第20講 奇數(shù)和偶數(shù)

第20講奇數(shù)和偶數(shù)一、第20講奇數(shù)和偶數(shù)（練習題部分）1.有一個班的學生，每人都參加了數(shù)學、語文或外語三個興趣小組中的一個.參加數(shù)學興趣小組的學生比參加語文興趣小組的學生多3人.參加語文興趣小組的學生又比參加外語興趣小組的學生多5人.參加外語興趣小組的人數(shù)是偶數(shù).這個班的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?

2.求正整數(shù)中前10個奇數(shù)的和.一般地，求正整數(shù)中前n個奇數(shù)的和.

3.如圖是一條淺水河的平面圖.圖中曲線為河岸.人在河中走，下水時脫鞋，上岸時穿鞋.某人從水中的A點走到某個點B時，他脫鞋與穿鞋的次數(shù)相同.問B點是在水中還是岸上?4.七個連續(xù)奇數(shù)的和是399.求這七個數(shù).

5.三個連續(xù)偶數(shù)的乘積是一個六位數(shù)8****2，求這三個偶數(shù).

.

6.兩人通一次電話，就認為這兩個人都打了一次電話.問全世界打電話的次數(shù)是奇數(shù)的人，人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?

7.A、B、C、D、E五盞燈，開始時都是關的.小明順次拉動這五盞燈的開關，即從A到E拉動開關，再從A到E拉動開關……問小明拉動189次開關后，有哪幾盞燈是開的?

8.桌上放著四個杯子，杯口都朝上.每次翻動三個杯子.能否翻動若干次后，將杯口全部朝下?9.能否在下式的每個方框中，填入加號或減號，使等式成立?10.能否找到自然數(shù)a和b，使a2=2002+b2.11.有9只杯子，杯口全朝上.每次翻動其中的四只杯子.能否經過若干次這樣的翻動，使杯口全部朝下?12.如圖是一所房子的示意圖.數(shù)字表示房間號碼.每個房間與隔壁的房間有門相通.小胖要從一號房間開始不重復地走遍這九間房間，最后回到一號房間.他能做到嗎?12345678913.平面上有9個點，每三點都不在同一條直線上.想從每一點都正好引出三條直線和其余點中的任意三個相連：這種想法能實現(xiàn)嗎?

14.中國象棋盤上有一只馬，跳了若干步后正好回到原來的位置.問這只馬所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?為什么?

15.已知a、b、c中有一個是2001，一個是2002，一個是2003.試證明：(a+1)(b+2)和(c+3)的乘積一定是偶數(shù).

答案解析部分一、第20講奇數(shù)和偶數(shù)（練習題部分）1.【答案】解：∵參加外語興趣小組的人數(shù)是偶數(shù)，

則設參加外語興趣小組的人數(shù)是2n，

∵參加語文興趣小組的學生又比參加外語興趣小組的學生多5人，

∴參加語文興趣小組的學生人數(shù)為2n+5，

∵參加數(shù)學興趣小組的學生比參加語文興趣小組的學生多3人，

∴參加數(shù)學興趣小組的學生人數(shù)為2n+5+3，

∴全班總人數(shù)為：2n+2n+5+2n+5+3=6n+13，

∵6n偶數(shù)，13是奇數(shù)，

∴6n+13是奇數(shù)，

即這個班的人數(shù)是奇數(shù).

【解析】【分析】根據(jù)題意設參加外語興趣小組的人數(shù)是2n，從而得出參加語文、數(shù)學興趣小組的學生人數(shù)為2n+5，2n+5+3，列式，計算即可得出全班人數(shù).2.【答案】解：∵正整數(shù)中前10個奇數(shù)為1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，

∴正整數(shù)中前10個奇數(shù)和為：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，

=（1+19）+（3+17）+（5+15）+（7+13）+（9+11），

=20×5，

=100；

又∵正整數(shù)中前10個奇數(shù)為1、3、5、7、9……2n-1，

∴正整數(shù)中前n個奇數(shù)的和為：1+3+5+……+2n-1，

=（1+2n-1）+（3+2n-3）+……+（n-1+n+1）,

=2n×

=n2.

【解析】【分析】根據(jù)條件列式，找出規(guī)律，計算即可得出答案.3.【答案】解：∵人在河中走，下水時脫鞋，上岸時穿鞋，

∴從水中到岸上再到水中，穿鞋與脫鞋次數(shù)和為2的倍數(shù)，

即穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時，某人一定在水中；穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時，某人一定在岸上；

∵某人從水中的A點走到某個點B時，他脫鞋與穿鞋的次數(shù)相同，

即在B點時他脫鞋與穿鞋次數(shù)和為偶數(shù)，

∴B點在水中.

