第13講“設(shè)而不求”（教師版）

第13講“設(shè)而不求”（教師版）一、第13講“設(shè)而不求”（例題部分）1.一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部裝有若干個(gè)粗細(xì)相同的進(jìn)水管.打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)注滿水池.打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池.現(xiàn)在要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管?【答案】解：設(shè)每個(gè)進(jìn)水管1小時(shí)的注水量為a，排水管1小時(shí)的排水量為b,設(shè)2小時(shí)注滿水池需要打開(kāi)x個(gè)進(jìn)水管，則由題意，得這方程組只有兩個(gè)方程，卻有三個(gè)未知數(shù).在一般情況下是不能確定這三個(gè)未知數(shù)的值的.但由方程組的特點(diǎn)，我們可以求出x的值，而不用具體求出輔助未知數(shù)a、b的值.由①得4a-6=6b-3b，即a=b.

③將③代入②，得2(ax-a)一15(2a-a)，2ax=17a.所以x=8.5.水管當(dāng)然不能有半個(gè)，所以至少要打開(kāi)9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿.答：至少需打開(kāi)9個(gè)進(jìn)水管.【解析】【分析】本題若只設(shè)一個(gè)未知數(shù)x，等量關(guān)系就不太明顯,因此，我們又設(shè)了輔助未知數(shù)a與b，從而列出了含有三個(gè)未知數(shù)、兩個(gè)方程的方程組.再根據(jù)這個(gè)方程組本身的特點(diǎn)，在不求a與b的情況下，求得x的值.2.小強(qiáng)上山時(shí)的速度為3千米／時(shí).到達(dá)山頂后，沿原路下山，下山時(shí)的速度為5千米／時(shí).求小強(qiáng)在整個(gè)過(guò)程中的平均速度.【答案】解：設(shè)小強(qiáng)上山時(shí)的路程為s千米，則上山所用的時(shí)間為小時(shí).下山的路程也是s千米，下山所用時(shí)間時(shí).因此，在整個(gè)過(guò)程中，總的路程為2s，總的時(shí)間為了+，根據(jù)平均速度的計(jì)算公式；得=答：小強(qiáng)在整個(gè)過(guò)程中的平均速度為千米／時(shí).【解析】【分析】不可粗心地認(rèn)為平均速度為=4(千米／時(shí)).這種錯(cuò)誤是由于對(duì)平均速度的概念不太清楚.我們知道，平均速度=總路程÷總時(shí)問(wèn)，而題設(shè)中并未給出這個(gè)總路程：因此我們引入了輔助未知數(shù)s.在列出算式后，我們發(fā)現(xiàn)s并不用求，它在計(jì)算過(guò)程中自然消去了.3.小明和小亮同時(shí)出發(fā)，從甲地往乙地.小明走完全程的一半時(shí)，小亮才走了l6千米.小亮走完全程的一半時(shí)，小明已走了25千米.小明走完全程時(shí)，小亮未走完的路程還有多少千米?【答案】解：設(shè)半程長(zhǎng)為s千米，小明的速度為每小時(shí)x千米，小亮的速度為每小時(shí)y千米.由于在相同時(shí)問(wèn)里走過(guò)的距離與速度成正比，所以由①、②得即由s≥0，得s=20.2×(20-16)=8.答:小亮未走完的路程還有8千米.【解析】【分析】設(shè)半程長(zhǎng)為s千米，小明的速度為每小時(shí)x千米，小亮的速度為每小時(shí)y千米.由于在相同時(shí)問(wèn)里走過(guò)的距離與速度成正比，根據(jù)題意列出方程，從而得出半程s值，再由題意求得答案.4.A、B、C、D、E五個(gè)人做一項(xiàng)工作．若A、B、C、D四人一起做，8天可完工．若B、C、D、E四人一起做，6天可完工.若A、E兩人一起做，12天可完工．若A一個(gè)人單獨(dú)做，多少天才能完工?【答案】解：設(shè)總工作量為1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分別為a、b、c、d、e．根據(jù)題意得①-②得a-e=-

④③十④得2a=a=所以，A一人單獨(dú)做，需=48（天）才能完工.答：A一人單獨(dú)做，需48天才能完工．【解析】【分析】設(shè)總工作量為1，A、B、C、D、E每人每天完成的工作量分別為a、b、c、d、e．根據(jù)工作效率=工作總量÷工作時(shí)間，結(jié)合題意列出方程，解之可求得A的工作效率，再由工作時(shí)間=工作總量÷工作效率求得答案.5.如圖，在一個(gè)梯形內(nèi)有兩塊面積分別為10和12的三角形．已知梯形的上底長(zhǎng)是下底長(zhǎng)的，求圖中陰影部分的面積．【答案】解：設(shè)這個(gè)梯形的上底長(zhǎng)為2a，下底長(zhǎng)為3a．梯形的高是面積為10、12的兩個(gè)三角形的高的和，即為梯形的面積為：所以，陰影部分面積為45-10-12=23.【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)這個(gè)梯形的上底長(zhǎng)為2a，下底長(zhǎng)為3a；再由題中給出的兩個(gè)三角形的面積以及三角形面積公式可求得梯形的高為，根據(jù)梯形面積=（上底+下底）×高，由此求得梯形面積，陰影部分面積=梯形面積-兩個(gè)三角形面積即可求得.6.一個(gè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)，恰好等于數(shù)字和的67倍.交換個(gè)位與百位數(shù)字后得到一個(gè)新的三位數(shù)．新的數(shù)是數(shù)字和的m倍，求m的值．【答案】解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y．由題意，得①

+②得由x+y>0，得67+m=101，m=34．答:m的值為34．【解析】【分析】設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，根據(jù)題意列出方程，再兩個(gè)方程相加，由x+y>0得67+m=101，解之即可得m值.7.設(shè)a1，a2，…，a1999,a2000都是正數(shù)，M=(a1+a2+…+a1999)(a2+a3+…+a2000)，N=(a1+a2+…+a2000)(a2+a3+…+a1999)．試比較M與N的大?。敬鸢浮拷猓涸O(shè)x=a2+a3+…+a1999，則M=(a1+x)(x+a2000)=x2+(a1+a2000)x+a1a2000，N=(a1+x+a2000)x=x2+(a1+a2000)x．所以，M-N=a1a2000．由于以a1>0，a2000>0，

故a1a2000>0，

即M-N>0，

亦即M>N．答:M>N．【解析】【分析】分析本題粗看之下，與“設(shè)而不求”好像沒(méi)有什么關(guān)系．但仔細(xì)觀察本題的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)不管M和N的哪一個(gè)因式，都有a2+a3+…+a1999．若用乘法展開(kāi)