第7章《平面圖形的認識（二）》（解析）

2022-2023學年蘇科版數(shù)學七年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第7章《平面圖形的認識（二）》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?偃師市校級一模）小明將含30°的三角板和一把直尺如圖放置，測得∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°解：如圖：∵∠1＝25°，∠3＝∠1+30°，∴∠3＝55°，∵直尺的對邊平行，∴∠4＝∠3＝55°，∴∠2＝180°﹣90°﹣∠4＝180°﹣90°﹣55°＝35°，故選：C．2．（2分）（2022秋?嶗山區(qū)期末）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結(jié)論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確；故選：C．3．（2分）（2022春?東坡區(qū)期末）如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，點M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長線于點N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，則∠N的度數(shù)為（）A．22° B．27° C．30° D．37°解：如圖所示，∠NAC是三角形ABC的一個外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA與∠COM互為對頂角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故選：B．4．（2分）（2022春?賓陽縣期末）如圖，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，給出下列結(jié)論：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正確；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根據(jù)已知條件不能推出∠F也等于∠DMF，故③錯誤；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④錯誤；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正確；即正確的個數(shù)是2，故選：B．5．（2分）（2022?黔東南州一模）如圖，AB∥CD，若∠E＝55°，則∠B+∠D等于（）A．125° B．180° C．250° D．305°解：過點E作EF∥AB，如圖：∵EF∥AB，AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠FED＝180°，∴∠B+∠BEF+∠D+∠FED＝360°，即∠B+∠BED+∠D＝360°．而∠BED＝55°，∴∠B+∠D＝360°﹣55°＝305°．故選：D．6．（2分）（2022春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別交直線AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射線MD上一動點（不與M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于點H，設(shè)∠MEH＝α，∠EGF＝β，現(xiàn)有下列四個式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正確的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④解：當點G在點F右側(cè)時，如圖示：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），∴2α+β＝180°，故④是正確的；當點G在M和F之間時，如圖：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，∴2α＝β，故①是正確的．故選：B．7．（2分）（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，△ABC的兩條中線AD、BE交于點F，若四邊形CDFE的面積為17，則△ABC的面積是（）A．54 B．51 C．42 D．41解：如圖所示，連接CF，∵△ABC的兩條中線AD、BE交于點F，∴S△BCE＝S△ABD，∴S四邊形CDFE＝S△ABF＝17，∵BE是△ABC的中線，F(xiàn)E是△ACF的中線，∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，∴S△BCF＝S△BAF＝17，同理可得，S△ACF＝S△BAF＝17，∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝17，∴S△ABC＝3S△BAF＝3×17＝51，故選：B．8．（2分）（2022春?越秀區(qū)校級期末）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC，則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度為定值且定值為16°，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC，故①正確；∴∠AGK＝∠CKG，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠AGK＝∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，∵∠FGA＝∠DGH，∴90°﹣2∠FGA＝16°，∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正確；設(shè)∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，∴∠AGK＝∠1+∠2，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM＝∠CGM，∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2，∴∠2＝18.5°，∴∠MGK＝18.5°，故④錯誤，故選：B．9．（2分）（2022秋?廣州期中）如圖，△ABC的三邊長均為整數(shù)，且周長為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長比△ACM的周長大2，則BC長的可能值有（）個．A．4 B．5 C．6 D．