【解析】【分析】根據(jù)題意可知從水中到岸上再到水中，穿鞋與脫鞋次數(shù)和為2的倍數(shù)，即穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為偶數(shù)時，某人一定在水中；穿鞋與脫鞋次數(shù)相加為奇數(shù)時，某人一定在岸上；由于脫鞋與穿鞋的次數(shù)相同，可知在B點時他脫鞋與穿鞋次數(shù)和為偶數(shù)，故在水中.4.【答案】解：∵七個連續(xù)奇數(shù)的和是399，

∴399÷7=57，

∴中間那個奇數(shù)為57，

∴七個連續(xù)奇數(shù)依次為：51，53，55，57，59，61，63.

答：七個連續(xù)奇數(shù)分別為：51，53，55，57，59，61，63.

【解析】【分析】根據(jù)題意總和除以7可求得中間那個奇數(shù)，根據(jù)奇數(shù)的性質可求得其余奇數(shù).5.【答案】解：三個連續(xù)偶數(shù)相乘，個位是2的只有4×6×8，

∵積大于800000，

90×90×90＝729000＜800000，

100×100×100＝1000000＞800000

∴這三個數(shù)大于90，小于100，

∴滿足條件的三個連續(xù)偶數(shù)是：94，96，98.

【解析】【分析】根據(jù)偶數(shù)性質可得個位是2的只有4×6×8，又由于積大于800000，可得這三個數(shù)大于90，小于100，從而得出答案.6.【答案】解：依題可得：通1次電話的人數(shù)是2人，

∴通n（n自然數(shù)）次電話的次數(shù)是2n人，n是自然數(shù)時，2n是偶數(shù)，

即通話總數(shù)為偶數(shù)，

∴全世界打過奇數(shù)次電話的人數(shù)是偶數(shù)．

【解析】【分析】依題可得：通1次電話的人數(shù)是2人，由此可得通話總數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)性質：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；由此即可得出答案.7.【答案】解：一盞燈的開關被拉動奇數(shù)次后，改變狀態(tài)，即開的變成關的，關的變成開的；一盞燈的開關被拉動偶數(shù)次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關的仍為關的.因此本題的關鍵是計算各盞燈被拉次數(shù)的奇偶性.

∵189=5×37+4，

∴A、B、C、D四盞燈的開關各被拉動了38次，而E一盞燈的開關被拉動了37次；

∴A、B、C、D四盞燈不改變狀態(tài)，E一盞燈改變狀態(tài)；

∵開始時A、B、C、D、E五盞燈是關著的，

∴最后E燈是開著的.

【解析】【分析】一盞燈的開關被拉動奇數(shù)次后，改變狀態(tài)，即開的變成關的，關的變成開的.一盞燈的開關被拉動偶數(shù)次后，不改變狀態(tài)，即開的仍為開的，關的仍為關的；因此本題的關鍵是計算各盞燈被拉次數(shù)的奇偶性.8.【答案】解：將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；∵由于四個杯子全朝上，

∴這四個數(shù)的和為0，是個偶數(shù)；又∵一個杯子每翻動一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉三個杯子，因此這四個數(shù)的和的奇偶性改變了三次，從而和的奇偶性仍與原來相同；

∴不論翻動多少次，這四個數(shù)的和與原來一樣，仍為偶數(shù)；當杯子全部朝下時，這四個數(shù)的和為4，是偶數(shù).

∴經過若干次翻轉，能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；根據(jù)題意一個杯子每翻動一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這四個數(shù)的和的奇偶性改變了三次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初四個杯子全朝上，和為0，是個偶數(shù)；當杯子全部朝下時，和為4，是奇數(shù)；故能.9.【答案】解：不能，理由如下：

首先由奇偶數(shù)性質，在這個式子當中，我們可以知道，左邊有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，

∴5個奇數(shù)的和(差）是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和(差)是偶數(shù)，

∴奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)(奇數(shù)－偶數(shù)=奇數(shù)），

又∵右邊10是偶數(shù)，

∴不管左邊怎么相加減，都不能等于(10）偶數(shù).【解析】【分析】在這個式子當中，我們可以知道，左邊有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，由奇偶數(shù)性質可知5個奇數(shù)的和(差）是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和(差)是偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)(奇數(shù)－偶數(shù)=奇數(shù)），而右邊又是偶數(shù)，個不能.10.【答案】解：不能，理由如下：

