第1章 特殊的平行四邊形章末達(dá)標(biāo)檢測卷（答案版）

第1章特殊的四邊形章末達(dá)標(biāo)檢測卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2020?眉山）下列說法正確的是（）A．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定依次判斷可求解．【答案】解：A、一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形可以是等腰梯形，可以是平行四邊形，故選項(xiàng)A不合題意；B、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故選項(xiàng)B符合題意；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)C不合題意；D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故選項(xiàng)D不合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握這些判定定理是本題的關(guān)鍵．2．（3分）（2020春?九龍坡區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OG⊥AC，交AB于點(diǎn)G，連接CG，若∠BOG＝15°，則∠BCG的度數(shù)是（）A．15° B．15.5° C．20° D．37.5°【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，BD＝AC，AO＝OC，BO＝OD，求出OC＝OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCB＝∠OBC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出GA＝GC，根據(jù)垂直求出∠GOC＝90°，求出∠COB＝75°，求出∠CAB＝∠ACG＝37.5°，再求出答案即可．【答案】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，AO＝OC，BO＝OD，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AO＝OC，OG⊥AC，∴GA＝GC，∠GOC＝90°，∵∠BOG＝15°，∴∠COB＝90°﹣15°＝75°，∴∠OCB＝∠OBC=12×（180°﹣∠COB∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣90°﹣52.5°＝37.5°，∴∠ACG＝37.5°，∴∠BCG＝∠OCB﹣∠ACG＝52.5°﹣37.5°＝15°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．3．（3分）（2020春?崆峒區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE是∠BAC的外角的平分線，DE∥AB交AE于點(diǎn)E，則四邊形ADCE的形狀是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證AE∥BC，可得四邊形ABDE是平行四邊形，可得AE＝BD，由等腰三角形的性質(zhì)可得BD＝CD＝AE，可證四邊形ADCE是平行四邊形，且AD⊥CD，可得四邊形ADCE是矩形．【答案】解：如圖，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠HAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵AE是∠HAC的平分線，∴∠HAE＝∠CAE=12∠∴∠HAE＝∠ABC，∴AE∥BC，又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE＝CD，又∵AE∥DC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，又∵AD⊥CD，∴四邊形ADCE是矩形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．4．（3分）（2020春?順城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC＝8cm，BD＝6cm，則DE＝（）A．53cm B．25cm C．245cm D．485【分析】首先利用勾股定理求得菱形的邊長，然后由菱形的兩個(gè)面積計(jì)算渠道求得邊AB上的高DE的長即可．【答案】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×6∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝4cm，OB＝OD＝3∴在直角三角形AOB中，AB=OB2∴DH=S菱形故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．注意菱形的面積等于對(duì)角線積的一半或底乘以高．5．（3分）（2020春?貴港期末）如圖，菱形ABCD的邊長是5，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分，若菱形的一條對(duì)角線的長為4，則陰影部分的面積為（）A．221 B．421 C．12 D．24【分析】連接AC、BD，由菱形的性質(zhì)得出AB＝5，OB＝OD=12BD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，得出AC＝2【答案】解：連接AC、BD，如圖所示：∵菱形ABCD的邊長是5，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，BD＝4，∴AB＝5，OB＝OD=12BD＝2，OA＝OC，AC⊥∴OA=A∴AC＝2OA＝221，∴菱形ABCD的面積=12AC×BD=12×221∵O是菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，∴陰影部分的面積=12菱形ABCD的面積＝2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，中心對(duì)稱，熟記性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2020春?常熟市期末）如圖，以正方形ABCD的對(duì)角線AC為一邊作菱形AEFC，點(diǎn)F在DC的延長線上，連接AF交BC于點(diǎn)G，則∠FGC的度數(shù)為（）A．67.5° B．45° C．60° D．75°【分析】由正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°，∠CAF＝∠EAF=12∠CAB＝【答案】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°＝∠ACB，∠ABC＝90°，∵四邊形AEFC是菱形，∴∠CAF＝∠EAF=12∠CAB＝∴∠FGC＝∠ACB+∠CAF＝67.5°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．7．（3分）（2020?廣州）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A．485 B．325 C．245 【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到△AOD的面積為12，再根據(jù)S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．【答案】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面積為48，AC=AB∴AO＝DO=12AC＝∵對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴△AOD的面積為12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12∴12=12×5×EO+1∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF=24故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解題時(shí)注意：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等且互相平分．8．（3分）（2020春?輝縣市期末）如圖．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，連結(jié)EF．則線段EF的最小值為（）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8【分析】連接PC，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，利用三角形面積解答即可．