2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與等腰(邊)三角形有關(guān)的線段相等問題》專項測試卷含答案

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與等腰(邊)三角形有關(guān)的線段相等問題》專項測試卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________知識與方法1.角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形2.角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形3.等邊三角形的三邊相等典例精析例1如圖1-1-35,在矩形ABCD中,∠ABC的平分線BE與AD交于點E,∠BED的平分線EF與DC交于點F.若AB=12,DF=2FC,則BC的長是.答案：8【簡析】解法一：角平分線+平行→等腰三角形如圖1-1-36,延長BC,EF交于點G.設(shè)CG=a,由△CGF∽△DEF得DE=2a,∴AD=12+2a.由AD∥BC,EF平分∠BED得BE=BG.∴12+2a+a=12∴a=4∴BC=12+2a=12+8解法二：角平分線+雙垂直如圖1-1-37,過點F作FG⊥BE于點G,連接BF.設(shè)DE=a,等積法:SBEF=S四邊形BCDE∴a=8解法三：角平分線+對稱兩邊→全等如圖1-1-38，在AD的延長線上截取.EB易得△BEF≌△B'EF,∴BF=B'F.∴解得a=8∴BC=12+a=8解法四：倍半角 由圖1-1-39②易得tan22.5°=12+1=2?1.∴BC=AD=12+例2已知△ABC是等邊三角形,點D,E分別在直線BC,AC上.(1)如圖1-1-40①,當(dāng)BD=CE時,連接AD與BE交于點P,則線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是;∠APE的度數(shù)是.(2)如圖②,若“BD=CE”不變,AD與EB的延長線交于點P，那么(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立?請說明理由.(3)如圖③,若AE=BD,連接DE與AB邊交于點M.求證:M是DE的中點.【簡析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知，證明△ABD≌△BCE(SAS)即可解決問題.(2)結(jié)論“AD=BE,∠APE=60°”仍然成立.利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知，證明△ABD≌△BCE(SAS)即可解決問題.(3)過點E作EF∥BC交AB邊于點F.證明△MEF≌△MDB即可解決問題.解:(1)AD=BE60°(2)結(jié)論“AD=BE,∠APE=60°”仍然成立.理由如下:如圖1-1-41①,∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.∴∠ABD=∠BCE=120°.又∵BD=CE,∴△ABD≌△BCE(SAS).∴AD=BE,∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠BEC.又∠APE=∠ADB+∠DBP,∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°,∠DBP=∠CBE,∴∠APE=∠ACB=60°.(3)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°.如圖1-1-41②,過點E作EF∥BC交AB邊于點F.∴∠AFE=∠ABC=60°,∠AEF=∠ACB=60°.∴△AEF是等邊三角形.∴EF=AE.∵AE=BD,∴EF=BD.∵EF∥BD,∴∠EFM=∠DBM.∵∠EMF=∠DMB,∴△MEF≌△MDB(AAS).∴EM=DM,M是DE的中點. 進(jìn)階訓(xùn)練1.如圖1-1-42,在△ABC中,AB=3AC,∠BAC的平分線交BC于點D,過點B作BE⊥AD,垂足為E,求證:AD=DE.2.如圖1-1-43,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,若E在AD上.求證:BC=AB+CD.3.問題:如圖1-1-44,在?ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分線AE,BF分別與直線CD交于點E,F,求EF的長.答案:EF=2.探究:(1)把“問題”中的條件“AB=8”去掉,其余條件不變.①當(dāng)點E與點F重合時,求AB的長;②當(dāng)點E與點C重合時,求EF的長.(2)把“問題”中的條件“AB=8,AD=5”去掉，其余條件不變，當(dāng)點C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，求ADAB 4.如圖1-1-45,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分線AO交BC于點D,點H為AO上一動點,過H作直線l⊥AO于點H,分別交直線AB,AC,BC于點N,E,M.(1)當(dāng)直線l經(jīng)過點C時(如圖①),求證:BN=CD;(2)當(dāng)M是線段BC的中點時(如圖②)，寫出線段CE和線段CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.5.如圖1-1-46,△ABC是等邊三角形,CE是△ABC的外角∠ACM的平分線,點D為射線BC上一點,且∠ADE=∠ABC,DE與CE相交于點E.(1)如圖①,如果點D在邊BC上,求證:AD=DE.(2)如圖②,如果點D在邊BC的延長線上,那么(1)中的結(jié)論“AD=DE”還能成立嗎?請說明理由.(3)如果△ABC的邊長為4,且∠DAC=30°,請直接寫出線段BD的長度(無需寫出解題過程).6.如圖1-1-47,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,M為AB中點,D為邊AB上一動點，在CD右側(cè)作等邊三角形CDE，直線DE與直線CB交于點F,連接BE.(1)如圖①,當(dāng)點D與點M重合時,求證:CE=BE.(2)如圖②，當(dāng)點D在線段AM(不包括端點A,M)上時,CE=BE是否仍然成立?請說明理由.