∵a2=2002+b2，

∴a2-b2=2002，

即（a+b）（a-b）=2×1001．

①如果a、b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，那么（a+b）×（a-b）必定是偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；

②如果a、b為一奇一偶，那么（a+b）×（a-b）必定是奇數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)．

∴上述兩種情況均與等式右邊的偶數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)相矛盾．

答：找不到自然數(shù)a和b，使a2=2002+b2．【解析】【分析】根據(jù)題意將原式變形為：（a+b）（a-b）=2×1001，再分情況討論：

①如果a、b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則左邊必定是偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；

②如果a、b為一奇一偶，則左邊必定是奇數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)；而右邊是偶數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，所以奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，故不可能.11.【答案】解：將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；∵由于9個杯子全朝上，

∴這九個數(shù)的和為0，是個偶數(shù)；又∵一個杯子每翻動一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這九個數(shù)的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；

∴不論翻動多少次，這四個數(shù)的和與原來一樣，仍為偶數(shù)；當杯子全部朝下時，這九個數(shù)的和為9，是奇數(shù).

∴不論經過多少次翻轉，都不可能使所有的杯子口都朝下.

【解析】【分析】將杯口向上的杯子記為0，杯口向下的杯子記為1；根據(jù)題意一個杯子每翻動一次，所記的數(shù)由0變?yōu)?或由1變?yōu)?，改變了奇偶性；每一次翻轉四個杯子，因此這九個數(shù)的和的奇偶性改變了四次，從而和的奇偶性仍與原來相同；起初九個杯子全朝上，和為0，是個偶數(shù)；當杯子全部朝下時，和為9，是奇數(shù)；故不可能.12.【答案】解：他不能做到；

∵小胖從一號房間出發(fā)，走法必為：奇→偶→奇→偶→……

∴奇數(shù)數(shù)字房間的數(shù)目與偶數(shù)數(shù)字房間的數(shù)目相等或者相差一才可以走遍每個房間；

又∵圖中奇數(shù)數(shù)字房間5間，偶數(shù)數(shù)字房間4間，相差1間，

∴能走遍每個房間，但是不能走遍每一個房間而不重復的回到一號房間.

【解析】【分析】說明與整數(shù)可以分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類一樣，分成兩類.幾個連續(xù)的整數(shù)，必然是奇偶相間，而且奇數(shù)個數(shù)與偶數(shù)個數(shù)相差至多為一個.因此，從本質上說，我們還是利用奇偶性來解決問題的。13.【答案】解：這種想法不能實現(xiàn)，理由如下：

假設這種想法能實現(xiàn)，

∵每個點都能引出三條線，

∴9個點能引出的直線為：9×3=27（條）；

又∵每條線其實連接兩個點，即重復計算了一次，

∴如果能實現(xiàn)就會有=13.5（條），

∴這是不可能的.

【解析】【分析】假設這種想法能實現(xiàn)，根據(jù)題意可得出9個點能引出的直線有27條；但是每條線其實連接兩個點，即重復計算了一次，故有條直線，但是這是不可能的.14.【答案】解：半張中國象棋盤，共有5×9=45個交匯點，將棋盤上的各點按黑白相間的方式染上黑白二色，

假如四個角的點都是黑色，共有23個黑色，22個白色，

由“馬步”的行走規(guī)則，當“馬”從黑點出發(fā)，下一步只能跳到白點，以后依次是黑、白、黑、白……，要回到原出發(fā)點（黑點），經過黑白點是承兌出現(xiàn)的，也就是說跳的步數(shù)是2的倍數(shù)，

∴這只馬所跳的步數(shù)是偶數(shù).

【解析】【分析】根據(jù)中國象棋的特征可知：半張中國象棋盤，共有5×9=45個交匯點，將棋盤上的各點按黑白相間的方式染上黑白二色，假如四個角的點都是黑色，則共有23個黑色，22個白色，根據(jù)“馬步”的行走規(guī)則，當“馬”從黑點出發(fā)，下一步只能跳到白點，以后依次是黑、白、黑、白……，可知跳的步數(shù)是2的倍數(shù)，即為偶數(shù).15.【答案】證明：①當a=2001時，

∴a+1=2001+1=2002，是偶數(shù)；

∴(a+1)(b+2)(c+3)的乘積是偶數(shù)；

②當a=2002時，

∴a+1=2002+1=2003，是奇數(shù)；

但是b、c分別為2001，2003，為奇數(shù)，

∴奇數(shù)+3一定為偶數(shù)，

∴(a+