【答案】解：連接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四邊形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴PC的最小值為：AC?BC∴線段EF長的最小值為2.4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答．9．（3分）（2020?牡丹江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，AD∥x軸且AD＝4，∠A＝60°，將菱形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（0，23） B．（2，﹣4） C．（23，0） D．（0，23）或（0，﹣23）【分析】分點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸和y軸負(fù)半軸兩種情況分別討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)求解．【答案】解：根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得：當(dāng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸負(fù)半軸時(shí)，A、B、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=AD2∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-2同理：當(dāng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，23∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，23）或（0，-故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的對(duì)稱性，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要分情況討論．10．（3分）（2020春?天門期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，AE＝AF，AC與EF相交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③當(dāng)∠DAF＝15°時(shí)，△AEF為等邊三角形；④當(dāng)∠EAF＝60°時(shí)，∠AEB＝∠AEF．其中正確的結(jié)論是（）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【分析】由“HL”可證Rt△ABE≌Rt△ADF，可得BE＝DF，可得CE＝CF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC垂直平分EF，可判斷①，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得EG＝GF，由角平分線的性質(zhì)可得BE＝EG，可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)可得∠DAF＝∠BAE＝15°，可證△AEF是等邊三角形，可判斷③，通過分別求出∠AEB，∠AEF的度數(shù)，可判斷④，即可求解．【答案】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∵AB＝AD，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∴CE＝CF，又∵∠ACD＝∠ACB＝45°，∴AC垂直平分EF，故①正確；∵CE＝CF，∠BCD＝90°，AC垂直平分EF，∴EG＝GF，當(dāng)AE平分∠BAC時(shí)，BE＝EG，即BE+DF＝EF，故②錯(cuò)誤；∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAF＝60°，又∵AE＝AF，∴△AEF是等邊三角形，故③正確；∵AE＝AF，∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠BAC＝45°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝15°，∴∠AEB＝75°≠∠AEF，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明Rt△ABE≌Rt△ADF是本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020春?房山區(qū)期末）在四邊形ABCD中，有以下四個(gè)條件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．從中選取三個(gè)條件，可以判定四邊形ABCD為矩形．則可以選擇的條件序號(hào)是①③④．【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【答案】解：當(dāng)具備①③④這三個(gè)條件，能得到四邊形ABCD是矩形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴∠ACB＝∠DCA，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2020春?崆峒區(qū)期末）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AC＝4，AE＝CF＝1，則四邊形BEDF的周長是45．【分析】根據(jù)題意和正方形的性質(zhì)，利用勾股定理，可以求得DE、EB、BF、FD的長，從而可以求得四邊形BEDF的周長．【答案】解：連接DB交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，AC＝4，∴AC＝BD＝4，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD＝2，∵AE＝CF＝1，∴DE＝DF＝BF＝BE=2∴四邊形BEDF的周長是45，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．13．（3分）（2020春?荔城區(qū)期末）把長方形ABCD沿著直線EF對(duì)折，折痕為EF，對(duì)折后的圖形EHGF的邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C，若∠AFE＝55°，則∠CEB'＝70°．【分析】根據(jù)折疊前后兩圖形全等和內(nèi)角和進(jìn)行解答即可．【答案】解：如圖，在長方形ABCD中，AD∥BC，則∠FEC＝∠AFE＝55°．∴∠BEF＝180°﹣55°＝125°．根據(jù)折疊的性質(zhì)知：∠B′EF＝∠BEF＝125°．∴∠CEB'＝∠B′EF﹣∠FEC＝125°﹣55°＝70°．故答案是：70°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊問題，關(guān)鍵是根據(jù)折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等解答．14．（3分）（2020春?如皋市期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，則∠DHO＝24度．【分析】由菱形的性質(zhì)可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得OH=12BD＝OB，可得∠OHB＝∠【答案】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH=12BD＝∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO=12∠DCB＝故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（3分）（2020春?秀英區(qū)校級(jí)期末）兩個(gè)邊長為10cm的正方形按如圖所示的方式重疊在一起，點(diǎn)O是其中一個(gè)正方形的中心，則重疊部分的面積為25cm2．【分析】連接OA、OD，證明OAM≌△ODN，得陰影部分的面積等于△OAD的面積，再由△OAD的面積與正方形ABCD的面積的關(guān)系求得結(jié)果．【答案】解：如圖，連接OA、OD，則∠AOD＝∠GOE＝90°，∴∠AOM＝∠DON，∵ABCD是正方形，O為正方形ABCD的中心，∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°，在△OAM和△ODN中，∠OAM∴△OAM≌△ODN（ASA），∴S△OAM＝S△ODN，∴S陰影＝S△ODM+S△ODN＝S△OAM+S△ODM＝S△OAD，=14S正方形ABCD=14×102＝故答案是：25．