7解：∵△ABC的周長為22，△ABM的周長比△ACM的周長大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三邊長均為整數(shù)，△ABM的周長比△ACM的周長大2，∴AC＝為整數(shù)，∴BC邊長為偶數(shù)，∴BC＝4，6，8，10，即BC的長可能值有4個，故選：A．10．（2分）（2019秋?猇亭區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P，且∠D+∠C＝210°，則∠P＝（）A．10° B．15° C．30° D．40°解：如圖，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分線與∠ABC的外角平分線相交于點P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?禮泉縣期末）如圖，AB∥CD，BF、DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補，則∠F的度數(shù)為36°．解：延長FB交CD于點G，如圖：∵BF，DF分別平分∠ABE和∠CDE，∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠3，∵BF∥DE，∠F與∠ABE互補，∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，設(shè)∠F＝x°，則∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，∴x+4x＝180，解得，x＝36，即∠F的度數(shù)為36°．故答案為：36．12．（2分）（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3，若按此變化規(guī)律將△OAB進行n次變換，得到△OAnBn，則＝2n+1．解：由題意得：△OAB的面積＝OB?2＝×2×2＝2，△OA1B1的面積＝OB1?2＝×4×2＝4＝22，△OA2B2的面積＝OB2?2＝×8×2＝8＝23，…∴△OAnBn的面積＝2n+1，故答案為：2n+1．13．（2分）（2022秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，則∠AQC＝95°．解：過點P作PE∥AB，過點Q作QF∥AB，如圖：∵AB∥CD，QF∥AB，∴AB∥QF∥CD，∴∠BAQ＝∠AQF，∠QCD＝∠CQF，∴∠BAQ+∠QCD＝∠AQF+∠CQF，即∠BAQ+∠QCD＝∠AQC，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠APE+∠CPE+∠PAB+∠PCD＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，∵∠APC＝75°，∴∠PAB+∠PCD＝285°，∵∠PAQ＝2∠BAQ，∴∠PAB＝3∠BAQ，∵∠PCD＝3∠QCD，∴3∠BAQ+3∠QCD＝285°，∴∠BAQ+∠QCD＝95°，∴∠AQC＝95°．故答案為：95°．14．（2分）（2022春?孝南區(qū)期末）如圖1，∠DEF＝24°，將長方形紙片ABCD沿直線EF折疊成圖2，再沿直線GF折疊成圖3，則圖3中∠CFE＝108°．解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝24°．由翻折的性質(zhì)可知：圖2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝156°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝132°，圖3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝108°．故答案為：108°．15．（2分）（2022春?鐵西區(qū)期末）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，點D在邊AB上，請在邊BC上找一點E，將紙片沿直線DE折疊，點B落在點F處，若EF與三角形紙片ABC的邊AC平行，則∠BED的度數(shù)為25°或115°．解：①當點F在AB的上方時，如圖：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠BEF＝∠C＝50°，∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝×50°＝25°；②當點F在BC的下方時，如圖：∵AC∥EF，∠C＝50°，∴∠CEF＝∠C＝50°，∵∠F＝∠B＝30°，∴∠BGD＝50°+30°＝80°，∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∴∠BDE＝∠BDG＝×70°＝35°；∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝180°﹣30°﹣35°＝115°綜上所述，∠BDE的度數(shù)為25°或115°．故答案為：25°或115°．16．（2分）（2022春?武漢期末）如圖，AB∥CD，∠ABG的平分線BE和∠GCD的平分線CF的反向延長線交于點E，且3∠E﹣5∠G＝172°，則∠G＝28度．解：如圖，分別過E、G作AB的平行線EM和GN，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥CD∥GN，∵BE是∠ABG的平分線，CF是∠GCD的平分線，∴∠BEM＝∠ABE＝∠ABG，∠MEF＝∠DCF＝∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°，∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF＝（∠ABG+∠GCD），∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°，∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°，∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°，∴3∠BEC＝5∠BGC+172°，∴∠BGC＝（5∠BGC+172°）﹣180°，∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°，∴∠BGC＝28°．故答案為：28．17．（2分）（2022春?新都區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，點E在BC上，點D在AC上，AE⊥BD，若AE＝BD，CE：BE＝4：5，S△AEB＝65，則S△DCE＝20．解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如圖所示：則∠BMD＝∠CMD＝∠ANE＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CDM、△CAN是等腰直角三角形，∴CM＝DM，CN＝AN，∵AE⊥BD，∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DBM＝90°，∴∠EAN＝∠DBM，∴△AEN≌△BDM（AAS），∴AN＝BM，EN＝DM，∴CN＝BM，∴CM＝BN，∴CM＝DM＝BN＝EN，設(shè)BE＝5a，則CE＝4a，BC＝BE+CE＝9a，CM＝DM＝BN＝EN＝BE＝a，AN＝BM＝BC﹣CM＝a，∴S△AEB＝BE×AN＝?5a?a＝65，∴a2＝4，∴S△DCE＝CE×DM＝?4a?a＝5a2＝20；故答案為：20．