答案|進(jìn)階訓(xùn)練|1.證明:如圖,延長AC,BE交于點F,取CF的中點G,連接EG.在△ABE和△AFE中,∴△ABE≌△AFE(ASA).∴AB=AF,BE=FE.又∵AB=3AC,∴AF=3AC.∴CF=2AC.又CG=FG,∴AC=CG=FG.在△BCF中,∵CG=FG,BE=FE,∴EG∥BC.又∵AC=CG,∴AD=DE.2.解:解法一:如圖,在BC上取點F,使BF=BA,連接EF.在△ABE和△FBE中AB=FB,∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠A=∠5.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.∴∠5+∠D=180.∵∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D.在△CFE和△CDE中.∠6=∠D,∠3=∠4,CE=CE,∴△CDE∴CF=CD.∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD.解法二：過點E作AB的平行線EF與BC交于點F,可知AB,EF,CD互相平行,由BE平分∠ABC,易得BF=EF,由CE平分∠BCD易得CF=EF,所以BF=CF.根據(jù)平行線分線段成比例，可得EF是梯形ABCD的中位線,推出AB+CD=2EF,進(jìn)而可得BC=AB+CD.3.解:(1)①如圖①所示:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB,BC=AD=5,AB∥CD.∴∠DEA=∠BAE.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.∴∠DEA=∠DAE.∴DE=AD=5.同理:BC=CF=5.∵點E與點F重合,∴AB=CD=DE+CF=10.②如圖②所示：∵點E與點C重合,∴DE=DC=5.易得CF=BC=5,∴點F與點D重合.∴EF=DC=5.(2)分三種情況：①如圖③所示：同(1)得:AD=DE,∵C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等，∴AD=DE=EF=CF.∴ ②如圖④所示：同(1)得:AD=DE=CF,∵DF=FE=CE,∴③如圖⑤所示：同(1)得:AD=DE=CF,∵DF=DC=CE,∴ADB=2.綜上所述，ADAB)；的值為13或4.解:(1)證明:連接ND,如圖①所示:∵AO平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵直線l⊥AO于點H,∴∠AHN=∠AHE=90°.∴∠ANH=∠AEH.∴AN=AC.∴NH=CH.∴AH是線段NC的垂直平分線.∴DN=DC.∴∠DNH=∠DCH.∴∠AND=∠ACB.∵∠AND=∠B+∠BDN,∠ACB=2∠B,∴∠B=∠BDN.∴BN=DN.∴BN=DC.(2)當(dāng)M是BC中點時,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系為CD=2CE.理由如下:過點C作CN'⊥AO交AB于N',過點C作CG∥AB交直線l于點G，如圖②所示.∵CG∥AB,∴∠ANE=∠CGE,∠B=∠BCG.易得△AHN≌△AHE,∴∠ANE=∠AEN.∴∠CGE=∠AEN.∴CG=CE.在□NN'CG中,N∴N∵M(jìn)是BC中點,∴BM=CM.在△BNM和△CGM中∠B=∠BCG,∴△BNM≌△CGM(ASA).∴BN=CG.∴BN=CE.由(1)得B∴CD=B5.解:(1)證明:如圖①,在AC上截取CN=CD.連接DN.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=∠B=60°.∴△CDN是等邊三角形.∴ND=CD=CN,∠CND=∠CDN=60°.∴∠AND=120°.∵∠ADE=∠B=60°,∴∠ADE=∠NDC.∴∠ADN=∠EDC.∵CE平分∠ACM,∴∠ACE=60°.∴∠DCE=120°=∠AND. 在△ADN和△EDC中,∠ADN=∠EDC,∴△ADN≌△EDC(ASA).∴AD=ED.(2)結(jié)論仍然成立.理由如下：如圖②，在AC的延長線上截取CN=CD,連接DN.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°.∴∠DCN=60°.∴△CDN是等邊三角形.∴ND=CD=CN,∠CND=∠CDN=60°.∵CE平分∠ACM,∴∠ACE=∠DCE=60°.∴∠ECD=∠AND.∵∠ADE=∠B=60°,∴∠ADE=∠CDN.∴∠ADN=∠EDC.在△ADN和△EDC中,∴△ADN≌△EDC(ASA).∴AD=DE.(3)BD的長度為2或8.[解析]當(dāng)點D在線段BC上時,∵△ABC是等邊三角形，∠DAC=30∴BD=當(dāng)點D在射線CM上時，∵∠DAC=30°,∠ACB=60°=∠DAC+∠ADC∴∠DAC=∠ADC=30°.∴AC=DC=4.∴BD=8.6.解:(1)證明:如圖①中,∵∠ACB=90°,AD=DB,∴CD=AD=BD.∵∠A=60°,∴△ADC是等邊三角形.∴∠ADC=60°.∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=60°.∴∠EDB=180°?60°=60°.∴∠CDF=∠BDF.∵DC=DB,∴DF⊥BC,CF=FB.∴DF是BC的垂直平分線.∴EC=E