重難點(diǎn)19 等腰三角形的判定

重難點(diǎn)19等腰三角形的判定第91天兩線(xiàn)相伴構(gòu)等腰1.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽聯(lián)賽改編)如圖,在△ABC中,AB=6,AC=10,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),AD平分,過(guò)點(diǎn)M作MF//AD,交AC于點(diǎn)F,交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N.(1)求證:△ANF為等腰三角形;(2)求FC的長(zhǎng).(1)證明:平分,，為等腰三角形;(2)解:線(xiàn)段的等量替換在這里又可以用到了,又get了一個(gè)新的輔助線(xiàn)作法,快拿小本本記下來(lái)!在FM的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn),使,連接BE,試試看.點(diǎn)是BC的中點(diǎn),,第92天拿來(lái)主義構(gòu)造等腰2如圖,在△ABC中,,點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn),點(diǎn)E為AC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),BD=CE,連接DE交BC于點(diǎn)F,若點(diǎn)F恰好為DE的中點(diǎn).(1)求證:△ABC為等邊三角形;(2)若ED上AB,BD=1,求BC的長(zhǎng).2.(1)證明:知道什么是等邊三角形,就快快搜集等邊三角形的條件.過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),畫(huà)畫(huà)看.$為等腰三角形,為等邊三角形;解:由知,,是等邊三角形,,,.第93天遇角平分作兩線(xiàn)3.如圖①,在Rt△ABC中,,于點(diǎn)D,AF平分且分別與CD,BC交于E,F兩點(diǎn).(1)求證:△CEF為等腰三角形;(2)如圖②,若AC=BC,于點(diǎn)D,AE平分,DM平分與AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M,連接CM.求的度數(shù).證明:小鹿提示,證明.,是的平分線(xiàn),,,,為等腰三角形.為等腰三角形;(2)解:是不是毫無(wú)頭緒呢,沒(méi)關(guān)系,小鹿這就來(lái)幫你，都看到角平分線(xiàn),作垂直還會(huì)遠(yuǎn)嗎?過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)于點(diǎn),與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn),動(dòng)起手來(lái),,平分平分,第94天生而不凡伴等腰4.(重慶競(jìng)賽題改編）如圖,在△ABC中,AC=BC,,點(diǎn)D為△ABC內(nèi)部BA垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，,E為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn),且CE=CA.(1)求證:DE平分;(2)若點(diǎn)M在DE上,且DC=DM,請(qǐng)判斷DE與BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.(1)證明:什么都不需要多做,看圖,分析題目信息就可以over,這個(gè)全等很明顯哦.(2)解理由:連接,為等邊三角形,第95天倍角轉(zhuǎn)化靠等腰5.（四川省競(jìng)賽題）如圖,在△ABC中,,且AC=AB+BD.求證:AD是的平分線(xiàn).證明:如解圖,延長(zhǎng)CB,在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取,連接AE,,是的平分線(xiàn).還有別的辦法,你們?cè)囋嚳?綜合強(qiáng)化練習(xí)191．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且,,則△ABC一定是（）A．等邊三角形B．腰長(zhǎng)為α的等腰三角形C.底邊長(zhǎng)為α的等腰三角形D．等腰直角三角形解：B【解析】看起來(lái)就需要大家化一化,先將等式變形,可變形為，,解得或,已知a,b,c分別是的三邊長(zhǎng),是腰長(zhǎng)為的等腰三角形.2（江蘇省競(jìng)賽題)如圖,已知Rt△ABC,,,在直線(xiàn)BC或AC上取一點(diǎn)P,使得△PAB是等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)P有()A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)解：找點(diǎn)游戲，隨時(shí)隨地都可以被安排上,那么,親愛(ài)的們，準(zhǔn)備好了嗎？C【解析】如解圖,第1個(gè)點(diǎn)在AC上,作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn),交AC于點(diǎn)P,則有PA=PB;第2個(gè)點(diǎn)是以A為圓心,以AB長(zhǎng)為半徑截取AP=AB,交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P;第3個(gè)點(diǎn)是以A為圓心,以AB長(zhǎng)為半徑截取AP=AB,交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P;第4個(gè)點(diǎn)是以B圓心,以BA長(zhǎng)為半徑截取BP=BA,與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P;第5個(gè)點(diǎn)是以B為圓心,以BA長(zhǎng)為半徑截取BP=BA,與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P;第6個(gè)點(diǎn)是以A為圓心,以AB長(zhǎng)為半徑截取AP=AB,與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P.故符合條件的點(diǎn)P有6個(gè).3.如圖,在△ABC中,，MN是AB的中垂線(xiàn),PQ是AC的中垂線(xiàn),已知BC的長(zhǎng)為,則△ANQ的面積為A.B.C.D.解：求面積不就是讓俺們求線(xiàn)段長(zhǎng)嘛.【解析】在中,,MN是AB的中垂線(xiàn),PQ是AC的中垂線(xiàn),4.如圖,等腰三角形AB的面積為24,底邊BC的長(zhǎng)為12,點(diǎn)在邊BC上,且,EG是腰AC的垂直平分線(xiàn),若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動(dòng),則△CDP周長(zhǎng)的最小值為解:有最值問(wèn)題,就有小鹿牌頭痛止疼片,讓我送你一劑“三點(diǎn)共線(xiàn)”強(qiáng)心丸.如解圖,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),連接的周長(zhǎng)為定值,要求周長(zhǎng)的最小值,只需要求的最小值即可.垂直平分線(xiàn)段當(dāng)A、D、P三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),的值最小,最小值是線(xiàn)段AP的長(zhǎng)的最小值為周長(zhǎng)的最小值為5.如圖,在△ABC中,,D是AB上一點(diǎn),點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且,連接DE交BC于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),連接DF.若,則GE=.解：同學(xué)們,一周過(guò)去了,我再回來(lái)看看你們,想起我了嗎!如解圖,過(guò)點(diǎn)作交BC于點(diǎn)6.如圖,在△ABC中,,點(diǎn)在AC上,連接為的角平分線(xiàn),過(guò)AD的中點(diǎn)F作BE的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn),若,則度數(shù)為.解：,為的角平分線(xiàn),.7、在△ABC中,BA=BC,BD為△ABC的中線(xiàn),△ABC的角平分線(xiàn)AE交BD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G(1)如圖①,若,請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段AF,EC間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)如圖②,若,求證:EG=2AF;(3)在(2)的條件下,如圖③,在的外部作,使,過(guò)點(diǎn)B作BM//AC交AG于點(diǎn)M,點(diǎn)N在AH上,連接MN,BN,若與互余,△ABC的面積為18,求BN的長(zhǎng).解：為的中線(xiàn),AE為的角平分線(xiàn)，（2）證明