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于△OAD的面積．16．（3分）（2020春?潮安區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)：下列結(jié)論：①EH＝EF；②當(dāng)AB＝CD，EG平分∠HGF；③當(dāng)AB⊥CD時(shí)，四邊形EFGH是矩形；其中正確的結(jié)論序號(hào)是②③．【分析】由三角形中位線定理可得EF∥CD，HG∥CD，EF=12EF，HG=12CD，HE=12AB，AB∥HE，可證四邊形是平行四邊形，可判斷①，由AB＝CD可證平行四邊形HEFG是菱形，可判斷②，由AB⊥【答案】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，HG∥CD，EF=12EF，HG=12CD，HE=12∴EF＝HG，EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①錯(cuò)誤，∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四邊形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正確，③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，∵四邊形HEFG是平行四邊形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠BCD＝90°，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形HEFG是矩形，故③正確，故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形的中位線定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2020春?嘉陵區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AH⊥BD于H，OH＝2BH，AH＝5．（1）求BH的長．（2）求矩形ABCD的面積．【分析】（1）設(shè)BH＝x，OH＝2x，則OA＝OB＝3x，依據(jù)Rt△AOH中，OH2+OH2＝AO2，即可得到x的值；（2）依據(jù)勾股定理求得矩形的邊長，即可得到矩形的面積．【答案】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA=12AC，OB=∴OA＝OB，由OH＝2BH，可設(shè)BH＝x，OH＝2x，則OA＝OB＝3x，∵AH⊥BD，∴Rt△AOH中，OH2+OH2＝AO2，∴4x2+52＝9x2，解得x=±5又∵x＞0，∴x=5∴BH=5（2）由（1）可得，AB=BAC＝2OA＝2×35=6∴BC=A∴S矩形ABCD＝AB×BC=30×56=【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等且互相平分．18．（8分）（2020春?洛陽期末）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，當(dāng)AF為145時(shí)，四邊形BCEF【分析】（1）由AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC，易證得△ABC≌DEF（SAS），即可得BC＝EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；（2）由四邊形BCEF是平行四邊形，可得當(dāng)BE⊥CF時(shí)，四邊形BCEF是菱形，所以連接BE，交CF與點(diǎn)G，由三角形DEF的面積求出EG的長，根據(jù)勾股定理求出FG的長，則可求出答案．【答案】（1）證明：∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，AB=∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四邊形BCEF是平行四邊形；（2）解：如圖，連接BE，交CF于點(diǎn)G，∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴當(dāng)BE⊥CF時(shí)，四邊形BCEF是菱形，∵∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，∴DF=DE∴S△DEF=12EG×∴EG=6×8∴FG＝CG=E∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10-36故答案為：145【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（8分）（2020春?新鄉(xiāng)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．（1）求證：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°時(shí)，四邊形MPND是正方形，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB＝∠CDB；（2）由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可證四邊形MPND是矩形，再根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．【答案】證明：（1）∵對(duì)角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB；（2）當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，四邊形MPND是正方形，理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，∵∠PMD＝90°，∴∠MPD＝∠PDM＝45°，∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形，故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定．20．（8分）（2020春?靈山縣期末）如圖，四邊形ABCD、BFGE均為正方形，連結(jié)CF．（1）證明：AE＝CF；（2）延長AE交CF于H，證明：∠AHC＝90°．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到AB＝CB，BE＝BF，∠ABE＝∠CBF＝90°，從而可以得到△ABE和△CBF全等，然后即可得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)題意和（1）中的△ABE和△CBF全等，可以證明結(jié)論成立．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD、BFGE均為正方形，∴AB＝CB，BE＝BF，∠ABE＝∠CBF＝90°，在△ABE和△CBF中，AB=∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF；（2）由（1）得，△ABE≌△CBF，∠ABE＝90°，∴∠EAB＝∠FCB，∵∠AEB＝∠CEH，∴∠EAB+∠AEB＝∠FCB+∠CEH═90°，∴∠AHC＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．21．（10分）（2020春?贛州期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE＝CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值．【分析】（1）（1）先求證AB＝AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4＝60°，AC＝AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解題；由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的周長會(huì)隨著AE的變化而變化，求出當(dāng)AE最短時(shí)，△CEF的周長即可．【答案】解：（1）如圖，連接AC，∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∵△AEF是等邊三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC和△ACD為等邊三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，∴在△ABE和△ACF中，∠1=∠3AB∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的周長發(fā)生變化．理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE＝S