2024秋高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)案含解析新人教A版選修2-1

PAGE14-第三章空間向量與立體幾何向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它不僅在解決幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，而且在物理學(xué)、工程科學(xué)等方面也有著廣泛的應(yīng)用，如鳥(niǎo)巢體育場(chǎng)的鋼結(jié)構(gòu)、北斗衛(wèi)星定位系統(tǒng)示意圖等．本章是在必修2中學(xué)習(xí)了立體幾何初步以及必修4中學(xué)習(xí)了平面對(duì)量的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算，把平面對(duì)量推廣到空間向量，并利用空間向量的運(yùn)算解決有關(guān)的立體幾何問(wèn)題．由于空間向量具有代數(shù)形式與幾何形式的“雙重身份”，使之成為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的一個(gè)交匯點(diǎn)．學(xué)習(xí)目標(biāo)1．空間向量及其運(yùn)算(1)了解空間向量的概念、空間向量基本定理及其意義，駕馭空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．(2)駕馭空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．(3)駕馭空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積推斷向量的共線(xiàn)與垂直．2．空間向量的應(yīng)用(1)理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量．(2)能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直、平行關(guān)系．(3)能用向量方法證明有關(guān)線(xiàn)面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線(xiàn)定理)．(4)能用向量方法解決直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的夾角計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在探討立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用．本章重點(diǎn)空間向量的基本概念和基本運(yùn)算；以空間向量為工具推斷或證明立體幾何中的線(xiàn)面位置關(guān)系；求空間角和空間的距離．本章難點(diǎn)用空間向量表示點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置；用空間向量的運(yùn)算表示空間直線(xiàn)與平面間的平行、垂直關(guān)系以及夾角的大小等；用空間向量解決立體幾何問(wèn)題．3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入1987年11月臺(tái)灣開(kāi)放臺(tái)胞來(lái)大陸探親，起先時(shí)要從香港繞道，比如從臺(tái)北到上海的路徑是：臺(tái)北→香港→上海.2008年7月起先兩岸直航后，從臺(tái)北到上海的路徑是：臺(tái)北→上海．假如把臺(tái)北→香港的位移記為向量a，香港→上海的位移記為向量b，臺(tái)北→上海的位移記為向量c，那么a＋b與c有怎樣的關(guān)系呢？新知導(dǎo)學(xué)1．空間向量(1)定義：在空間，具有__大小__和__方向__的量叫做空間向量．(2)長(zhǎng)度或模：向量的__大小__.(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用__有向線(xiàn)段__表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：__eq\o(AB,\s\up6(→))__，其模記為_(kāi)_|a|__或__|eq\o(AB,\s\up6(→))|__.2．幾類(lèi)常見(jiàn)的空間向量名稱(chēng)方向模記法零向量__隨意____0____0__單位向量隨意__1__相反向量__相反__相等a的相反向量：__－a__eq\o(AB,\s\up6(→))的相反向量：__eq\o(BA,\s\up6(→))__相等向量相同__相等__a＝b3．空間向量的加減法和運(yùn)算律(1)加法：eq\o(OB,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))__＝a＋b.(2)減法：eq\o(CA,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))__＝a－b.(3)加法運(yùn)算律：①交換律：a＋b＝__b＋a__；②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__.4．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算(1)定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍舊是一個(gè)__向量__，稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．(2)向量a與λa的關(guān)系：λ的范圍方向關(guān)系模的關(guān)系λ>0方向__相同__λa的模是a的模的__|λ|__倍λ＝0λa＝__0__其方向是隨意的λ<0方向__相反__(3)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律：①安排律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__；②結(jié)合律：λ(μa)＝__(λμ)a__5．平行(共線(xiàn))向量與共面對(duì)量平行(共線(xiàn))向量共面對(duì)量定義位置關(guān)系表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)的位置關(guān)系：__相互平行或重合__平行于同一個(gè)__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量與__隨意向量__共線(xiàn)充要條件對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使__a＝λb__向量p與不共線(xiàn)向量a，b共面的充要條件是存在__唯一__的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)使__p＝xa＋yb__推論對(duì)空間隨意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿(mǎn)意等式__eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta__，向量a為直線(xiàn)l的__方向向量__或在直線(xiàn)l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))__點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝__xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__或?qū)臻g隨意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__預(yù)習(xí)自測(cè)1．下列命題中，假命題的是(D)A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于0D．在同一條直線(xiàn)上的單位向量都相等[解析]在同一條直線(xiàn)上的單位向量方向可能相同，也可能相反．2．下列命題中正確的是(C)A．若a與b共線(xiàn)，b與c共線(xiàn)，則a與c共線(xiàn)B．向量a、b、c共面即它們所在的直線(xiàn)共面C．零向量沒(méi)有確定的方向D．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb[解析]由零向量定義知選C．而A中b＝0，則a與c不肯定共線(xiàn)；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直線(xiàn)可能異面．3．化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)).結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)是(D)A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)[解析]對(duì)于(1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；對(duì)于(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0；對(duì)于(3)，eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝(eq\o(NQ,\s\up6(→))＋eq\o(QP,\s\up6(→)))＋(eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→)))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝0.4．