18．（2分）（2022春?南京期中）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道AB，CD上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線PB按順時針方向以每秒5°的速度旋轉(zhuǎn)至邊PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線QC按順時針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)至邊QD就停止旋轉(zhuǎn)，此時光線PB也停止旋轉(zhuǎn)．若光線QC先轉(zhuǎn)4秒，光線PB才開始轉(zhuǎn)動，當PB1∥QC1時，光線PB旋轉(zhuǎn)的時間為6或43.5秒．解：當PB1∥QC1，則∠PB1Q＝∠CQC1，如下圖：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠CQC1＝∠BPB1．設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時間為t秒，∴4×3+3t＝5t．∴t＝6．當PB1∥QC1，則∠CQC1＝∠PB1C，如下圖：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠BPB1＝∠CQC1．設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時間為t秒，此時光線PB由PA處返回，∴∠APB1＝5t°﹣180°．∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°．∴360﹣5t＝4×3+3t．∴t＝43.5．綜上，光線PB旋轉(zhuǎn)的時間為6或43.5秒．故答案為：6或43.5．19．（2分）（2018秋?香坊區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，直線EF過點C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，點G為線段AB上一點，連接CG，∠BCG與∠BCE的角平分線CM、CN分別交AD于點M、N，若∠BGC＝70°，則∠MCN＝35°．解：∵AD⊥BC，∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD，又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD，∴∠FCB＝∠B，∴EF∥AB，∴∠ECG＝∠BGC＝70°，∵∠BCG與∠BCE的角平分線CM、CN分別交AD于點M、N，∴∠BCN＝∠BCE，∠BCM＝∠BCG，∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM＝（∠BCE﹣∠BCG）＝∠ECG＝×70°＝35°，故答案為：35．20．（2分）（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，點E是AB邊上的點，且AE：EB＝2：3，點D是BC邊上的點，且BD：DC＝1：2，AD與CE相交于點F，若四邊形BDFE的面積是16，則△ABC的面積為60．解：連接FB，如圖所示：設(shè)S△BDF＝a，S△BEF＝b，∵，∴S△AEF＝b，∵BD：DC＝1：2，∴S△CDF＝2a，∴S△ABD＝S△ACD＝（16+b），S△ACE＝（16+2a），∵S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF，∴32+b﹣2a＝（16+2a）﹣b，∴10a﹣6b＝64，∵a+b＝16，，解得，∴S△ABC＝S△ACD+S△AEF+S四邊形BDFE＝（32+b）+b+16＝40+20＝60．故答案為：60．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?常州期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，試猜想∠P＝80°；探究：（2）在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；拓展：（3）將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度數(shù)．解：（1）如圖①，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∵∠1＝130°，∠2＝150°，∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，故答案為：80；（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：如圖①，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；（3）如圖②，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，∵PM∥AB，∴∠1+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），∵∠1+∠2＝325°，∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．22．（6分）（2022春?順德區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，平行線AB，CD之間有一動點P．（1）如圖1，試問∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（2）除了（1）的結(jié)論外，試問∠AEP，∠EPF，∠PFC還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫圖并直接寫出結(jié)論．（3）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點P在EF左側(cè)．①若∠EPF＝60°，則∠EQF＝150°．②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．