\s\up6(→))共面，即尋求實數(shù)λ、μ、k，使得λeq\o(MP,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))＋keq\o(MQ,\s\up6(→))＝0.為此，令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，將eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MQ,\s\up6(→))都用a、b、c線性表示，再尋求它們系數(shù)之間關系或者令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))，建立λ、μ的方程組解之．[規(guī)范解答]令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∵M、N、P、Q均為棱的中點，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1Q,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))＋μeq\o(MP,\s\up6(→))，則－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(μ－λ)a＋eq\f(1,2)λb＋eq\f(1,2)μc，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)μ－λ＝－\f(1,2),\f(1,2)λ＝1,\f(1,2)μ＝\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2,μ＝1)).∴eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，因此向量eq\o(MQ,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MP,\s\up6(→))共面，∴四點M、N、P、Q共面．『規(guī)律總結(jié)』1.證明點P在平面ABC內(nèi)，可以用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，也可以用eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，若用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則必需滿意x＋y＋z＝1.2．判定三個向量共面一般用p＝xa＋yb，證明點線共面常用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，證明四點共面常用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟蹤練習5__■如圖，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，用向量法證明E、F、G、H四點共面．[思路分析]要證E、F、G、H四點共面，依據(jù)共面對量定理，只需探求存在實數(shù)x，y，使eq\o(EG,\s\up6(→))＝xeq\o(EF,\s\up6(→))＋yeq\o(EH,\s\up6(→))成立．[解析]如圖，連接BG、EG，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由共面對量定理的推論知E、F、G、H四點共面．學科核心素養(yǎng)空間向量的線性運算在立體幾何中的應用(1)立體幾何中的線線平行可轉(zhuǎn)化為兩向量的平行，即證明兩向量具有數(shù)乘關系即可．證明線面平行、面面平行均可轉(zhuǎn)化為證明線線平行，然后依據(jù)空間向量的共線定理進行證明．特殊地，線面平行可轉(zhuǎn)化為該直線的方向向量能用平面內(nèi)的兩個不共線向量表示．(2)在學習空間向量后，求解立體幾何問題又增加了新的思路和方法．利用向量證明平行的關鍵是構(gòu)造向量之間的線性關系．(3)解題時，應結(jié)合已知和所求，視察圖形，聯(lián)想相關的運算法則和公式，就近表示所需向量，再比照條件，將不符合要求的向量用新形式表示，如此反復，直到全部向量都符合目標要求為止．典例6如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求證：MN∥平面CDE.[思路分析]依據(jù)共面對量定理，證明向量eq\o(MN,\s\up6(→))平面CDE內(nèi)兩個不共線的向量共面即說明MN∥平面CDE.[規(guī)范解答]∵點M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).由于eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))不共線，依據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．因為MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN∥平面CDE.『規(guī)律總結(jié)』解答本題要留意向量共面與直線平行于平面的聯(lián)系與區(qū)分，假如沒有充分理解定義、定理的實質(zhì)，本題簡單漏掉MN不在平面CDE內(nèi)而致錯．┃┃跟蹤練習6__■已知AB，CD是異面直線，CD?α，AB∥α，M，N分別是AC，BD的中點．求證MN∥α.[思路分析]運用共面對量定理先證出eq\o(MN,\s\up6(→))與平面α內(nèi)兩個不共線的向量共面，進而說明MN∥α.[證明]因為CD?α，AB∥α，且AB，CD是異面直線，所以在平面α內(nèi)存在向量a，b，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，且兩個向量不共線．由M，N分別是AC，BD的中點，得eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6