重難點(diǎn)26 手拉手模型

重難點(diǎn)26手拉手模型第126天等邊共線三等分1．如圖1，和都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）與是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若、、三點(diǎn)不在一條直線上，且點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)，，，，求的長(zhǎng)．（3）若、、三點(diǎn)在一條直線上，且點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)（如圖，且和的邊長(zhǎng)分別為1和2，求的面積及的長(zhǎng)．1.解:(1)小鹿來(lái)幫大家總結(jié)一下,兩個(gè)等邊三角形會(huì)構(gòu)成手拉手模型哦.全等,證明如下:∵和都是等邊三角形,∴,∴,即.∵,∴;(2)好像不太好求,小鹿想起(1)問(wèn)的全等了,會(huì)不會(huì)好求點(diǎn)呢?還真是,就變成勾股定理了.由得:.∵是等邊三角形,∴∵,∴,在中,,∴;(3)小鹿提示一下,求面積,作高很有必要.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),作圖就交給你了.∵三點(diǎn)在一條直線上,∴,∵和都是等邊三角形,∴,∴在中,,∴,∴,,在中,.第127天最值旋轉(zhuǎn)常關(guān)聯(lián)2．如圖，和都是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，（1）如圖1，連接，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，連接，，若點(diǎn)恰好在上，且為的中點(diǎn)，，求的面積；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)恰好在直線上，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線AB上運(yùn)動(dòng)，連接ED，求線段ED的最小值。2.解:結(jié)論:.理由:如解圖(1),設(shè)交于點(diǎn)交于點(diǎn).又∵,∴.∵,∴∴;(2)如解圖(2),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).∵,∴.設(shè),∵點(diǎn)為的中點(diǎn),∴.∵,在Rt中,∵,∴,解得或(舍去),∴.由知;(3)小鹿分析了一下，一個(gè)定點(diǎn),一個(gè)動(dòng)點(diǎn),要想線段長(zhǎng)最小,垂直的時(shí)候就最短了,好了,想通了,就動(dòng)手吧!如解圖(3),連接.∵,∴,∴SAS,∴,∴,∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在直線上,當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最短.∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,∵,∴的最小值為.第128天旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助線3.問(wèn)題探究(1)如圖(1),在四邊形中,,求的長(zhǎng)度.甲同學(xué)受到啟發(fā),以為邊在左側(cè)構(gòu)造了一個(gè)等邊,并連接,將進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算,請(qǐng)根據(jù)甲同學(xué)構(gòu)造的輔助線完成計(jì)算;拓展應(yīng)用：(2)如圖(2),在四邊形中,,求的長(zhǎng).3.解:(1)∵和是等邊三角形,∴,∴,∴.在中,,∴;(2)在的外部,以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角,連接.你們?cè)囋嚢?∵,∵,即,∵,∴SAS.∵,∴,又∵,∴,∴.第129天旋轉(zhuǎn)平行角特別4.如圖在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖(1),當(dāng)時(shí),線段與之間的數(shù)量關(guān)系是,.【類比探究】(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖(2)所示的位置時(shí),請(qǐng)判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù),并說(shuō)明理由;【問(wèn)題解決】(3)當(dāng)點(diǎn)在直線的右側(cè),且時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng).4.解:;(2);旋轉(zhuǎn)自身是一個(gè)綜合條件,通過(guò)旋轉(zhuǎn),我們也可以獲得許多信息,比如邊的相等,角的相等,別覺(jué)得小鹿嘮叨哦,苦口婆心還是為了你們.理由如下:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知,,.∵∴.∵,∴,∴.∵,,∴;(3).【解法提示】如解圖,當(dāng)點(diǎn)在直線的右側(cè)時(shí),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).∵,由知第130天等線等角是關(guān)鍵5.如圖,在等腰中,,射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),交射線于點(diǎn),,若點(diǎn)為射線上一點(diǎn),且,連接.(1)如圖(1),若,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖(2),若,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若,點(diǎn)到射線的距離為1,求線段的長(zhǎng).5.解:(1);(2)不成立.理由如下:將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,則點(diǎn)落在上,.易得是頂角為的等腰三角形,∴,∴,∴中的結(jié)論不成立;(3)小鹿提示,確定的位置,還是同樣的解題思路.如解圖(1),當(dāng)射線在內(nèi)部時(shí),將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,則點(diǎn)落在上,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),易得為等腰三角形,且,,∵;如解圖（2）,當(dāng)射線在外部時(shí),將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到,則點(diǎn)落在上,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),司理可得,∴.綜上所述,的長(zhǎng)為或.綜合強(qiáng)化訓(xùn)練261.如圖，點(diǎn)E是等邊內(nèi)部一點(diǎn)，以為邊，在的左側(cè)作等邊，點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,若,則的長(zhǎng)為.1.小手不能閑,把能做的事情做好,先讓輔助線降臨嘛.【解析】連接,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接與均為等邊三角形,∴,為的中點(diǎn),∴,又∵∴,又∵,∴.2.在等腰中,.(1)如圖(1),是等腰斜邊上兩點(diǎn),且,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得到,連接.(1)求證:;(2)當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);(2)如圖(2),點(diǎn)是等腰斜邊上一點(diǎn),連接,以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng).2.(1)證明:∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,∴.∵,∴,∴.又∵(SAS);(2)解:設(shè),則.∵.∵