解：（1）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：如圖1，當點P在EF的左側(cè)時，過點P作PH∥AB，則PH∥CD，∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，理由如下：如圖，當點P在EF的右側(cè)時，過點P作PM∥AB，則PM∥CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（3）①∵AB∥CD，∠EPF＝60°，∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝（∠PEB+∠PFD）＝×300°＝150°；故答案為：150°；②∠EPF+2∠EQF＝360°．理由如下：如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，設(shè)∠BEQ＝∠QEP＝α，∠QFD＝∠PFQ＝β，則∠EPF＝180°﹣2α+180°﹣2β＝360°﹣2（α+β），∠EQF＝α+β，即∠EPF+2∠EQF＝360°．23．（6分）（2022春?云州區(qū)期中）如圖，AD∥BC，射線OM上有一動點P，且∠ADP＝∠a，∠BCP＝∠β．（1）當點P在A，B兩點之間運動時，∠CPD與∠a、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）當點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），∠CPD與∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．解：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖1，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）分兩種情況：①當P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖2，過P作PE∥AD交ON于點E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②當P在BO之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．24．（10分）（2022春?河東區(qū)期中）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，如圖2，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為100°；請說明理由；（2）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，則∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．解：（1）∵PE∥AB，∠PAB＝135°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠PCD＝55°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°，故答案為：100°；（2）∠DPC＝∠α+∠β，理由：過點P作PF∥AD，∴∠DPF＝∠ADP＝∠α，∵AD∥CB，∴PF∥CB，∴∠CPF＝∠PCB＝∠β，∵∠DPC＝∠DPF+∠CPF，∴∠DPC＝∠α+∠β；（3）分兩種情況：當點P在射線AM上運動時，∠DPC＝∠β﹣∠α，理由：如圖：過點P作PG∥AD，∴∠GPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠GPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠GPC﹣∠GPD，∴∠DPC＝∠β﹣∠α；當點P在OB上運動時，∠DPC＝∠α﹣∠β，理由：如圖：過點P作PH∥AD，∴∠HPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠HPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠HPD﹣∠HPC，∴∠DPC＝∠α﹣∠β；綜上所述：當點P在射線AM上運動時，∠DPC＝∠β﹣∠α；當點P在OB上運動時，∠DPC＝∠α﹣∠β．25．（10分）（2022春?漢川市期中）已知AB∥CD，點E在直線AB上，點F在直線CD上．（1）如圖1，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．①若∠4＝38°，求∠1的度數(shù)；②試判斷EM與FN的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，EG平分∠MEF，EH平分∠MEB，直接寫出∠GEH與∠EFC的數(shù)量關(guān)系．解：（1）①∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝38°，∴∠1的度數(shù)為38°；②EM∥FN，理由：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，∴∠MEF＝∠EFN，∴EM∥FN；（2）∠EFC＝2∠GEH，理由：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFC，∵EG平分∠MEF，∴∠MEG＝∠GEF＝∠GEH+∠FEH，∴∠GEH＝∠MEG﹣∠FEH，∵EH平分∠MEB，∴∠MEH＝∠BEH，∴∠MEG+∠GEH＝∠BEF+∠FEH，∴∠MEG﹣∠FEH+∠GEH＝∠BEF，∴2∠GEH＝∠BEF，∴∠EFC＝2∠GEH．26．（10分）（2022秋?沈陽期末）如圖，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，點D，E在射線OA，OC上，點P是射線OB上的一個動點，連接DP交射線OC于點F，設(shè)∠ODP＝x°．（1）如圖1，若DE∥OB．①∠DEO的度數(shù)是20°，當DP⊥OE時，x＝70；②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；（2）如圖2，若DE⊥OA，是否存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，∴∠BOE＝20°，∵DE∥OB，∴∠DEO＝∠BOE＝20°；∵∠DOE＝∠DEO＝20°，∴DO＝DE，∠ODE＝140°，當DP⊥OE時，∠ODP＝∠ODE＝70°，即x＝70，故答案為：20，70；②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，∴∠EDF＝80°，又∵∠ODE＝140°，∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，∴x＝60；（2）存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．分兩種情況：①如圖2，若DP在DE左側(cè)，∵DE⊥OA，∴∠EDF＝90°﹣x°，∵∠AOC＝20°，∴∠EFD＝20°+x°，當∠EFD＝4∠EDF時，20°+x°＝4（90°﹣x°），解得x＝68；②如圖3，若DP在DE右側(cè)，∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，∴當∠EFD＝4∠