(內(nèi)蒙古赤峰市寧城縣2024－2024學(xué)年高二期末)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M為AC與BD的交點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c則下列向量中與eq\o(B1M,\s\up6(→))相等的是(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]因?yàn)槔孟蛄康倪\(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則表示出eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝c＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，選A．5．已知A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O是平面ABC外任一點(diǎn)，若由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))確定的一點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)共面，則λ＝__eq\f(2,15)__.[解析]由P與A、B、C三點(diǎn)共面，∴eq\f(1,5)＋eq\f(2,3)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(2,15).互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?空間向量的有關(guān)概念典例1(1)給出下列命題：①單位向量沒(méi)有確定的方向；②空間向量是不能平行移動(dòng)的；③有向線(xiàn)段可用來(lái)表示空間向量，有向線(xiàn)段長(zhǎng)度越長(zhǎng)，其所表示的向量的模就越大；④假如兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度也不相等．其中正確的是(C)A．①② B．②③C．①③ D．①③④(2)如圖，在以長(zhǎng)、寬、高分別為AB＝4，AD＝2，AA1＝1的長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，單位向量共有__8__個(gè)，模為eq\r(5)的全部向量為_(kāi)_eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))__.[思路分析](1)依據(jù)空間向量的基本概念逐一進(jìn)行分析；(2)單位向量的模為1，依據(jù)長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)均為eq\r(5)寫(xiě)出相應(yīng)向量．[規(guī)范解答](1)①正確，單位向量的方向是隨意的．②錯(cuò)誤，空間向量可以平行移動(dòng)．③正確，向量的?？梢员容^大小，有向線(xiàn)段長(zhǎng)度越長(zhǎng)，其所表示的向量的模就越大．④錯(cuò)誤，假如兩個(gè)向量不相同，它們的長(zhǎng)度可以相等．(2)由于長(zhǎng)方體的高為1，所以長(zhǎng)方體的4條高所對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))共8個(gè)單位向量．而其余向量模均不為1，故單位向量共8個(gè)．長(zhǎng)方體的左、右兩側(cè)面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→)).『規(guī)律總結(jié)』處理向量概念問(wèn)題需留意兩點(diǎn)①向量：推斷與向量有關(guān)的命題時(shí)，要抓住向量的大小與方向，兩者缺一不行．②單位向量：方向雖然不肯定相同，但長(zhǎng)度肯定為1.┃┃跟蹤練習(xí)1__■如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1(1)試寫(xiě)出與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量；(2)試寫(xiě)出eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量；(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的模．[解析](1)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))共3個(gè)．(2)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))|∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))2＝9∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝3.命題方向?空間向量的加減運(yùn)算典例2如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).[思路分析](1)分析題意，將eq\o(CB,\s\up6(→))等價(jià)轉(zhuǎn)化為eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))轉(zhuǎn)化為－eq\o(AD,\s\up6(→))，平行四邊形法則得出結(jié)論．(2)應(yīng)用平行四邊形法則先求eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，再應(yīng)用三角形法則求eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).[規(guī)范解答](1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))、eq\o(AC′,\s\up6(→))如圖所示．『規(guī)律總結(jié)』化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)過(guò)程中遇到減法時(shí)可敏捷應(yīng)用相反向量轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加減法之間可相互轉(zhuǎn)化．┃┃跟蹤練習(xí)2__■(山東濰坊2024－2024學(xué)年高二期末)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，設(shè)eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(PD,\s\up6(→))＝(B)A．a(chǎn)＋b＋c B．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－c D．－a＋b＋c[解析]如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，eq\o(PA,\s\up6(→))＝a，eq\o(PB,\s\up6(→))＝b，eq\o(PC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝a－b＋c.故選B．命題方向?空間向量的數(shù)乘運(yùn)算典例3已知四邊形ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x、y的值：(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).[思路分析]由題目可以獲得以下主要信息：①四邊形ABCD是正方形，O為中心，PO⊥平面ABCD，Q為CD中點(diǎn)；②用已知向量表示指定向量．解答本題需先畫(huà)圖，利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量，再依據(jù)對(duì)應(yīng)向量的系數(shù)相等，求出x、y即可．[規(guī)范解答]如圖，(1)∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).從而有eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.『規(guī)律總結(jié)』1.用已知向量表示未知向量是一項(xiàng)重要的基本功，干脆關(guān)系到本章學(xué)習(xí)的成敗，應(yīng)仔細(xì)體會(huì)，并通過(guò)訓(xùn)練駕馭向量線(xiàn)性運(yùn)算法則和運(yùn)算律．2．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義，運(yùn)算律與平面對(duì)量一樣．┃┃跟蹤練習(xí)3__■如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點(diǎn)，試用a、b、c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).[解析](1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.命題方向?共線(xiàn)向量典例4如圖所示，ABCD－ABEF都是平行四邊形，且不共面，M、N分別是AC、BF的中點(diǎn)，推斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線(xiàn)？[思路分析]要推斷eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線(xiàn)，由共線(xiàn)向量定理就是判定是否存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(CE,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→)).若存在，則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線(xiàn)，否則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))不共線(xiàn)．[規(guī)范解答]M、N分別是AC、BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD、ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))．∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線(xiàn)．『規(guī)律總結(jié)』1.推斷向量共線(xiàn)的策略(1)熟記共線(xiàn)向量充要條件：①a∥b，b≠0，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a＝λb；②若存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b.(2)推斷向量共線(xiàn)的關(guān)鍵是找到實(shí)數(shù)λ.2．證明空間三點(diǎn)共線(xiàn)的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P、A、B可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線(xiàn)．(1)存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))成立．(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)．(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．┃┃跟蹤練習(xí)4__■e1，e2為不共線(xiàn)的非零向量，假如a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2，試推斷a，b是否共線(xiàn)．[解析]∵a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2，∴a＝4(e1－eq\f(1,10)e2)＝4b，∴a，b為共線(xiàn)向量．命題方向?共面問(wèn)題典例5正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別為A1D1、D1C1、AA1、CC1的中點(diǎn)，用向量方法證明M、N、P、Q[思路分析]要證M、N、P、Q四點(diǎn)共面，只需證明eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MQ,\s\up6(→))共面，即尋求實(shí)數(shù)λ、μ、k，使得λeq\o(MP,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))＋keq\o(MQ,\s\up6(→))＝0.為此，令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，將eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MQ,\s\up6(→))都用a、b、c線(xiàn)性表示，再尋求它們系數(shù)之間關(guān)系或者令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MP,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))，建立λ、μ的方程組解之．[規(guī)范解答]令eq\o(D1A1,\s\up6(→))＝a，eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝b，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∵M(jìn)、N、P、Q均為棱的中點(diǎn)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＋eq\o(C1Q,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.令eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))＋μeq\o(MP,\s\up6(→))，則－eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)(μ－λ)a＋eq\f(1,2)λb＋eq\f(1,2)μc，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)μ－λ＝－\f(1,2),\f(1,2)λ＝1,\f(1,2)μ＝\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2,μ＝1)).∴eq\o(MQ,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))，因此向量eq\o(MQ,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(MP,\s\up6(→))共面，∴四點(diǎn)M、N、P、Q共面．『規(guī)律總結(jié)』1.證明點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，可以用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，也可以用eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，若用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則必需滿(mǎn)意x＋y＋z＝1.2．判定三個(gè)向量共面一般用p＝xa＋yb，證明點(diǎn)線(xiàn)共面常用eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，證明四點(diǎn)共面常用eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)．┃┃跟蹤練習(xí)5__■如圖，已知E、F、G、H分別為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面．[思路分析]要證E、F、G、H四點(diǎn)共面，依據(jù)共面對(duì)量定理，只需探求存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(EG,\s\up6(→))＝xeq\o(EF,\s\up6(→))＋yeq\o(EH,\s\up6(→))成立．[解析]如圖，連接BG、EG，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，所以eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)).由共面對(duì)量定理的推論知E、F、G、H四點(diǎn)共面．學(xué)科核心素養(yǎng)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算在立體幾何中的應(yīng)用(1)立體幾何中的線(xiàn)線(xiàn)平行可轉(zhuǎn)化為兩向量的平行，即證明兩向量具有數(shù)乘關(guān)系即可．證明線(xiàn)面平行、面面平行均可轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行，然后依據(jù)空間向量的共線(xiàn)定理進(jìn)行證明．特殊地，線(xiàn)面平行可轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)的方向向量能用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量表示．(2)在學(xué)習(xí)空間向量后，求解立體幾何問(wèn)題又增加了新的思路和方法．利用向量證明平行的關(guān)鍵是構(gòu)造向量之間的線(xiàn)性關(guān)系．(3)解題時(shí)，應(yīng)結(jié)合已知和所求，視察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式，就近表示所需向量，再比照條件，將不符合要求的向量用新形式表示，如此反復(fù)，直到全部向量都符合目標(biāo)要求為止．典例6如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線(xiàn)BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求證：MN∥平面CDE.[思路分析]依據(jù)共面對(duì)量定理，證明向量eq\o(MN,\s\up6(→))平面CDE內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量共面即說(shuō)明MN∥平面CDE.[規(guī)范解答]∵點(diǎn)M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).由于eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))不共線(xiàn)，依據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)，所以MN∥平面CDE.『規(guī)律總結(jié)』解答本題要留意向量共面與直線(xiàn)平行于平面的聯(lián)系與區(qū)分，假如沒(méi)有充分理解定義、定理的實(shí)質(zhì)，本題簡(jiǎn)單漏掉MN不在平面CDE內(nèi)而致錯(cuò)．┃┃跟蹤練習(xí)6__■已知AB，CD是異面直線(xiàn)，CD?α，AB∥α，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證MN∥α.[思路分析]運(yùn)用共面對(duì)量定理先證出eq\o(MN,\s\up6(→))與平面α內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量共面，進(jìn)而說(shuō)明MN∥α.[證明]因?yàn)镃D?α，AB∥α，且AB，CD是異面直線(xiàn)，所以在平面α內(nèi)存在向量a，b，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，且兩個(gè)向量不共線(xiàn)．由M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)，得eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6